Автореферат (1145331), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Уравнение переноса и граничное условие (2) в этом случае примут вид:ω · ∇r f (r, ω, E, α) + µ(r, E)f (r, ω, E, α) =14πZE2 Zk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )f (r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 + J(r, ω, E),(4)E1 Ω(ζ, ω, E) ∈ Γ− ,f (ζ, ω, E, α) = h(ζ, ω, E, α),α ∈ [0, 1].(5)Обозначим подмножество всевозможных горизонтальных направлений множества Ωчерез Ω0 , то есть Ω0 = {ω(θ, γ) ∈ Ω : θ = π/2}, где θ, γ – зенитный и азимутальный уголсоответственно. Также для δ ≥ 0 определим множество Ωδ = {ω ∈ Ω : ρ(ω, Ω0 ) ≥ δ},где ρ(ω, Ω0 ) есть расстояние от точки ω до множества Ω0 .

Обозначим через Xδ множествоG0 × Ωδ × I0 , δ ≥ 0. Через ∂α обозначим частную производную по переменной α.9Интенсивность входящего излучения удовлетворяет следующим ограничениям:(h1 ) h(r − d(r, −ω)ω, ω, E, α) как функция переменных (r, ω, E, α) принадлежит пространству Cb (X0 × [0, 1]);(h2 ) ∂α h(r − d(r, −ω)ω, ω, E, α) как функция переменных (r, ω, E, α) принадлежитпространству Cb (Xδ × [0, 1]) при δ > 0;(h3 ) ∂α h(r − d(r, −ω)ω, ω, E, α) неограниченно возрастает по абсолютной величине приθ = π2 и α → 0;(h4 ) равномерно по r ∈ G0 , α ∈ [0, 1] для почти всех (ω, E) ∈ Ω × I имеет место оценка|∂α h(r − d(r, −ω)ω, ω, E, α) ≤ h1 (ω, E), где функция h1 (ω, E) принадлежит пространствуLq (Ω × I) при некотором q, q > p/(p − 1), p > 1.Условия (h1 )-(h4 ) означают, что интенсивность излучения резко изменяется в горизонтальном направлении при изменении параметра α. При этом возникающая особенностьявляется интегрируемой по направлениям.Дополним уравнение (4) и условие (5) следующим граничным условием:f (η, ω, E, α) = H(η, ω, E, α),(η, ω, E) ∈ Γ+ ,α ∈ [0, 1].(6)Функция H описывает интенсивность "выходящего" из области G излучения.+−+Введем множества Γ−0 , Γ0 как подмножества соответствующих множеств Γ , Γ , содержащие только горизонтальные направления ω 0 = (ω1 , ω2 , 0) ∈ Ω.Сформулируем следующую задачу томографии.Задача 1.

Пусть для коэффициентов µ, k, J, характеризующих внутреннюю структуру среды, выполнены все сформулированные выше ограничения, и интенсивность входящего излучения удовлетворяет условиям (h1 )-(h4 ). Требуется по функциям h(r, ω, E, α)+и H(r, ω, E, α), заданным на соответствующих множествах Γ−0 ×[0, 1] и Γ0 ×[0, 1], определить коэффициент µ(r, E) для r ∈ G0 , E ∈ I0 .В §2 исследованы свойства решения прямой задачи (4), (5) для параметризованногоуравнения переноса. На основе доказанных свойств решения прямой задачи предложенподход для решения задачи 1, который основан на следующей доказанной в диссертационной работе теореме.Теорема 1. Пусть (r, ω 0 , E) ∈ Γ+0 , тогда0d(r,−ωZ )∂α h(r − d(r, −ω 0 )ω 0 , E, ω 0 , α)µ(r − tω , E)dt = ln limα→0∂α H(r, ω 0 , E, α)0.(7)0Дополнительные условия (h1 )-(h4 ), наложенные на входящее в среду излучение, описывают внешние источники излучения специального типа.

Алгоритм реконструкции включаетв себя вычисление набора линейных интегралов по формуле (7) в некотором горизонтальном сечении области G и последующее нахождение функции µ в рассмотренном сечении путем обращения преобразования Радона. Автором доказана теорема единственности10определения коэффициента ослабления на основе предложенного алгоритма. В заключении §2 приведены результаты компьютерного тестирования алгоритма реконструкции,демонстрирующие его эффективность и адекватность используемой математической модели. Предложены пути параллелизации алгоритма на основе технологий MPI и CUDA.В Главе II исследована математическая модель, описывающая перенос поляризованного излучения в неоднородной среде. Основной характеристикой поляризованного излучения является четырекомпонентный вектор-параметр Стокса f =(f1 , f2 , f3 , f4 ).

Векторноеуравнение переноса поляризованного излучения имеет вид:Z(8)ω · ∇r f (r, ω) + µ(r)f (r, ω) = P (r, ω, ω 0 )f (r, ω 0 )dω 0 + J(r, ω).ΩЗдесь J(r, ω) – четырехкомпонентный вектор, описывающий внутренние источники излучения, P (r, ω, ω 0 ) – матрица порядка 4.(4)Определим пространство Cb (X), образованное вектор-функциями f =(f1 , f2 , f3 , f4 ),каждая компонента которой принадлежит Cb (X) и соответствующая норма определяетсяравенством||f ||4 = max ||fi ||.1≤i≤4Относительно коэффициентов уравнения (8) полагаем следующее. Функция µ(r) –(4)неотрицательная и принадлежит пространству Cb (G0 ), а функция J(r, ω) ∈ Cb (G0 × Ω).Все компоненты матрицы P (r, ω, ω 0 ) принадлежат Cb (G0 × Ω × Ω).Уравнение (8) дополним граничным условиемf (r − d(r, −ω)ω, ω) = h(r − d(r, −ω)ω, ω),(r, ω) ∈ G0 × Ω.(9)Полагаем, что функция h, описывающая характеристики входящего в область G излучения, может иметь разрывы при переходе через горизонтальное направление.

Для определения множества непрерывного изменения параметров излучения по угловой переменнойω введем разбиение Ω0 единичной сферы, являющееся объединением областей Ω+ и Ω− –верхней и нижней полусферами соответственно. То есть,Ω0 = Ω− ∪ Ω+ ,Ω± = {ω ∈ Ω : sgn(ω3 ) = ±1}.Пусть функция h(ζ, ω), описывающая входящее в среду излучение, такова, что ее про(4)должение eh(r, ω) = h(r − d(r, −ω)ω, ω) на область G принадлежит пространству Cb (G0 ×Ω0 ).

Прямая задача заключается в нахождении функции f из уравнения переноса (8) играничных условий (9) при известных µ, P, J, h.Функции fi (r, ω) являются параметрами Стокса и должны удовлетворять неравенствамf1 ≥ 0,f12 ≥ f22 + f32 + f42 .(4)(10)Обозначим через K – конус в пространстве Cb (G0 × Ω0 ), образованный функциями(4)f = (f1 , f2 , f3 , f4 ) ∈ Cb (G0 × Ω0 ), удовлетворяющими условиям (10). Именно для функций11из K существуют условия физического характера, которые в итоге гарантируют существование и единственность решения краевой задачи (8), (9).

Эти условия заключаются вследующем. Для всех f ∈ K матрица P (r, ω, ω 0 ) должна удовлетворять ограничениям:P f ∈ K,Z(P (r, ω, ω 0 )f (r, ω 0 ))1 dω 0 ≤Ω(11)µ(r)4πZf1 (r, ω 0 )dω 0 .(12)ΩДоказана следующая теорема об однозначной разрешимости прямой задачи (8), (9).(4)Теорема 2. Пусть eh(r, ω) ∈ K, J ∈ Cb (G0 × Ω) ∩ K и справедливы условия (11), (12),тогда в конусе K решение задачи (8), (9) существует и единственно.Пусть дополнительно к краевому условию (9) задано условиеf (r + d(r, ω)ω, ω) = H(r + d(r, ω)ω, ω),(r, ω) ∈ G0 × Ω.(13)Сформулируем следующую задачу томографии.Задача 2. Определить функцию µ(r) из уравнения (8) и краевых условий (9), (13), еслиизвестны только функции h, H.Для решения поставленной задачи кроме условий, сформулированных в теореме 2,потребуем, чтобы для некоторого i ∈ {1, 2, 3, 4} и для всех ω = (ω1 , ω2 , 0) ∈ Ω выполнялосьсоотношение:e−[ehi (r, ω)] = eh+r ∈ G0 ,(14)i (r, ω) − hi (r, ω) 6= 0,где(ω1 , ω2 , ±ε)±eehi (r, ω) = lim h r,.ε→+01 + ε2Условие (14) означает, что по крайней мере одна компонента функции h имеет скачокпервого рода при переходе через горизонтальное направление.В §3 доказана следующая теорема.Теорема 3.

Пусть в условиях теоремы 2 функция h удовлетворяет условию (14) и выполняется соотношение (13), тогда для всех r ∈ G0 , ω = (ω1 , ω2 , 0) ∈ Ω справедливоравенствоd(r,ω)Z[hi (r − d(r, −ω)ω, ω)]µ(r + ωt)dt = ln.(15)[Hi (r + d(r, ω)ω, ω)]−d(r,−ω)Из теоремы 3 следует, что для определения функции µ достаточно задания не всех компонент векторов h, H, а только одной из компонент, и именно той, для которой выполненоусловие (14). Таким образом, алгоритм решения задачи 2 включает в себя нахождениевсевозможных линейных интегралов по формуле (15) и последующее обращение преобразования Радона.12В §4 предложен численный алгоритм решения прямой задачи для векторного уравнения переноса, представлены результаты тестирования алгоритма решения задачи компьютерной томографии.

На рисунке 1(b) изображена томограмма фантома Шеппа-Логана,полученная с помощью алгоритма И.В. Прохорова для скалярной модели переноса, на рисунке 1(c) – томограмма, полученная с помощью предложенного в диссертационной работе алгоритма. Результаты вычислительного эксперимента демонстрируют эффективностьпредложенного алгоритма реконструкции и адекватность используемой математическоймодели.(a)(b)(c)Рисунок 1 — Фантом Шеппа-Логана: (a) оригинал; (b) алгоритм И.В. Прохорова, основанный на скалярной модели; (c) алгоритм, использующий характеристики поляризованногоизлучения.Таким образом, полученное обобщение алгоритма решения задачи томографии на случай векторного уравнения переноса поляризованного излучения позволяет обеспечить более качественное восстановление по сравнению с ранее использованным подходом. Дляпрактических исследований это означает, что применение поляризованных источниковспециального типа существенно расширяет возможности методов неразрушающего контроля изделий при их радиационном облучении.В Главе III исследована математическая модель переноса поляризованного излученияв слоистой средеp[G0 =Gi , Gi = (zi−1 , zi ).i=1В плоско-параллельном азимутально-симметричном случае уравнение переноса поляризованного излучения имеет вид:Z1νfz (z, ν) + µ(z)f (z, ν) = µs (z)P (z, ν, ν 0 )f (z, ν 0 )dν 0 + J(z, ν).(16)−1Здесь f = (f1 , f2 ) – двухкомпонентная вектор-функция распределения поляризованногоизлучения в среде, связанная с системой параметров Стокса (Ik , I⊥ ) следующими соотношениями: f1 (z, ν) = Ik (z, ν)/n2 (z), f2 (z, ν) = I⊥ (z, ν)/n2 (z), где n(z) – кусочно-постоянный13показатель преломления (индекс рефракции) среды (n(z) = ni для z ∈ Gi ).

Характеристики

Список файлов диссертации