Автореферат (1145331), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Полученные в работе свойства оператора решения гарантируют сходимость метода простойитерации для модели радиационно-кондуктивного теплообмена (26)-(29).Проведено сравнение результатов вычисления температурного профиля на основе моделей (22)-(25) и (26)-(29) с табличными данными, представленными в статьях C.E. Siewert,J.R. Thomas (1991) и C.E. Siewert (1995). Полученные результаты демонстрируют хорошее согласование данных, что свидетельствует об адекватности используемых в Главе IVматематических моделей.19Рисунок 3 — Поведение нормализованной температуры в точках слоя, полученное на основе предложенной процедуры (сплошная линия) для системы (30)-(33) и на основе модифицированного метода Монте-Карло (точечный график).Рисунок 4 — Зависимость среднеквадратичных отклонений от числа итераций между температурным профилем, полученным с помощью метода Монте-Карло, и температурнымипрофилями, полученными с помощью диффузионных приближений.
Пунктирная линиясоответствует итерационной процедуре для системы (26)-(29). Сплошная линия соответствует предложенной итерационной процедуре для системы (30)-(33).20В Главе V исследована математическая модель радиационно-кондуктивно-конвективного теплообмена (так называемого сложного теплообмена) в области G с отражающей границей Γ:−a∆θ + v · ∇θ + bµa θ4 = bµa ϕ,(36)−α∆ϕ + µa ϕ = µa θ4 ,(37)θ|Γ = Θ0 ,(38)α∂n ϕ + β(ϕ − Θ40 )|Γ = 0.(39)Здесь θ – нормализованная температура, ϕ – нормализованная интенсивность излучения,усредненная по всем направлениям, v – заданное поле скоростей.
Постоянные a, b и αопределены следующим образом:a=k,ρcvb=34σn2 Tmax,ρcvα=1,3µ − Aµsгде k – теплопроводность, cv – удельная теплоемкость, ρ – плотность, σ – постояннаяСтефана-Больцмана, n – показатель преломления, Tmax – максимальная температура вненормализованной модели. Через ∂n обозначена производная в направлении внешней нормали. Неотрицательная функция Θ0 , определенная на Γ и функция β, описывающая, вчастности, отражающие свойства границы Γ, являются заданными.Полагаем, что G – липшицева ограниченная область, граница Γ которой состоит изконечного числа гладких кусков, а исходные данные удовлетворяют условиям:(i) v ∈ H 1 (G) ∩ L∞ (G); ∇ · v = 0.e Γ = Θ0 , m ≤ θe ≤ M.(ii) Θ0 ∈ L∞ (Γ), 0 ≤ m ≤ Θ0 ≤ M ; ∃ θe ∈ H 1 (G), θ|(iii) β ∈ L∞ (Γ), β ≥ β0 > 0.Здесь через Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ обозначено пространство Лебега, а через H s – пространствоСоболева W2s .
Через (·, ·) обозначено скалярное произведение в L2 (G). Кроме этого будемиспользовать пространствоH01 (G) = {η ∈ H 1 (G) : η|Γ = 0}с нормой kηkH01 (G) = (∇η, ∇η)1/2 .Определение 1. Пара {θ, ϕ} ∈ H 1 (G) × H 1 (G) называется слабым решением задачи(36)-(39), еслиa(∇θ, ∇η) + (v · ∇θ + bµa (θ4 − ϕ), η) = 0 ∀η ∈ H01 (G),Z4α(∇ϕ, ∇ψ) + µa (ϕ − θ , ψ) + β(ϕ − Θ40 )ψdΓ = 0 ∀ψ ∈ H 1 (G),(40)(41)Γи при этом θ|Γ = Θ0 .В §11 доказаны следующие теоремы существования и единственности решения краевойзадачи (36)-(39).21Теорема 8. Пусть выполняются условия (i)-(iii).
Тогда существует слабое решение задачи (36)-(39), удовлетворяющее условиямm4 ≤ ϕ < M 4 .m ≤ θ ≤ M,(42)Обозначимγ1 = inf{k∇ζk2 : ζ ∈ H01 (G), kζk = 1},Z2γ2 = inf{αk∇ψk + βψ 2 dΓ : ψ ∈ H 1 (G), kψk = 1}.ΓТеорема 9. Пусть выполняются условия (i)-(iii) и условие4M 3 µ2a b < (aγ1 + 4m3 µa b)(γ2 + µa ),(43)тогда задача (36)-(39) однозначно разрешима в классе слабых решений, удовлетворяющих(42).В заключение §11 представлены результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующие важность учета радиационных эффектов при расчете энергетических потоковв области больших температурных полей.
В частности, приведен пример, показывающийзначительное увеличение теплоотдачи в модели сложного теплообмена по сравнению смоделью конвективно-кондуктивного переноса тепла.В §12 исследована задача оптимального управления для модели сложного теплообмена(36)-(37) с граничными условиямиθ|Γ1 ∪Γ2 = Θ0 ,∂n θ|Γ3 = 0,α∂n ϕ + u(ϕ − Θ40 )|Γ1 = 0,α∂n ϕ + βϕ|Γ2 ∪Γ3 = 0.(44)(45)Здесь Θ0 и u есть неотрицательные функции, определенные на Γ1 ∪Γ2 и Γ1 соответственно.Задача оптимального управления заключается в нахождении функций u, θ и ϕ, которыеудовлетворяют системе (36), (37), (44), (45), условиямu1 (r) ≤ u(r) ≤ u2 (r),0 ≤ θ(r) ≤ M,r ∈ Γ1 ,r∈G(46)(47)и максимизируют поток энергии, покидающий область через участок границы Γ3 в единицу времени:Z(θvn + bβϕ) dΓ → max .(48)Γ3Здесь u1 и u2 есть заданные неотрицательные функции, определенные на Γ1 , M > 0 естьзаданная постоянная, vn = v · n.В §12 доказана разрешимость задачи оптимального управления и сформулированынеобходимые условия оптимальности.
Интересным следствием которых является выполнение аналога принципа bang-bang, заключающегося в том, что оптимальное управлениеub в точке r ∈ Γ1 принимает одно из крайних значений u1 (r) или u2 (r).22В Заключение приводятся основные результаты диссертационной работы.1. Предложен метод многократного облучения для решения задачи компьютерной томографии. Разработан параллельный алгоритм реконструкции структуры трехмерногообъекта.2. Предложен эффективный алгоритм решения задачи компьютерной томографии наоснове векторного уравнения переноса.3. Доказана однозначная разрешимость прямой задачи для уравнения переноса поляризованного излучения в слоистой среде с обобщенными условиями сопряжения на контактных границах слоев.
Предложен вычислительный алгоритм нахождения характеристик поляризованного излучения в слоистой среде. Разработан алгоритм решения задачиоптической томографии биологической ткани.4. Разработан рекурсивный алгоритм для решения стационарной задачи радиационнокондуктивного теплообмена в рассеивающем слое с отражающими границами. Разработанитерационный алгоритм для нахождения решения P1 (диффузионного) приближения задачи радиационно-кондуктивного теплообмена.
Сформулированы ограничения на коэффициенты задачи, гарантирующие быструю сходимость итерационного процесса. Доказаны теоремы безусловной однозначной разрешимости краевой задачи для диффузионноймодели радиационно-кондуктивного теплообмена в слое.5. Доказана однозначная разрешимость краевой задачи для модели сложного теплообмена в трехмерных рассеивающих среда. Исследована задача оптимального мультипликативного управления для модели сложного теплообмена. Доказана разрешимость задачиоптимального управления. Доказан аналог принципа bang-bang для рассмотренной задачиоптимального управления.Основные публикации автора по теме диссертацииМонографии1. Аниконов Д.С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переносав томографии.
– М.: Логос, 2000 – 224 с.2. Anikonov D.S., Kovtanyuk A.E., and Prokhorov I.V. Transport Equation and Tomography.– Utrecht-Boston. VSP. 2002 – 207 p.Статьи в рецензируемых научных изданиях3. Anikonov D.S., Prokhorov I.V., Kovtanyuk A.E. Investigation of scattering and absorbingmedia by the methods of X-ray tomography // J. Inverse and Ill-Posed Problems. VSP.1993. Vol. 1. № 4. P. 259–281.4. Ковтанюк А.Е., Мальцева Е.В. Влияние различных факторов на точность диффузионного приближения уравнения переноса в плоскопараллельном случае // Сибирскийжурнал индустриальной математики.
2003. Т.6. №1 (13). С. 40–50.235. Kovtanyuk A.E., Prokhorov I.V. Tomography problem for the polarized-radiation transferequation // J. Inverse and Ill-Posed Problems. VSP. 2006. Vol. 14. № 6. P. 1–12.6. Аниконов Д.С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В., Коновалова Д.С., Назаров В.Г., Яровенко И.П. Радиационная томография и уравнение переноса излучения // Дальневосточный матем.
журнал. 2008. Т. 8. №1. C. 5–19.7. Kovtanyuk A.E., Prokhorov I.V. Numerical solution of the inverse problem for the polarizedradiation transfer equation // Numerical Analysis and Applications. Springer. 2008. Vol. 1.№1. P. 46–57.8. Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Краевая задача для уравнения переноса поляризованного излучения в слоистой среде с френелевскими условиями сопряжения награнице раздела сред // Дальневосточный матем.
журнал. 2010. Т. 10. №1. C. 50–59.9. Kovtanyuk A.E., Nefedev K.V., Prokhorov I.V. Advanced computing method for solving ofthe polarized-radiation transfer equation // Lecture Notes in Computer Science. Springer.2010. Vol. 6083. P. 268–276.10. Kovtanyuk A.E., Prokhorov I.V. Boundary-value problem for the polarized-radiation transfer equation with Fresnel interface conditions in layered medium // J. of Computationaland Applied Mathematics.
Elsevier. 2011. Vol. 235. №8. P. 2006–2014.11. Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Numerical simulations of a coupled conductive-radiative heat transfer model using a modified Monte Carlo method // Int. J. Heatand Mass Transfer. Elsevier. 2012. Vol. 55. P.
649–654.12. Ковтанюк А.Е. Алгоритмы параллельных вычислений для задач радиационно-кондуктивного теплообмена // Компьютерные исследования и моделирование. 2012. Т. 4.№ 3. C. 543–552.13. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu. An iterative method for solving a complex heat transferproblem // Applied Math. and Computation. Elsevier. 2013. Vol.
219. P. 9356–9362.14. Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача сложного теплообмена //Журнал выч. математ. и мат. физики. 2014. Т. 54. № 4. С. 191–199.15. Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача свободной конвекции с радиационным теплообменом // Дифференциальные уравнения. 2014.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
