Диссертация (1145289), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Если при этом невозможно подобрать начальное приближение, которое достаточно близко к оптимальному решению, то результатом оптимизации может оказаться локальный минимум.В связи с этим сформируем вычислительную схему, позволяющую найтиприближение к оптимальному распределению скоростей на заданной траекториис помощью построения специального графа.С целью решения задач оптимизации (8.1.14), (8.1.16) представим процессдвижения подвижного объекта по заданной траектории в двумерном пространстве. В этом пространстве введем систему координат Ost с началом в точке O икоординатными осями Os и Ot . При этом ось абсцисс Os обозначает пройденный по траектории путь s , а ось ординат Ot – текущее время.Для получения начального приближения к оптимальному решению задач(8.1.14), (8.1.16) будем полагать, что фактическая и заданная скорости совпадают.Проведем прямые линии s = vmin t и s = vmax t , представляющие его движение потраектории с заданной минимальной и максимальной скоростью соответственно.342Эти прямые ограничивают все возможные варианты движения по траектории.Построим прямые s = Si , i = 1, p − 1 , соответствующие точкам поворота траектории.
Так как заданная скорость на участке траектории с прямым значениемкурсового угла не изменяется, то маршрут движения по траектории в рассматриваемом пространстве изображается ломаной линией. При этом точки сопряженияучастков ломаной могут находиться только на прямых s = Si . Отметим, что только в этих точках сопряжения может изменяться угол наклона к оси участков ломаной, если заданные скорости на соседних участках не совпадают.В каждый момент времени T0 + i∆T задания прогноза запретные для движения участки траектории определяются отрезками [s ij1 , s ij 2 ]. Этим отрезкам на плоскости с введенной системой координат Ost соответствуют прямоугольники, длина стороны которых по оси ординат кратна интервалу ∆T .
На рис. 8.3.1 приведенпример ограничивающих прямых и опасных зон на траектории.403530Time (hours)25201510500100200300400500600Length (km)7008009001000Рис. 8.3.1. Опасные зоны и прямые максимальной иминимальной скорости.В итоге задача поиска оптимального по времени в пути распределения скоростей сводится к поиску такой ломаной с началом в точке O , каждое звено ко 11 торой имеет тангенс угла наклона к оси абсцисс в пределах , с точкамиvv max min 343сопряжения на прямых s = Si , i = 1, p − 1 , причем конечная точка должна лежать напрямой s = S p с минимальным значением времени t . При этом искомая ломанаяне должна пересекать прямоугольники, обозначающие запретные для движениязоны.Для решения поставленной задачи необходимо выполнить следующие действия для построения соответствующего графа:1) Отметить на прямых линиях s = Si , i = 1, p − 1 точки, расположенные между элементами, соответствующими максимальной и минимальной скорости, наравном расстоянии друг от друга ∆t .
Вычеркнуть все точки, которые попадаютвнутрь прямоугольников, определяющих опасные зоны.2) Соединить отрезками пары точек, расположенные на соседних прямыхs = S i и s = S i +1 , если выполняются следующие условия: 11 а) угол наклона отрезка к оси абсцисс находится в пределах ,;vv max min б) указанный отрезок не пересекает ни один из прямоугольников, определяющих опасные зоны.3) Принять построенные точки и отрезки в качестве вершин и ребер графа.Каждому ребру графа присвоить вес, равный времени движения по ребру при условии, что фактическая скорость совпадает с заданной.4) В качестве конечной точки P принять точку на прямой s = S p с минимальным значением ординаты t = t p . Найти кратчайший путь на графе, соединяющий начальную точку O и конечную точку P .
Если такого пути не существует, то в качестве конечной точки P принять следующую точку на прямой s = S pсо значением ординаты t = t p + ∆t и т.д.5) Использовать найденное распределение скоростей в качестве начальногоприближения для оптимизации маршрута по времени перехода. Решить задачуоптимизации (8.1.14) при помощи методов нелинейного программирования, на-344пример, с использованием SQP метода.Рассмотрим теперь вычислительную схему построения оптимального порасходу топлива распределения скоростей на заданной траектории. Также как и впредыдущем варианте, сначала необходимо построить граф и каждому ребру этого графа присвоить вес. Но здесь вес ребра следует принять равным расходу топлива при движении по нему, который вычисляется по формуле:w = ρ(V )t ,где ρ(V ) – удельный расход топлива при заданной скорости V , t – время движения по ребру. Далее, в зависимости от постановки задачи, возможны два вариантарасчета.1) Требуется минимизировать расход топлива при ограниченном допустимом времени в пути t max .
В этом случае для построения оптимального маршрутабудем перебирать последовательно точки P на прямой s = S p со значением ординаты, не превышающим t max . Для каждой из этих точек найдем кратчайший путьна графе с началом в точке O , то есть путь с наименьшим расходом топлива.
Вкачестве результата, среди найденных вариантов, примем ту ломаную, для которой расход топлива минимален.2) Требуется минимизировать время в пути при заданном ограничении надопустимый расход топлива f max . Для поиска оптимального решения возьмемточку P на прямой s = S p с наименьшим допустимым значением ординаты. Вычислим кратчайший путь с началом в точке O и с концом в точке P , то есть путь,минимизирующий расход топлива. Если этот расход не превышает заданногомаксимального значения f max , то принимаем в качестве результата построеннуюломаную. В противном случае, переходим к следующей точке на прямой s = S p сшагом ∆t по оси ординат.В обоих случаях полученное решение необходимо уточнить, принимая найденное распределение скоростей в качестве начального приближения и решая задачу нелинейного программирования (8.1.14) или (8.1.16).345Отметим также, что введенное вначале предположение о совпадении заданной и фактической скорости может быть опущено.
Действительно, можно считать, что движение по каждому ребру графа происходит с фактической скоростьюw , которой соответствует заданная скорость v , определяемая из уравнения(8.1.4).8.4. Примеры решения задач о построении маршрутовПриведем примеры построения оптимальных маршрутов в соответствии сразработанными выше алгоритмами.Пример 1.
Рассмотрим пример расчета по алгоритму формирования оптимального по времени маршрута с использованием графа, как описано в п. 8.2.Примем следующие значения координат начальной и конечной точек: A(10,20 ) ,B(200,1000 ) . Максимальная и минимальная скорость подвижного объекта равны12.5 м/с и 2.5 м/с соответственно. Ограничения, определяющие статические и динамические опасные зоны для района плавания, показаны на рис.
8.4.1.40Time (hours)3020200101500100010080060050400lambda (km)20000psi (km)Рис. 8.4.1. Оптимальный маршрут движения.Зададим параметры алгоритма: ∆ψ s = ∆λ s = 30 км, ∆t s = 3 часа. На рис.3468.4.1 показан результат работы алгоритма в виде ломаной в трехмерном пространстве. Как видно из рисунка, построенная ломаная не пересекает множества,представляющие запретные области. Время перехода в данном случае составляет30 часов, а пройденное расстояние – 1002 км. В соответствии с предложеннымалгоритмом найденное приближенное решение необходимо уточнить посредством решения задачи нелинейного программирования.Пример 2.
Рассмотрим вопрос о поиске оптимального маршрута на конечном наборе траекторий, равномерно покрывающем район плавания.Пусть начальная и конечная точки имеют географические координатыA(52.5, − 12.1) и B(8.4, − 57.9 ) соответственно. На рис. 8.4.2 представлены траектории, соединяющие начальную и конечную точки вдоль дуги большого круга(Great Circle) и по линии прямого курса (Rhumb Line), длина которых составляет6395.5 км и 6446.4 км соответственно.-60°-30°StaticDynamic+45°AGreat Circle+30°Rhumb Line+15°BРис. 8.4.2.
Траектории вдоль дуги большого круга и линии прямого курса.Для района плавания, показанного на рис. 8.4.2, заданы прогноз погоды,статические (Static) и динамические (Dynamic) ограничения. На рисунке пред-347ставлены динамические ограничения, соответствующие первому шагу заданияпрогноза. Существенные для данного примера статические ограничения определяются, в частности, Азорскими островами, расположенными вблизи траекториипрямого курса.Прогнозируемые погодные данные задаются на 10 суток с момента отправления судна с шагом ∆T = 6 часов. Опасными зонами плавания считаются те, вкоторых скорость ветра превышает 11 м/с (21.4 узла).По параметрам рассматриваемого судна (контейнеровоз водоизмещением40000 т) может быть составлено уравнение (8.1.4) для определения его фактической скорости движения.
Максимальная величина заданной скорости vmax = 24узла, минимальная – vmin = 5 узлов.На рис. 8.4.3a показан набор допустимых траекторий, построенный в соответствии с алгоритмом № 1 п. 8.3. Набор состоит из 21-й траектории, каждая изкоторых имеет 24 участка.Далее, с целью определения оптимального по времени маршрута, для каждой траектории решается задача минимизации времени перехода на допустимоммножестве заданных скоростей. Ввиду сложных динамических ограничений, решение этой задачи существует только для 11 траекторий из набора, показанныхна рис. 8.4.3б. Ниже приведен вектор J T , компонентами которого служат значения времени перехода в сутках для соответствующих 11 допустимых маршрутов:J T = [ 7.626.39 6.87 8.52 7.90 6.24 6.94 6.29 8.15 6.33 7.34 ]. .Видно, что оптимальному маршруту соответствует минимальное время перехода J T* = 6.24 суток.
Данный маршрут (Time optimal route) особо выделен нарис. 8.4.3б. Приведем вектор v * распределения заданных скоростей для оптимального маршрута20.00 20.00 20.08 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00v* = ,24.00 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00 24.00для которого расход топлива составляет J F* = 750.83 тонн.348Далее формируется маршрут оптимальный по отношению к расходу топлива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
