Диссертация (1149229), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В данной постановке предполагается, что регулятору подсистемыне доступны измерения с других узлов, влияющих на динамику данной подсистемы. Хотя задачидецентрализованного управления взаимосвязанными системами изучались ранее, в большинствесуществующих работ (например, [13, 55, 63, 110, 112–114]) рассматриваются системы с линейными связями и строится обратная связь по состоянию. Более того, управление, как правило, входитво все уравнения системы. Такие модели оказываются слишком ограничительными на практике,где во внимание следует принимать неполноту измерений и управления, нелинейные переключающиеся связи.
Во второй главе получены границы на постоянные Липшица нелинейных связей,при которых синхронизация достигается при использовании адаптивного регулятора по выходу. Поскольку децентрализованный регулятор не может учесть влияние связей, их воздействиядолжны быть достаточно малыми. Затем, для систем с ограниченными возмущениями рассмотрен модифицированный адаптивный алгоритм и получены условия предельной ограниченностиразностей состояний подсистем. Условия синхронизации и предельной ограниченности сформулированы для двух типов локальной нелинейности: липшицевой и согласованной.
Результатыэтой главы отчасти основаны на результатах, изложенных в [2], и распространяют их на случайпеременных связей с запаздываниями при ограниченных возмущениях.В третьей главе рассматриваются идентичные системы Лурье, для которых управляющийсигнал строится как взвешенная сумма разностей выходов соседних узлов. Такой регулятор называется консенсусным [3,12,20,44,52,74,107,109] и возникает во многих областях, включая физиологию [37,86], нейробиологию [26,36,42], электрические [95,103] и механические [27,78,108]системы.
В данной работе предполагается, что передача измерений между агентами происходитс некоторой задержкой, что приводит к возникновению запаздывания. Хотя проблемам консенсусного управления с запаздыванием посвящено множество статей [23, 70, 92, 93, 105, 106], вподавляющем большинстве работ рассматривается обратная связь по состоянию при полномуправлении или управляемости системы.
В [88, 89] рассматривается обратная связь по запаздывающим измерениям для полупассивных систем. В третьей главе диссертационной работыполучены условия на локальную динамику систем и топологию сети, обеспечивающие синхронизацию при достаточно малом запаздывании и достаточно большом коэффициенте усиления вконсенсусном регуляторе по выходам. В отличие от свойства полупассивности, накладываемого в [88, 89], для проверки пассифицируемости системы, рассматриваемому здесь, существуетпростой критерий. Кроме того, класс пассифицируемых систем включает в себя некоторые неполупассивные системы, например, хаотическую систему Чуа.6В четвёртой главе рассматривается задача адаптивной стабилизации линейной системы приналичии переменного неизвестного запаздывания в управлении и измерениях. Существует множество статей, в которых рассматриваются адаптивно управляемые системы с запаздываниемв состоянии [21, 65, 66, 111].
Случай запаздывания в управлении и измерениях является болеесложным [11, 58], поскольку регулятор лишён возможности влиять на систему сразу после получения измерений. Кроме того, в таких системах часто неприменима обратная связь с большимкоэффициентом усиления. Известно не так много работ, посвящённых адаптивной стабилизациис запаздыванием в измерениях и управлении. Одной из первых является монография [11], гдеидеи адаптивного управления на основе пассивности естественным способом распространены насистемы с постоянным запаздыванием в управлении и измерениях. К недостаткам такого подходаможно отнести то, что получаемые адаптивные регуляторы являются бесконечномерными и ихприменение на практике может оказаться затруднительным.
В [31,94] предложены и исследованыадаптивные регуляторы по состоянию с постоянным запаздыванием в управлении. В [67] рассмотрен адаптивный регулятор по выходу на основе пассификации с постоянным запаздываниемв управлении. Важно понимать, что для линейных стационарных систем с постоянным запаздыванием нет почти никакой разницы между запаздыванием в управлении и измерениях, посколькупередаточная функция одна и та же. Гораздо более сложным случаем является переменное запаздывание, при котором запаздывания в управлении и измерениях нужно рассматривать отдельно.Для решения задачи в такой постановке можно предполагать, что разница между текущим изапаздывающим сигналами достаточно мала [19, 68], но это предположение является слишкомограничительным и его трудно проверить.
В отличие от перечисленных выше работ в четвёртойглаве диссертации линейная стационарная система с переменным запаздыванием в измеренияхи управлении стабилизируется с помощью простого адаптивного закона обратной связи по выходу. Если система без запаздывания устойчива, то приведённые здесь условия дают оценку надопустимую максимальную величину переменного запаздывания, при которой система остаётсяустойчивой.
Более того, для систем, адаптивно управляемых через сеть, полученные результатыпозволяют найти оценку на период дискретизации и запаздывания, вызванные необходимостьпередачи данных через сеть. Это важное приложение демонстрируется на примере адаптивногоуправления через коммуникационную сеть углом рыскания летательного аппарата.В пятой главе диссертационной работы рассматривается сеть осцилляторов Ландау-Стюарта[76, 77]. Система Ландау-Стюарта описывает слабо нелинейную динамику в окрестности точкибифуркации Андронова-Хопфа.
Комплексные силы связей, появляющиеся в этих системах из-закомплексных переменных состояния, возникают естественным образом в системах с оптическими связями [18, 43]. Как было продемонстрировано в [35], изменяя фазу связей (coupling phase),7можно переключаться между различными синхронными состояниями сети. Для нахождения подходящего значения фазы связей необходимо решать уравнение, содержащее параметры системы,которые могут быть неизвестны. Основным результатом пятой главы является универсальнаяцелевая функция, с помощью которой на основе метода скоростного градиента выводятся адаптивные законы подстройки фазы связей, обеспечивающие устойчивость различных синхронныхсостояний сети осцилляторов Ландау-Стюарта. В качестве подтверждения работоспособностиполучаемых алгоритмов представлены результаты численного моделирования.В Заключении перечислены основные результаты работы.По теме диссертации опубликовано 12 работ [6, 17, 34, 38, 46, 47, 80–85], в том числе 7 визданиях из перечня научных журналов, рекомендованных Высшей аттестационной комиссиейдля публикации основных научных результатов диссертаций, 6 работ в изданиях из баз цитирования Web of Science и Scopus.
Основные результаты представлены на 9 всероссийских имеждународных конференциях.8Глава 1Предварительные сведения1.1Системы с запаздываниемЗафиксируем некоторое ℎ > 0, которое в дальнейшем будет иметь смысл максимальной величинызапаздывания. Через обозначим сужение функции (·) на промежуток [ − ℎ, ]: () = ( + ), ∈ [−ℎ, 0].Рассмотрим функциональное дифференциальное уравнение с запаздыванием()˙= (, ), > 0 ,(1.1)где ∈ R , : [0 , +∞) × [−ℎ, 0] → R . Начальные данные для (1.1) зададим функцией (·):0 (·) = (·),(·) ∈ [0 − ℎ, 0 ].(1.2)Теорема 1.1 (Существования и единственности). Пусть для выполнены условия:(i) ∀ > 0 ∃ () > 0 :‖‖ 6 ⇒ ‖ (, )‖ 6 ();(ii) Функционал непрерывен по обоим аргументам;(iii) Функционал удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу: ∀ > 0 ∃() :если ‖′ ‖ 6 , ‖′′ ‖ 6 , то‖ (, ′ ) − (, ′′ )‖ 6 () ‖′ − ′′ ‖ .Тогда для некоторого > 0 на промежутке [0 − ℎ, 0 + ] существует единственное решениезадачи Коши (1.1), (1.2).9Доказательство можно найти в [57, Теорема 1.1].Теорема 1.2 (о продолжимости решений).
Пусть для системы (1.1) выполнены условия Теоремы 1.1. Предположим, что удовлетворяет неравенству‖ (, )‖ 6 (‖‖ ),где ∈ [0, +∞) неубывающая функция такая, что ∀0 > 0∫︁ lim= +∞.→+∞ ()0Тогда на [0 , +∞) существует единственное решение задачи Коши (1.1), (1.2).Доказательство можно найти в [57, Теорема 1.2].Далее будем предполагать, что (, 0) = 0, что гарантирует существование нулевого решения() ≡ 0 у (1.1).Определение 1.1. Нулевое решение уравнения (1.1) равномерно асимптотически устойчиво, если(i) для любого > 0 и любого 0 существует () > 0 такое, что если ‖0 ‖ < (), то|()| < для > 0 ;(ii) существует > 0 такое, что для любого > 0 существует ( , ) такое, что если‖0 ‖ < , то |()| < для > 0 + () и 0 ∈ R.Тривиальное решение называется глобально равномерно асимптотически устойчивым, еслив (ii) может быть произвольно большим конечным числом.
Система называется равномерноасимптотически устойчивой, если её нулевое решение равномерно асимптотически устойчиво.Эффективными методами исследования устойчивости систем с запаздыванием являются метод функционалов Ляпунова-Красовского [4] и метод функция Ляпунова-Разумихина [5].Функционалы Ляпунова-Красовского – это естественное обобщение прямого метода Ляпунова для систем, у которых состояние является функцией. Пусть : R × → R непрерывныйфункционал и удовлетворяет (1.1). Тогда определим производную вдоль траектории :1˙ (, ) = lim [ ( + , + ) − (, )] .→0+ (1.3)Теорема 1.3 (Ляпунова-Красовского). Пусть : R × → R отображает R×(ограниченныемножества в ) в ограниченные множества в R , , , : [0, +∞) → [0, +∞) непрерывныенеубывающие положительные для > 0 функции и (0) = (0) = 0.
Нулевое решение уравнения10(1.1) равномерно асимптотически устойчиво, если существует непрерывный функционал : R× → [0, +∞), который положительно определён(|(0)|) 6 (, ) 6 (‖‖ ),(1.4)и производная которого вдоль траекторий (1.1) отрицательна˙ (, ) 6 −(|()|).(1.5)Если к тому же lim→∞ () = ∞, то нулевое решение глобально равномерно асимптотическиустойчиво.Доказательство можно найти в [51, Теорема 1.3].Для непрерывной функции : R × R → R определим1˙ (, ()) = lim [ ( + , ( + )) − (, ())] .→0+ (1.6)Теорема 1.4 (Ляпунова-Разумихина). Пусть : R × → R отображает R×(ограниченныемножества в ) в ограниченные множества R , , , , : [0, +∞) → [0, +∞) непрерывныенеубывающие положительные для > 0 функции, () > для > 0 и (0) = (0) = 0.
Нулевоерешение уравнения (1.1) равномерно асимптотически устойчиво, если существует непрерывнаяфункция : R × R → [0, +∞), которая положительно определена(||) 6 (, ) 6 (||)(1.7)такая, что˙ (, ()) 6 −(|()|), если ( + , ( + )) < ( (, ())),∀ ∈ [−ℎ, 0].(1.8)Если к тому же lim→∞ () = ∞, то нулевое решение глобально равномерно асимптотическиустойчиво.Доказательство можно найти в [51, Теорема 1.4].1.2Метод пассификацииВ данном разделе приводятся необходимы в дальнейшем сведения из теории пассивных систем[1].Рассмотрим линейную стационарную систему()˙= () + (),(1.9)() = ()11с состоянием ∈ R , управлением ∈ R и измерениями ∈ R . Постоянные матрицы , и имеют подходящие размерности.Определение 1.2. Для заданного вектора ∈ R система (1.9) называется пассивной, еслисуществует неотрицательная функция () такая, что∫︁ (()) 6 ((0)) +() () (1.10)0для любого решения () системы (1.9).Определение 1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
