Автореферат (1145331), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Сумма компонент f1 +f2 есть характеристика излучения, которая удовлетворяет скалярному уравнениюпереноса. Независимая переменная z ∈ G определяет точку слоя, а ν ∈ [−1, 1] есть косинусугла между направлением распространения излучения и положительным направлениемоси z. Двухкомпонентная вектор-функция J описывает внутренние источники излучения,а P представляет собой матрицу рассеяния размерности 2 × 2.Положим, что µ, µs , Ji неотрицательны, µ ≥ µmin > 0 и µ, µs ∈ Cb (G0 ).

ОбозначимX = G × {[−1, 0) ∪ (0, 1]}, X0 = G0 × {[−1, 0) ∪ (0, 1]}. Компоненты матрицы рассеянияpij ∈ Cb (X0 × [−1, 1]\{0}), (P f )1,2 ≥ 0 для f1,2 ≥ 0 и выполняется нормировкаZ1(pi1 (z, ν, ν 0 ) + pi2 (z, ν, ν 0 ))dν 0 = 1,i = 1, 2.−1Введем пространство V (X0 ) двухкомпонентных вектор-функций ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ), ϕi ∈ Cb (X0 )с нормойkϕkV (X0 ) = max kϕi kCb (X0 ) ,i=1,2и пусть J ∈ V (X0 ).Для формулировки граничных условий используем следующие множества:p−1Γint =[{zi × {[−1, 0) ∪ (0, 1]}},Γ±ext = {{z0 × [∓1, 0)} ∪ {zp × [±1, 0)}},Γ± = Γint ∪ Γ±ext .i=1Дополним уравнение (16) граничными условиямиf − (z, ν) = (Bf + )(z, ν) + h(z, ν),(z, ν) ∈ Γ− ,(17)где(f ± (z, ν) =f (z ± 0, ν),f (z ∓ 0, ν),ν < 0,ν > 0,f (z ± 0, ν) = lim f (z ± ε, ν).ε→+0Функция h в условии (17), описывающая внешние источники излучения, принадлежитV (Γ− ) и равна нулю на множестве Γint .

Оператор B задает условия сопряжения на границах раздела сред Γint , а на множестве Γext он полагается равным нулю. Таким образом,с помощью соотношения (17) одновременно задаются граничные условия как на внешнейгранице множества G0 , так и на внутренней его части.Для френелевского случая оператор сопряжения имеет вид:(Bf + )(zi , ν) = Ri (ν)f + (zi , −ν) + Ti (ν)f + (zi , ψi ),i = 1, p − 1.Здесь Ri (ν), Ti (ν) – матричные коэффициенты отражения и прохождения на границеz = zi соответственно. Функция ψi (ν) есть направление распространения излучения, падающего на поверхность z = zi , если в результате преломления по закону Снеллиусанаправление равно ν.14В §5 доказано существование и единственность решения прямой задачи (16), (17), получены оценки типа принципа максимума. Предложен алгоритм, основанный на методеМонте-Карло, решения прямой задачи.

Приведены результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие эффекты поляризации и деполяризации при прохожденииизлучения через слоистую среду.В §6 исследована следующая задача компьютерной томографии.Задача 3. Требуется определить относительные показатели преломления ni+1 /n1 , i =1, ..., p−1 слоистой среды G0 из уравнения (16), граничных условий (17) и дополнительныхграничных условийf + (z0 , ν) = H(z0 , ν), ν < 0,(18)в которых функция H(z0 , ν) считается заданной.Заметим, что если абсолютный показатель преломления первого слоя известен, то показатели преломления остальных слоев легко определяются из относительных показателейпреломления.Полагаем, что излучение не поступает в среду через границу z = zp , то есть h(zp , ν) =0, ν < 0, и функция h(z0 , ν) имеет ограниченную производную по переменной ν.В §6 доказаны следующие теоремы.Теорема 4.

Пусть f есть решение краевой задачи (16), (17), и для некоторого номераi, 2 ≤ i ≤ p выполняются следующие условия:ni< 1,n1ni≤ 1, j = 2, .., i,njf + (zi , −νi − 0) 6= f + (zi , −0),Тогдаni< 1,ni−1pνi = − 1 − (ni /n1 )2 .(19)(20)∂ +f (z0 , ν) → ∞ при ν → νi − 0.∂νТеорема 5. Пусть f (l) , l = 1, 2 являются решениями краевой задачи (16), (17), соответ(l)(l)ствующие двум множествам коэффициентов µ(l) (z), µs (z) и nj , j = 1, ..., p, l = 1, 2.Пусть M есть множество целых чисел i, 2 ≤ i ≤ p, для которых условия (19) и (20)(1)(2)выполняются для каждого множества {nj } и {nj }, иf (1) (z0 , ν) = f (2) (z0 , ν),(1)(1)(2)ν < 0.(21)(2)Тогда ni /n1 = ni /n1 , i ∈ M .Имеющие место (по теореме 4) особенности производной выходящего излучения по угловой переменной объясняются эффектом полного отражения на границах раздела слоев.По значениям угловой переменной при которых происходит аномальный рост производнойможно однозначно определить относительные показатели преломления слоистой среды.15Заметим, что теорема 5 содержит излишние требования, необходимые для единственности решения задачи томографии (см.

равенство (21)). Так, совпадение одной из компонентфункций f (1) и f (2) на границе z = z0 для ν < 0 достаточно для разрешимости задачи 3 иединственности решения. На практике это означает, что для успешного решения задачитомографии нужно измерить компоненту или комбинацию компонент, которая обеспечивает лучшую реконструкцию относительных показателей преломления.Эффективность данного подхода продемонстрирована вычислительным экспериментом определения показателей преломления слоистой среды.

Решение задачи включаетдва этапа. На первом, мы полагаем параметры среды известными, решаем прямую задачу и находим для ν < 0 функцию H(z0 , ν) = f + (z0 , ν), которая описывает выходящееизлучение, H = (H1 , H2 ).Решение задачи 3 включает следующие этапы. Предварительно находим производныефункций H+ (ν) = H1 (z0 , ν) + H2 (0, ν) и H− (ν) = H1 (z0 , ν) − H2 (0, ν).

Затем находим значения νi , i ≤ p, для которых производные принимают аномально большие значения. Далее,pиспользуя равенства ni /n1 = 1 − νi2 , находим относительные показатели преломления.Отметим, что функция H+ (ν) является характеристикой излучения, которая описываетсякак скалярным, так и векторным уравнением переноса, а величина H− (ν) описываетсятолько векторным уравнением.Для численных экспериментов рассмотрена следующая трехслойная среда, моделирующая кожный слой: 1) эпидермис; 2) дерма; 3) капиллярные сплетения. Использовны оптические характеристики этой модельной среды, соответствующие длине волны λ = 633 nmи рассеянию по закону Рэлея.Рассмотрим случай неполяризованного входящего излучения.

Графики производныхфункций H+ (ν) и H− (ν) для ν ∈ (−1, 0) представлены на рисунке 2. Оба графика имеютпики для двух значений переменной ν (-0.43 и -0.36). Это дает два значения относительныхиндексов рефракции: n2 /n1 = 0.933 (точное значение равно 0.9(3)) и n3 /n1 = 0.9028 (точное значение равно 0.9). Таким образом, относительная ошибка реконструкции меньше0.5%.Заметим, что пики функции H+0 в точке ν = −0.43 значительно меньше, чем пик функции H−0 .

Это объясняется тем фактом, что производные компонент выходящего излученияимеют противоположные знаки в этой точке. Ввиду этого, а также наличия на практикеестественного и измерительного шума, восстановление относительного показателя преломления n3 /n1 на основе скалярной модели может оказаться неразрешимой задачей.Таким образом, использование алгоритма, основанного на векторном уравнении переноса, способно обеспечить более качественное восстановление показателей преломления.В Главе IV исследована математическая модель радиационно-кондуктивного переносатепла в слое, включающая в себя уравнение теплопроводности и уравнение переноса теплового излучения.

Также исследована диффузионная модель радиационно-кондуктивноготеплообмена, в которой уравнение переноса заменяется на его P1 -приближение (так называемое, диффузионное приближение).16Рисунок 2 — Производные функций H+ и H− .В §7 исследован вопрос построения граничных условий для P1 -приближения уравненияпереноса. Оценена близость диффузионного приближения к решению уравнения переноса.В §8 рассмотрена краевая задача для модели радиационно-кондуктивного теплообмена врассеивающем слое с отражающими границами.Уравнение радиационного переноса тепла в нормализованной форме имеет видZλ 1νfz (z, ν) + f (z, ν) =p(ν, ν 0 )f (z, ν 0 )dν 0 + (1 − λ)Θ4 (z),(22)2 −1где f (z, ν) есть нормализованная интенсивность излучения в точке z ∈ [0, d] и в направлении, косинус угла которого с положительным направлением оси z составляет ν ∈ [−1, 1];λ < 1 есть альбедо однократного рассеяния, описывающее уровень рассеяния в среде;p(ν, ν 0 ) – фазовая функция; Θ(z) – нормализованная температура.

Введем следующие множества для задания граничных условий: Γ− = {0} × (0, 1] ∪ {d} × [−1, 0) , Γ+ = {0} × [−1, 0) ∪ {d} × (0, 1] .Дополним уравнение (22) следующими граничными условиями:f (ζ, ν) = h(ζ) + (Bf )(ζ, ν),(ζ, ν) ∈ Γ− ,(23)гдеh(0) =ε1 Θ41 ,(Bf )(0, ν) :=ρs1 f (0, −ν)+2ρd1Z0171f (0, −ν 0 )ν 0 dν 0 ,ν > 0,h(d) =ε2 Θ42 ,(Bf )(d, ν) :=ρs2 f (d, −ν)+2ρd2Z1f (d, ν 0 )ν 0 dν 0 ,ν < 0.0Здесь Θ1 и Θ2 – нормализованные температуры на границах слоя; ρsi и ρdi – коэффициентызеркального и диффузного отражения соответственно; εi = 1 − ρsi − ρdi – коэффициентизлучения.Уравнение кондуктивного переноса тепла имеет вид:Z 10100Θ (z) =f (z, ν)νdν ,(24)2Nc−1где Nc есть кондуктивно-радиационный параметр.

Дополним уравнение (24) следующимиграничными условиями:Θ(0) = Θ1 , Θ(d) = Θ2 .(25)Уравнения (22), (24) вместе с граничными условиями (23), (25) представляют собой математическую модель радиационно-кондуктивного переноса тепла в рассеивающем слое сотражающими границами. В §8 разработан рекурсивный алгоритм, основанный на методеМонте-Карло, вычисления нормализованной температуры в слое. Осуществлена реализация предложенного алгоритма на основе технологии MPI. Реализованы 2 пути параллелизации алгоритма.

В первом случае, параллелизация осуществляется по точкам слоя, вовтором – по траекториям метода Монте-Карло. Проанализирована эффективность предложенных способов параллелизации.В §9 исследована диффузионная модель радиационно-кондуктивного теплообмена, являющаяся P1 -приближением задачи (22)-(25):−ϕ00 (x) + αϕ(x) = αθ4 (x), x ∈ (0, 1),(26)ϕ(0) − β1 ϕ0 (0) = Θ41 , ϕ(1) + β2 ϕ0 (1) = Θ42 ,(27)θ00 (x) = −σϕ0 (x),(28)θ(0) = Θ1 ,θ(1) = Θ2 ,(29)гдеσ=1,Nc (3 − Aλ)βi =2 (2 − εi ), i = 1, 2.dεi (3 − Aλ)Здесь α = d2 (1 − λ)(3 − Aλ), параметр A ∈ [−1, 1] описывает анизотропию рассеяния.Функция ϕ(x) интерпретируется как функция f (xd, ν), усредненная по всем направлениям ν.В §9 представлено конструктивное доказательство разрешимости краевой задачи (26)(29) для модели радиационно-кондуктивного переноса тепла, для чего строится ее следующая модифицированная форма:−θ00 (x) + αθ(x) + ασθ4 (x) = α((κ1 − κ2 )x + κ2 ),θ(0) = Θ1 ,θ(1) = Θ2 ,18x ∈ (0, 1),(30)(31)θ(0) − β1 θ0 (0) = −σΘ41 − β1 (κ1 − κ2 ) + κ2 ,(32)θ(1) + β2 θ0 (1) = −σΘ42 + (β2 + 1)(κ1 − κ2 ) + κ2 .(33)В §9 доказаны следующие теоремы существования и единственности решения краевойзадачи (30)-(33).Теорема 6.

Пусть β1 = β2 = β и справедливо неравенство0<α(1 + 3β)≤ σ(Θ1 + Θ2 ) Θ21 + Θ22 ,6−α(34)тогда существует по крайней мере одно решение θ(x) задачи (30)-(33) такое, чтоΘ1 ≤ θ(x) ≤ Θ2 , x ∈ [0, 1].Теорема 7. Пусть справедливы неравенства (34) и2 (1 + 4Θ32 σ) βα2√< 1,3 (π 2 + (1 + 4Θ31 σ) α) (2 + αβ)(35)тогда существует единственное решение θ краевой задачи (30)-(33), Θ1 ≤ θ(x) ≤ Θ2 ,x ∈ (0, 1).Неравенства (34) и (35) являются сложными ограничениями на параметры задачи.Однако, легко видеть, что эти ограничения выполняются когда λ достаточно близко к 1(то есть, α достаточно близко к 0).

Это соответствует случаю подавляющего рассеяния,что является благоприятным условием для использования P1 -приближения.Доказательство теоремы единственности и обоснование сходимости итерационного алгоритма основаны на сжимающем свойстве оператора решения задачи (30)-(33). Осуществлена реализация и тестирование алгоритма нахождения решения системы (30)-(33) дляследующих параметров задачи: d = 1, σ = 200, λ = 0.9, ε = 0.7, A = 1, Θ1 = 0.5, Θ2 = 1.Близость решений задачи (22)-(25) и ее диффузионного приближения (26)-(29), а также скорость сходимости предложенной итерационной процедуры продемонстрированы нарисунках 3, 4.В §10 исследована диффузионная модель радиационно-кондуктивного теплообмена(26)-(29). Доказаны теоремы безусловной однозначной разрешимости краевой задачи.

Характеристики

Список файлов диссертации