Диссертация (1145377), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Òàêàÿñèòóàöèÿ ìîæåò, íàïðèìåð, èìåòü ìåñòî, êîãäà íà÷àëî è êîíåö èìïóëüñà ôîðìèðóþòñÿ äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ñîáñòâåííûìè ìîäàìè, ðàçäåëåííûìè ïî âðåìåííîé øêàëå.Òàêèì îáðàçîì íàëè÷èå ðàñõîæäåíèÿ â ïîâåäåíèè êðèâûõ ñæàòèÿ è ýôôåêòèâíîñòè ñóùåñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ ìîäîâîé ñòðóêòóðîé ïàìÿòè, êîòîðàÿ ðàçëè÷àåòñÿ íåòîëüêî îò ñõåìû ê ñõåìå, íî è äëÿ îäíîé ñõåìû â çàâèñèìîñòè îò ãåîìåòðèè ñ÷èòûâàíèÿ.
Âåëè÷èíà ñæàòèÿ èìïóëüñà îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ôàêòîðàìè: òåì, êàêèå èçìîä ñîäåðæàò íóëåâóþ ÷àñòîòíóþ êîìïîíåíòó, è íàñêîëüêî õîðîøî àêòèâíûå ìîäûðàçäåëåíû âî âðåìåíè. Åñëè âñå àêòèâíûå ìîäû ñîäåðæàò íóëåâóþ ÷àñòîòíóþ êîìïîíåíòó è õîðîøî ïåðåêðûâàþòñÿ íà âðåìåííîé îñè, òî ñæàòèå è ýôôåêòèâíîñòüáóäóò äîñòèãàòü ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé îäíîâðåìåííî.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìîæåìîæèäàòü ðàçëè÷íûõ óñëîâèé äëÿ äîñòèæåíèÿ ìàêñèìóìà ýòèìè ïàðàìåòðàìè.Äëÿ ñëó÷àÿ, ðàññìîòðåííîãî íà ðèñ.
7.15a, âèäèì, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè T̃R = 2.75ïåðâàÿ ìîäà ïîëÿ ïî-áîëüøåé ÷àñòè ñ÷èòàíà, âòîðàÿ ìîäà ýíåðãåòè÷åñêè ëîêàëèçîâàíà íà äðóãîì âðåìåííîì èíòåðâàëå, à âñå îñòàëüíûå îòôèëüòðîâûâàþòñÿ ïàìÿòüþ.230Ãëàâà 7Íóëåâàÿ ñïåêòðàëüíàÿ êîìïîíåíòà ïåðâîé ìîäû âåëèêà è õîðîøî ñæàòà (ò.å. ïåðâàÿìîäà êàê öåëîå õîðîøî ñæàòà).
Òàêèì îáðàçîì, õîòÿ ïîëîâèíà ôîòîíîâ âñå åùå íåñ÷èòàíà (îíè áóäóò âîññòàíîâëåíû èç âòîðîé ìîäû), ìû íàáëþäàåì õîðîøåå ñæàòèåâîññòàíîâëåííîãî èìïóëüñà.7.5.1 Ñðàâíåíèå àêòóàëüíûõ ïàðàìåòðîâ äëÿ äâóõ ìîäåëåé ïàìÿòèÑëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äâå ðàññìàòðèâàåìûå ìîäåëè êâàíòîâîé ïàìÿòè ñïåêòðàëüíî âåñüìà ðàçëè÷íû. ×òîáû îöåíèòü øèðèíû ñïåêòðàëüíûõ äèàïàçîíîâ ñîáñòâåííûõôóíêöèé â òîì è äðóãîì ñëó÷àÿõ, íàì íåîáõîäèìî âåðíóòüñÿ îò áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ ê ðàçìåðíûì. Âñïîìíèì, ÷òî ïðîöåäóðà îáåçðàçìåðèâàíèÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ìîäåëåé ðàçëè÷íà. Äëÿ îáåçðàçìåðèâàíèÿ âðåìåíè â ðàññìàòðèâàåìûõ ñõåìàõìû ïîëüçîâàëèñü ñîîòíîøåíèÿìè (7.45) è (7.95), ñîîòâåòñòâåííî:ΩHS t → tHS ,2Ω2ADt → tAD ,γ(7.127)ãäå ñ ìû äîáàâèëè íèæíèå èíäåêñû, ÷òîáû óêàçàòü íà èñïîëüçóåìóþ ìîäåëü. Ïðèýòîì, òðåáîâàíèÿ, íàêëàäûâàåìûå íà âåëè÷èíó ÷àñòîòû Ðàáè, ïðîòèâîïîëîæíû:γ ≪ ΩHS ,γ ≫ ΩAD ,(7.128)îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ΩAD ≪ ΩHS , è èõ îòíîøåíèå äîëæíî ñîñòàâëÿòü êàê ìèíèìóì2 ïîðÿäêà.
Îïèðàÿñü íà ïðåäñòàâëåííûå çäåñü íåðàâåíñòâà, à òàêæå, îáðàùàÿ âíèìàíèå, ÷òî îòíîøåíèå áåçðàçìåðíîé øèðèíû ñïåêòðîâ íà ðèñ. 7.17 è 7.18 ñîñòàâëÿåò∆ωHS /∆ωAD ≈ 10, ïîëó÷èì, ÷òî øèðèíà ñîáñòâåííûõ ìîä àäèàáàòè÷åñêîé ìîäåëèïàìÿòè êàê ìèíèìóì íà 4 ïîðÿäêà ìåíüøå, ÷åì ñîîòâåòñòâóþùàÿ øèðèíà äëÿ øèðîêîïîëîñíîé ìîäåëè. Ïðè ýòîì ìîæíî óâèäåòü, ÷òî, õîòÿ áåçðàçìåðíûå çíà÷åíèÿ Lðàçëè÷íû, ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî îáà ðàñ÷åòà ïðîâîäèëèñü ïðè îäíîé è òîé æå îïòè÷åñêîé ïëîòíîñòè d ∼ 55 (ïîëàãàÿ ñïðàâåäëèâûì ñîîòíîøåíèå ΩHS /γ ≈ 10).
Îòìåòèì,Øèðîêîïîëîñíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâàÿ êâàíòîâàÿ ïàìÿòü231Ðèñ. 7.19: Âõîäíîé (ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ) è âîññòàíîâëåííûé (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) ñïåêòðû ñæàòèÿ äëÿ øèðîêîïîëîñíîé (a) è àäèàáàòè÷åñêîé (b) ìîäåëåé êâàíòîâîé ïàìÿòè.÷òî ñîîòíîøåíèå ïàðàìåòðîâ çàäà÷è, õàðàêòåðíîå äëÿ ìîäåëè øèðîêîïîëîñíîé ïàìÿòè, ëåã÷å äîñòèæèìî â ýêñïåðèìåíòàõ ñ ðåçîíàíñíûìè Λ-àòîìàìè, îñîáåííî â ñëó÷àåõîëîäíûõ àòîìíûõ àíñàìáëåé, ÷åì óñëîâèå àäèàáàòè÷íîñòè ïðîöåññà.Èç ðèñóíêîâ 7.17 è 7.18 âèäíî, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü ñõåììíîãî ìåíüøå âûáðàííîé íàìè øèðèíû ñïåêòðà âõîäíîãî ñèãíàëà. Ìîæíî ñêàçàòü,÷òî òàêîé âûáîð áûë íå îïòèìàëåí, è íåîáõîäèìî ñîãëàñîâûâàòü ïåðåäàâàåìûé ñèãíàë ñ âîçìîæíîñòÿìè ÿ÷åéêè ïàìÿòè.  ýòîì ñìûñëå ìîäåëü øèðîêîïîëîñíîé ïàìÿòè âûãëÿäèò áîëåå ïðèâëåêàòåëüíîé, ïîñêîëüêó îáåñïå÷èâàåò çíà÷èòåëüíî áîëüøóþñïåêòðàëüíóþ ïîëîñó ïðîïóñêàíèÿ ñèãíàëà, êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå.
Îòìåòèì, ÷òîóìåíüøåíèå çíà÷åíèÿ ñïåêòðàëüíîé øèðèíû κ ïðè ñîõðàíåíèè äëèòåëüíîñòè âõîäíîãî èìïóëüñà ïðèâîäèò ê ïîòåðÿì â ñæàòèè âõîäíîãî èìïóëüñà (ñì. ðèñ. 7.19). Îäíàêîâèäíî, ÷òî ïðè âûáîðå κ ≈ 2 øèðîêîïîëîñíîé ìîäåëè è κ ≈ 0.2 äëÿ àäèàáàòè÷åñêîéïàìÿòè ýòè ïîòåðè îêàçûâàþòñÿ îòíîñèòåëüíî íå âåëèêè, è ñîîòíîøåíèå κT ≫ 1 âñååùå ìîæíî ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü âûïîëíåííûì.Íà ðèñ. 7.19 èçîáðàæåíû ñïåêòðû ñæàòèÿ âõîäíîãî è âîññòàíîâëåííîãî ñèãíàëîâ,êîãäà ïîëîñà ñæàòèÿ âõîäíîãî ïîëÿ ñîãëàñîâàíà ñ ïîëîñîé ïðîïóñêàíèÿ ÿ÷åéêè ïàìÿòè.232Ãëàâà 7Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìûå ÿ÷åéêè ïàìÿòè ÿâëÿþòñÿ ìîäîâûìèôèëüòðàìè, ò.å. ÷óâñòâèòåëüíû òîëüêî ê íåñêîëüêèì ïåðâûì ìîäàì âõîäíîãî ñèãíàëà, òî íàëè÷èå íà âõîäå äðóãèõ ìîä íå âëèÿåò íà âåëè÷èíó ïîëíîãî ñæàòèÿ âèìïóëüñå.
Èç ïðåäñòàâëåííûõ ñïåêòðîâ ìîæíî âèäåòü, ÷òî íóëåâàÿ ñïåêòðàëüíàÿêîìïîíåíòà äîñòàòî÷íî âåëèêà òîëüêî â ñïåêòðàõ 1-îé è 2-îé ñîáñòâåííûõ ìîä.  òîæå âðåìÿ, âõîäíîé ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ õîðîøî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé ïåðâûõ äâóõ ìîä. Èìåííî ïîýòîìó ïðîâåäåííîå ñðàâíåíèå êðèâûõ ýôôåêòèâíîñòèè ñòåïåíè ñæàòèÿ âïîëíå îïðàâäàííî, íåñìîòðÿ íà ðàçëè÷íûé õàðàêòåð ñèãíàëîâ íàâõîäå. Íàïðèìåð, åñëè çíàÿ ñâîéñòâà íàøåé ñõåìû êàê ìîäîâîãî ôèëüòðà ìû ñôîðìèðóåì âõîäíîé ñèãíàë â âèäå ñóïåðïîçèöèè äâóõ ïåðâûõ ìîä â ñõåìå øèðîêîïîëîñíîéïàìÿòè, òî êðèâûå, ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ.
7.15a ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíÿòñÿ.Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïîíÿòèå êâàíòîâîé ýôôåêòèâíîñòè çàïèñè-ñ÷èòûâàíèÿ õîòü èìîæåò áûòü ââåäåíî äëÿ èìïóëüñà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû, íî íå ÿâëÿåòñÿ ïðè ýòîìóíèâåðñàëüíîé õàðàêòåðèñòèêîé ÿ÷åéêè ïàìÿòè, ÷åðåç êîòîðóþ ìîãóò áûòü âûðàæåíû äðóãèå ñâîéñòâà äàííîé ÿ÷åéêè (íàïðèìåð, ñïîñîáíîñòü ê ñîõðàíåíèþ ñæàòèÿ).Òîëüêî ýôôåêòèâíîñòü, îïðåäåëåííàÿ ïî-îòíîøåíèþ ê êàêîé-ëèáî îäèíî÷íîé ñîáñòâåííîé ìîäå ïàìÿòè, ÿâëÿåòñÿ òàêîé èñ÷åðïûâàþùåé õàðàêòåðèñòèêîé.
Ò.î. äëÿèìïóëüñà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû íå äîñòàòî÷íî îáåñïå÷èòü âûñîêóþ ýôôåêòèâíîñòüïàìÿòè, ÷òîáû ãîâîðèòü î ñîõðàíåíèè êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ ñâåòà.7.6Ýôôåêòèâíîñòü è äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè êà÷åñòâà õðàíåíèÿ èíôîðìàöèè ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû ïîêàçàëè, ÷òî, â îòëè÷èå îò îäíîìîäîâîé ìîäåëè, ïðèðåøåíèè çàäà÷ ìíîãîìîäîâîé êâàíòîâîé ïàìÿòè ýôôåêòèâíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ èñ÷åðïûâàþùåé õàðàêòåðèñòèêîé ñïîñîáíîñòè ñèñòåìû ê ñîõðàíåíèþ êâàíòîâûõ ñâîéñòâñâåòà.Øèðîêîïîëîñíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâàÿ êâàíòîâàÿ ïàìÿòü233Ìîæíî ãîâîðèòü íå ïðîñòî îá ýôôåêòèâíîñòè êâàíòîâîé ïàìÿòè, íî î ìíîãèõýôôåêòèâíîñòÿõ ïî îòíîøåíèþ ê çàïîìèíàíèþ êîíêðåòíûõ ñâîéñòâ ïîëÿ.Íàïîìíèì, ÷òî òðàäèöèîííàÿ ýôôåêòèâíîñòü êâàíòîâîé ïàìÿòè ââîäèòñÿ êàê îòíîøåíèå ñðåäíèõ ÷èñåë ôîòîíîâ â âûõîäíîì è âõîäíîì èìïóëüñàõ.
Òàêèì îáðàçîìýòî ìîæåò òðàêòîâàòüñÿ êàê ýôôåêòèâíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê ñîõðàíåíèþ ïîëíîãîñðåäíåãî ÷èñëà ôîòîíîâ â ñèãíàëüíîì èìïóëüñå:Eph.number = ⟨n̂out ⟩/⟨n̂in ⟩.(7.129)ãäå îïåðàòîðû ÷èñëà ôîòîíîâ âî âõîäíîì è âûõîäíîì ñèãíàëüíûõ èìïóëüñàõ ñ äëèòåëüíîñòÿìè ñîîòâåòñòâåííî Tin è Tout ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå∫n̂in =Tindtâ†in (t)âin (t),∫n̂out =0Toutdt â†out (t)âout (t).(7.130)0Õîòÿ â îïðåäåëåíèè Eph.number óïîìèíàåòñÿ î ôîòîíàõ, òåì íå ìåíåå ýòà âåëè÷èíà ïîôèçè÷åñêîìó ñìûñëó ñîâåðøåííî êëàññè÷åñêàÿ è ìîæåò òðàêòîâàòüñÿ êàê îòíîøåíèåñðåäíèõ èíòåíñèâíîñòåé íà âõîäå è âûõîäå êâàíòîâîãî êàíàëà.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû îáñóæäàòü ñîõðàíåíèå êâàíòîâî-ñòàòèñòè÷åñêèõ àñïåêòîâ ñèãíàëà, ìû äîëæíû ñëåäèòüçà ôëóêòóàöèîííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè. Íàïðèìåð, åñëè ìû õîòèì çíàòü, íàñêîëüêî õîðîøî ñîõðàíÿåòñÿ ñòàòèñòèêà ôîòîíîâ â èìïóëüñàõ, äîñòàòî÷íî ïðîñëåäèòü çàñîîòâåòñòâóþùèì îòíîøåíèåì ïàðàìåòðîâ Ìàíäåëÿ:Eph.stat. = ξout /ξin ,(7.131)êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ôëóêòóàöèè ÷èñëà ôîòîíîâ δn̂in,out = n̂in,out − ⟨n̂in,out ⟩ ââèäåξin = ⟨: δn̂2in :⟩/⟨n̂in ⟩,ξout = ⟨: δn̂2out :⟩/⟨n̂out ⟩.Çäåñü ñèìâîë ⟨: . . . :⟩ îçíà÷àåò íîðìàëüíî óïîðÿäî÷åííîå ñðåäíåå.(7.132)234Ãëàâà 7Åñëè ñòàòèñòèêà çàïîìèíàåìîãî èçëó÷åíèÿ ãàóññîâà, òî õàðàêòåðèñòèêà êâàíòîâûõ àñïåêòîâ ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ êîððåëÿòîðîâ íå âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà.
Åñëèæå ìû èìååì äåëî ñ íåãàóññîâûì èñòî÷íèêîì, òî çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ åùå ñëîæíåå,è äëÿ ïîëíîãî îïèñàíèÿ òàêîé ñèñòåìû, âîîáùå ãîâîðÿ, òðåáóþòñÿ êîððåëÿöèîííûåôóíêöèè âñåõ ïîðÿäêîâ. Äèíàìè÷åñêèõ è ñòàòèñòè÷åñêèõ àñïåêòîâ çàäà÷è î÷åíü ìíîãî, è äëÿ êàæäîãî èç íèõ ìîãëà áû áûòü ââåäåíà ñâîÿ ýôôåêòèâíîñòü. Çäåñü ìûîãðàíè÷èìñÿ åùå òîëüêî îäíîé õàðàêòåðèñòèêîé, ðàññìîòðåííîé íàìè ðàíåå íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ, à èìåííî, ýôôåêòèâíîñòüþ ïàìÿòè ïî îòíîøåíèþ ê çàïîìèíàíèþñæàòèÿ ñâåòîâîãî èìïóëüñà:Esqueez.
= ⟨: δx̂out,ω δx̂out,−ω :⟩/⟨: δx̂in,ω δx̂in,−ω :⟩.(7.133)Çäåñü ìû ââîäèì â ðàññìîòðåíèå êâàäðàòóðíûå ôëóêòóàöèè êàê ðåàëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè ñîîòâåòñòâóþùåé íåýðìèòîâñêîé àìïëèòóäû è ïîëàãàåì, ÷òî âî âõîäíîìèìïóëüñå ñæàòîé áûëà x-êâàäðàòóðà.Âîçâðàùàÿñü ê ìîäåëè ñâåòîäåëèòåëüíîé ïëàñòèíû, âèäèì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (7.80)ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü èíäèâèäóàëüíûå ýôôåêòèâíîñòè â ÿâíîì âèäå.  ðåçóëüòàòåíåòðóäíî ïîëó÷èòü, ÷òî äëÿ êâàíòîâîãî êàíàëà òèïà ñâåòîäåëèòåëÿEph.number = Eph.stat. = Esqueez. = T .(7.134)Åñëè ìû çàõîòèì ïðîñëåäèòü çà ëþáûìè äðóãèìè ñòàòèñòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, òî óâèäèì, ÷òî ýôôåêòèâíîñòü èõ ñîõðàííîñòè â ýòîì ñëó÷àå òî÷íî òàêæåîäíîçíà÷íî áóäåò âûðàæàòüñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíò T .Èíà÷å îáñòîèò äåëî â ìîäåëÿõ, ðàññìîòðåííûõ íàìè âûøå.
Êàê óæå áûëî ñêàçàíî, çäåñü ñâÿçü ìåæäó âõîäíûì ïîëåì ain (t) = â(z = 0, t) è âûõîäíûì ïîëåìâout (t) = â(z = L, t) ïåðåñòàåò áûòü ëîêàëüíîé âî âðåìåíè è îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì ñîîòíîøåíèåì âèäà:∫âout (t) =0Tindt′ âin (Tin − t′ ) G(t, t′ ) + v̂(t)(7.135)Øèðîêîïîëîñíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâàÿ êâàíòîâàÿ ïàìÿòü235Çäåñü ìû îïóñòèì óïîìèíàíèå î ïîïåðå÷íîì âîëíîâîì âåêòîðå, ïîñêîëüêó, êàê áûëîïîêàçàíî âûøå, ðàçâèòèå êàæäîé ïëîñêîé âîëíû ïðîèñõîäèò íåçàâèñèìî îò äðóãèõâîëí, è äàííûå ñîîòíîøåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü äëÿ êàæäîãî ⃗q â îòäåëüíîñòè.Ïåðâîå ñëàãàåìîå ñïðàâà â óðàâíåíèè (7.135) îïèñûâàåò âêëàä âõîäíîãî ñèãíàëüíîãî ïîëÿ â âûõîäíîå.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè ýòî åäèíñòâåííîå, ÷òî íàäî ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå. Îäíàêî, â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ìûîáÿçàíû òàêæå ó÷èòûâàòü åùå è òå ÷ëåíû, êîòîðûå ôîðìèðóþòñÿ äðóãèìè ïîäñèñòåìàìè. Îíè èçíà÷àëüíî íàõîäÿòñÿ â âàêóóìíûõ ñîñòîÿíèÿõ, è èõ åäèíñòâåííàÿ, íîêðàéíå âàæíàÿ ðîëü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ ñîõðàíÿëè áû ñâîþ êàíîíè÷åñêóþ ôîðìó:[] []âout (t1 ), â†out (t2 ) = âin (t1 ), â†in (t2 ) = δ(t1 − t2 ).(7.136)Äàëåå ìû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî îïåðàòîðû v̂(t) è âin (t) íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà èïîòîìó ñîîòâåòñòâóþùèé êîììóòàòîð [v̂(t), âin (t′ )] ðàâåí íóëþ.
Òåïåðü, ïðèíèìàÿ âîâíèìàíèå (7.136), íåòðóäíî ïîëó÷èòü íåíóëåâîå êîììóòàöèîííîå ñîîòíîøåíèå∫ Tin[]†(7.137)v̂(t1 ), v̂ (t2 ) = δ(t1 − t2 ) −dt G(t1 , t)G(t2 , t).0Äëÿ àíàëèçà èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (7.135) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíîóðàâíåíèå äëÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé:∫ T√λj φj (t) =dt′ φj (t′ )G(t, t′ ),(7.138)0ãäå íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé φj (t) îáðàçóåò ïîëíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ:∫ T∑(7.139)dtφi (t)φ∗j (t) = δij ,φj (t)φ∗j (t′ ) = δ(t − t′ ).0jÄëÿ íàñ â äàëüíåéøåì áîëåå ïîëåçíûì îêàçûâàåòñÿ òàê íàçûâàåìîå ðàçëîæåíèåØìèäòà (ñì., íàïðèìåð, [105]) äëÿ ÿäðà G(t, t′ ), êîòîðîå èìååò âèäG(t, t′ ) =∑√λj φ∗j (t)φj (t′ ).j(7.140)236Ãëàâà 7Ýòî ðàçëîæåíèå è èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (7.138) îäíîçíà÷íî äðóã ñ äðóãîì ñâÿçàíû.Ðàçëîæèì òåïåðü âñå õàðàêòåðíûå àìïëèòóäû ïî ïîëíîìó îðòîíîðìèðîâàííîìóíàáîðó φj (t) â âèäåâout (t) =∑iâin (T − t) =v̂(t) =∑êout,i φi (t),∑êin,i φi (t),(7.141)iêi ki φi (t).iÍåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ñîõðàíåíèÿ êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé ìû äîëæíûïîëîæèòü ki = 1 − λi .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
