Автореферат (1145331), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Предложенные методы решенияобратных задач для уравнения переноса применимы в неразрушающем контроле промышленных изделий, в медицинской томографии и биооптике. На основе доказанных теоремоднозначной разрешимости для нелинейных краевых задач радиационно-кондуктивноготеплообмена предложены вычислительные алгоритмы нахождения температурного поляв рассеивающих средах для модели сложного теплообмена. Решена задача оптимальногоуправления, направленная на улучшение теплоотдачи от твердых стенок за счет выбораматериала с оптимальными отражающими свойствами.Исследования автора были поддержаны РФФИ (проекты №№97-01-00078-а, 01-01-00128а, 04-01-00126, 05-07-90055-в), программами ведущих научных школ Российской Федерации (проект НШ-9004.2006.1), "Университеты России" (проект УР.03.01.002) и "Минобразования России" (проект Е02-1.0-128), Конкурса проектов ДВО РАН (проекты №№ 05-IIIА-01-101, 06-III-А-01-014), Конкурса интеграционных проектов Дальневосточного, Сибирского и Уральского отделений РАН (проекты №№04-2-1-00-006, 06-II-СУ-01-001), АВЦПРазвитие научного потенциала высшей школы (проект №2.2.2.3/9080, 2010), ФЦП Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.
(Гос. контракт№02.740.11.0198 от 7.07.2009, №14.740.11.0289 от 17.09.2010, Гос. контракт №14.740.11.1000от 23.05.2011, Гос. контракт №16.740.11.0456 от 13.05.2011). При выполнении Гос. контракта №14.740.11.1000 и проекта АВЦП №2.2.2.3/9080 автор являлся руководителем НИР, апри выполнении Гос. контрактов №16.740.11.0456, №14.740.11.0289 – ответственным исполнителем.Степень достоверности и апробация результатов.Эффективность алгоритмов для задач компьютерной томографии в Главах 1, 2 продемонстрирована, в том числе, на стандартных тестовых примерах: фантоме Кормакаи фантоме Шеппа-Логана.
Эффективность алгоритма оптической томографии в Главе 3продемонстрирована на тесте, моделирующем кожный покров человека. Результаты вычислений, проведенных в Главе 4 для различных моделей радиационно-кондуктивного теплообмена, сравнивались с табличными данными, представленными в статьях C.E. Siewert,J.R. Thomas (1991) и C.E.
Siewert (1995). Для рассмотренных в работе краевых задачдоказаны теоремы существования и единственности решения.Основные результаты диссертации были представлены автором в виде устных докладов на международных конференциях: "Russia-Japan Workshop on Differential Equationsin Applied Mathematics" (Хабаровск, 1994), "Mathematical Modeling and Cryptography"(Владивосток, 1995), "High Performance Scientific Computing" (Hanoi, Vietnam, 2009, 2012),"Russia-Taiwan Symposium on Methods and Tools of Parallel Programming Multicomputers"(Vladivostok, Russia, 2010), "Inverse Problems: Modeling and Simulation" (Antalya, Turkey,2010), Seminar der Stipendiatten der Programme "Michail Lomonosov II" und "Immanuil KantII" (Moskau, Russia, 2011), "Open Cirrus Summit 2011" (Moscow, Russia, 2011), "Mathematical modeling of microbiological systems" (Marburg, Germany, 2012), "Параллельные вычис-6лительные технологии (ПаВТ) 2012" (Новосибирск, 2012), "Научный сервис в сети Интернет" (Абрау Дюрсо, 2012), "Облачные вычисления.
Образование. Исследования. Разработка" (Москва, 2011-2013), "International Conference on Combustion Waves Structure andDynamics" (Vladivostok, Russia, 2013, 2014), "IFIP TC7 Conference on System Modellingand Optimization" (Klagenfurt, Austria, 2013), "High Performance Computing 2013" (Kyiv,Ukraine, 2013), "International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA) 2014" (Санкт-Петербург, 2014), а также на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, Хабаровск, 1998–2013), Всероссийской научно-технической конференции "Технические проблемы освоения Мирового океана" (Владивосток, 2009, 2011), и на Всероссийском симпозиуме"Физика геосфер" (Владивосток, 2011).Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научно-методических семинарах Института прикладной математики ДВО РАН и Кафедры информатики, математического и компьютерного моделирования ДВФУ.
Также результаты диссертации были представлены на семинарах Института математики СО РАН (Новосибирск,2012), кафедры Математического моделирования (М6) Технического университета Мюнхена (Мюнхен, Германия, 2010-2013) и на семинаре математического факультета Технического университета Кайзерслаутерна (Кайзерслаутерн, Германия, 2011).Публикации.Всего по теме диссертации опубликована 32 работы, в том числе: две монографии [1,2],патент [21], свидетельство о государственной регистрации базы данных [22], 10 свидетельств о государственной регистрации программ ЭВМ [23-32] и 18 статей [3-20] в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов докторскихдиссертаций. Из результатов совместных работ в диссертацию включены только те, в которых творческий вклад автора является весомым.Структура и объем работы.Диссертация состоит из введения, 12-ти параграфов, структурно разделенных на пятьглав, заключения и списка литературы из 174 наименования.
Работа изложена на 226страницах и содержит 6 таблиц и 21 рисунок.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо Введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, приведен обзор литературы по изучаемым задачам и кратко перечислены результаты, изложенныев остальных главах.В Главе I исследована известная математическая модель, описывающая перенос полихроматического излучения через неоднородную рассеивающую и поглощающую среду.
Воснове модели лежит следующее уравнение переноса излучения:ω · ∇r f (r, ω, E) + µ(r, E)f (r, ω, E) =714πZE2 Zk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )f (r, ω 0 , E 0 )dω 0 dE 0 + J(r, ω, E).(1)E1 ΩУравнение (1) моделирует процесс переноса излучения и учитывает эффекты рассеяния,поглощения и влияние внутренних источников. Здесь функция f (r, ω, E) описывает интенсивность излучения в точке r, r = (r1 , r2 , r3 ) ∈ G ⊂ R3 , распространяющегося в направлении единичного вектора ω, ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) ∈ Ω = {ω ∈ R3 : |ω| = 1} и имеющегоэнергию E, E ∈ I = [E1 , E2 ]; µ(r, E) – коэффициент ослабления излучения; k(r, ω·ω 0 , E, E 0 )– дифференциальное сечение рассеяния в точке r, описывающее плотность вероятностиперехода частиц из состояния (ω 0 , E 0 ) в (ω, E); J(r, ω, E) описывает внутренние источникиизлучения.Процесс переноса излучения происходит в среде, заполняющей ограниченную выпуклую трехмерную область G.
Введено разбиение области G на конечное число подобластейG1 , G2 , ..., Gp , объединение которых обозначим через G0 . Множества Gi интерпретируемкак некоторые части неоднородной среды G, заполненные i-м веществом.Поскольку величины, характеризующие среду при прохождении через нее потока излучения, могут иметь скачкообразные изменения по энергетической переменной E ∈ I,также вводим конечное разбиение I1 , I2 , ... попарно-непересекающихся интервалов, объединение которых I0 определяет множество непрерывного изменения параметров излучения по спектральной переменной E. В дальнейшем использованы следующие обозначения:x = (r, ω, E) – точка множества X = G × Ω × I или X0 = G0 × Ω × I0 .Функция d(r, ω) описывает расстояние от точки r до ∂G в направлении вектора ω.Определим множества Γ± = {(z, ω, E) ∈ ∂G × Ω × I : z = r ± d(r, ω)ω, r ∈ G0 }.
МножествоΓ− введено для задания входящего в область G излучения. Соответственно, множество Γ+введено для задания выходящего излучения.Уравнение (1) дополним граничным условиемf (ζ, ω, E) = h(ζ, ω, E),(ζ, ω, E) ∈ Γ− .(2)Функция h описывает интенсивность "входящего" в область G излучения.Уравнение (1) с граничными условиями (2) представляет собой математическую модельпереноса полихроматического излучения в рассеивающей и поглощающей среде, заполняющей ограниченную и выпуклую область G.Задача определения функции f из уравнения (1) и граничных условий (2) при известных µ, k, J, h называется прямой задачей (1), (2).Обозначим через D(X) – банахово пространство функций φ(x), ограниченных на множестве X и таких, что функция φ(r + tω, ω 0 , E 0 ) измерима (по мере Лебега) по каждой изпеременных ω, ω 0 ∈ Ω, t ∈ [−d(r, −ω), d(r, ω)], E 0 ∈ I для любой точки r ∈ G, с нормойkφk = sup |φ(x)|.x∈X8(3)±Аналогично определим пространство D(Γ ).
В него входят функции φ(x), определенные±и ограниченные на Γ , такие, что функция φ(r ± d(r, ±ω)ω, ω 0 , E 0 ) измерима по каждой изпеременных ω, ω 0 ∈ Ω, E 0 ∈ I для любой точки r ∈ G.Обозначим через Cb (X0 ) – банахово пространство функций с нормой (3), определенных и ограниченных на X и непрерывных на множестве X0 . Аналогично определяетсяпространство Cb (G0 × I0 ). Через Lp (Y ), p ≥ 1 обозначим пространство функций, суммируемых по Лебегу с p−й степенью (p−интегрируемых) на множестве Y .Сформулируем основные предположения относительно функций µ, k, J, h.
Предположим, что все эти функции неотрицательные и µ(r, E) ∈ Cb (G0 × I0 ), J(x) ∈ Cb (X0 ),−h(x) ∈ D(Γ ). Функция k(r, ω · ω 0 , E, E 0 ) непрерывна в любой точке (r, ω, E) ∈ G0 × Ω × I0при почти всех (ω 0 , E 0 ) ∈ Ω × I, а также непрерывна по переменным ω 0 , E 0 почти всюду наΩ × I при фиксированных (r, ω, E) ∈ G0 × Ω × I0 . Кроме того, существует p > 1 такое, чтоsupkk(r, ν, E, E 0 )kLp ([−1,1]×I) ≤ const,(r,E)∈G×Isupkk(r, ν, E, E 0 )kLp ([−1,1]×I) ≤ const.(r,E 0 )∈G×IДополнительно предположим, что функции µ(r+tω, E), J(r+tω, ω, E), k(r+tω, ω·ω 0 , E, E 0 )измеримы по каждой из переменных ω, ω 0 ∈ Ω, E ∈ I, t ∈ [−d(r, −ω), d(r, ω)] для любойточки r ∈ G.
Отметим, что сформулированные ограничения на k, в том числе возможностьналичия у этой функции p−интегрируемых особенностей, позволяют успешно моделировать многие виды рассеяния.В §1 изучена прямая задача (1), (2), доказан ряд вспомогательных утверждений, используемых в дальнейшем для исследование краевой задачи для параметризованногоуравнения переноса.В §2 предложена и исследована математическая модель, описывающая перенос излучения в неоднородной среде при параметрически меняющемся внешнем излучении. Каждоефиксированное значение параметра α ∈ [0, 1] соответствует некоторому стационарномусостоянию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
