Диссертация (1143626), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Он впервые был предложен в 1974 году для декодирования последовательностей, кодированных свёрточным кодом [27]. Данныйалгоритм основан на теории анализа марковских последовательностей, и в качестве критерия используется критерий максимума апостериорной вероятностиМАP (англ.

Maximum A-posteriori Probability) каждого символа Ck.Свяжем переходы регистра из i-ого состояния в j-е на последовательныхтактовых интервалах условными вероятностями52pk ( j / i )  Pr{S k  j | S k 1  i} ,(3.4)также с помощью условной последовательности опишем появления тех илииных форм сигналаq k ( x | i , j )  Pr{ xk  x | S k 1  j , S k  i} ,(3.5)Фактически мы описали марковский источник. При формировании сигналамарковский источник стартует из некоего состояния, формирует последовательность отсчетов сигнала X = {x0, x1, … xK – 1} и заканчивает также в этом состоянии.

Формирующий сигнал x поступает в канал связи АБГШ, где он преобразуется в сигнал Y = {y0, y1, …, yK – 1}.На рис. 3.5 представлен пример решётчатой диаграммы формирования сигналов. Для простоты берём L = 3, соответствующее количеству возможных состояний регистра Ns = 2L – 1 = 4, которые номеруются с нуля до четырёх. Модуляционный символ принимает значения 0 или 1. В решётке, верхнее ребро, уходящее из любого состояния, соответствует переданному символу Ck = 0, а нижнееребро – Ck = 1. Переданные символы C = {C0, …, C4, C5 = 0, C6 = 0} соответствуют формирующим отсчётам сигнала X = {x0, …, x6}. Терминальные символыC5 = 0, C6 = 0 обеспечивают, чтобы регистр имел нулевое состояние при окончании передачи, как и в начале.Состояние(0)(1)(2)(3)00x00x2x1x3x4x5x6011011k=0132456Рис.

3.5. Решётчатая диаграмма формирования сигналовВ алгоритме BCJR требуется путём анализа принятого сигнала y оценитьапостериорные вероятности состояний регистраPr{S k  j | Y}  Pr{S k  j ; Y} / Pr{Y} ,53(3.6)Апостериорные вероятности переходов между последовательными состояниями регистраPr{S k 1  i; S k  j | Y}  Pr{S k 1  i; S k  j ; Y} / Pr{Y} ,(3.7)Для удобства введём некоторые обозначения: k (i )  Pr{Sk  i; Y0k }, k ( j )  Pr{YkK11 | Sk  j}, k (i , j )  Pr{S k  j; yk | S k 1  i},где Y0k  [y0 , y1 , , yk ]T – массив-столбец первых k отсчётов принятого сигнала;YkK11  [ yk , ..., y K 1 ]T – массив-столбец последних K – k отсчётов принятого сиг-нала.Каждая апостериорная вероятность i-го состояния на тактовом интервале kTвычисляется в соответствии с формулойk ( j )  Pr{Sk  j; Y}  Pr{Sk  j; Y0k ; YkK11}= Pr{Sk  j , Y0k }Pr{YkK11 | S k  j; Y0k }Из свойств марковского источника следует, что состояние S k известно, тогда значения сигнала на входе демодулятора в следующих тактовых интервалахYkK11 не зависят от значений сигнала на предыдущих тактовых интервалах Y0k .Иначе говоря,Pr{YkK11 | Sk  j; Y0k }  Pr{YkK11 | S k  j}Следовательно, окончательно для  k ( j ) получаемk ( j )  Pr{Sk  j , Y0k }Pr{YkK11 | Sk  j}   k ( j )  k ( j ) ,(3.8)и каждая апостериорная вероятность перехода от i-го состояния на тактовом интервале (k – 1)T в j-е состояние на тактовом интервале kT вычисляется следующим образом54 k (i, j )  Pr{S k 1  i; S k  j; Y} Pr{S k 1  i; S k  j ; Y0k 1 ; yk ; YkK11} Pr{S k 1  i; Y0k 1}Pr{S k  j; yk ; YkK11 | S k 1  i; Y0k 1 } Pr{S k 1  i; Y0k 1}Pr{S k  j; yk | S k 1  i}Pr{YkK11 | S k  j; yk ; S k 1  i }Окончательно получаем k (i , j )   k 1 (i ) k (i, j )  k ( j ),(3.9)Итак, удалось выразить искомые значения λk(j) и σk(i, j) через переменныеαk – 1(i), βk(j) и γk(i, j).

Значение αk – 1(i) является внутренним параметром алгоритма и вычисляется по формуле k 1 (i )   Pr{S k 2  l ; Sk 1  i; Y0k 1}l=  Pr{S k 2  l ; S k 1  i; Y0k 2 ; yk 1}l=  Pr{S k 2  l ; Y0k  2}Pr{S k 1  i; yk 1 | S k 2  l ; Y0k 2 }lотсюда получаем k 1 (i)   k 2 (l ) k 1 (l , i ) ,(3.10)lгде суммирование производится по всем таким состояниям l, из которых возможен переход в состояние i (сумма по красным ребрам на рис. 3.6). Очевидно, чтозначение α вычисляется по рекурсии, которая называется прямой. Пример такойпрямой рекурсии представлен на рис. 3.6.Состояние(0)x00x2x1(1)x3x4x5x6i(2)j(3)k=01234Рис.

3.6. Прямая рекурсия алгоритма BCJR5556При k = 0, значения α известны, т.к. регистр стартует из нулевого состояния,значит 0 (0)  1, 0 (l )  0, при l  0.(3.11)Таким образом, (3.10) является рекуррентным правилом вычисления значений α,а (3.11) – инициализация такой рекурсии.Проделаем аналогичные преобразования для βk(j), имеем k ( j )  Pr{YkK11 | S k  j}=  Pr{Sk 1  l; YkK11 | Sk  j}l=  Pr{Sk 1  l; yk 1; YkK21 | Sk  j}l=  Pr{Sk 1  l; yk 1;| Sk  j}Pr{YkK21 | Sk 1  l ; yk 1; Sk  j}lотсюда получаемk ( j )   k 1( j, l )k 1 (l ),(3.12)lгде суммирование проводится по всем состояниям l, в которые возможен переход из состояния j (сумма по красным ребрам на рис.

3.7). Процесс вычислениязначений β называется обратной рекурсией, пример которой представлен на рис.3.7.Состояние(0)x00x2x1(1)x3x4x5x6i(2)j(3)k=0132456Рис. 3.7. Обратная рекурсия алгоритма BCJR.При k = K значения β известны, т.к. регистр заканчивается в нулевом состоянии. Начальное условие для рекурсии (3.12) можно представить, как56  K (0)  1,  K (l )  0, при l  0.(3.13)Для каждого перехода из состояния i в состояние j значения γ вычисляютсяследующим образом k (i, j )  Pr{S k  j; yk | S k 1  i}  Pr{ xk  x; S k  j; yk | S k 1  i}x  Pr{ yk | xk  x; S k  j ; S k 1  i }Pr{ xk  x; S k  j | S k 1  i}x  Pr{ yk | xk  x}Pr{ xk  x; S k  j | S k 1  i}x  Pr{ yk | xk  x}Pr{ xk  x | S k  j ; S k 1  i}Pr{S k  j | S k 1  i}xможно записать форму для  k (i , j ) в сокращенном виде k (i, j )   R( yk , x)qk ( x | i, j ) pk ( j | i ) ,(3.14)xгде R(yk, x) = Pr{yk|xk = x}.Суммирование в (3.14) ведётся по всем возможным номерам форм формируемого сигнала.

Pr{Sk = j|Sk – 1 = i} – является априорной вероятностью переходамежду состояниями и определяется решёткой. Вероятность qk(x|i, j) являетсяаприорной и характеризует источник информации. Pr{yk|xk = x} – является условной вероятностью приёма символа yk при условии передачи символа xk, такженазываемая вероятностью перехода в канале. Символ xk формируется на тактовом интервале kT при поступлении на вход регистра модуляционного символаCk. В действительности Pr{yk|xk = x} заменяется значением плотности вероятностей для гауссовского распределения:Pr{ yk | xk }  Pr{nk } 2y xexp(  k 2 k ) ,22 21(3.15)где σ2 – дисперсия аддитивного гауссовского шума.Теперь можно описать процедуру вычисления значений апостериорных вероятностей λk(j) и σk(i, j)57Шаг 1: инициализация значений α0(l) и βK(l) согласно (3.11) и (3.13).Шаг 2: с получением каждого очередного сигнала yk для каждого тактовогоинтервала kT необходимо вычислять очередные NS2 значений γk(i, j) согласно(3.11) и NS значений αk(j) согласно (3.10) (прямой проход).

Все результаты необходимо сохранять.Шаг 3: После получения всего сигнала y необходимо вычислить все значения βk(i, j) согласно (3.12) (обратной проход) – по NS значений для каждого тактового интервала kT. Далее, используя (3.8) и (3.9) вычисляются все значенияλk(j) и σk(i, j) соответственно.Обратимся теперь к вопросу вычисления апостериорных вероятностей модуляционных символов или логарифмов отношения вероятностей – LLR (англ.Log-Likelihood Ratio). Из рис. 3.5 следует, что переход между состояниями регистра полностью определяет модуляционный символ. Так, если на тактовом интервале k из каждого состояния выходит верхний переход (верхнее ребро), этозначит, что модуляционный символ номер k равен 0, в противном случае – 1.Следовательно, для вычисления вероятности того, что модуляционный символномер k равен 0 необходимо сложить вероятности верхнего перехода из всех состояний на тактовом интервале kT.

Таким образом, значение LLR для модуляционного бита номер k – LLRk – может быть вычислено с применением значенийσk(i, j) которые, в свою очередь, получаются перемножением значений αk(j), βk(j)и γk(i, j) согласно (3.9)  k (i, j ) Pr(C k  1) ( i , j ) ( Ck 1)LLRk  log()  log ,Pr(C k  0)(i,j)k ( i , j ) ( Ck  0)(3.16)Заметим, что алгоритм BCJR является оптимальным в целом из-за того, чтона выходе алгоритма имеются мягкие решения. Недостатком данного алгоритмаявляется вычислительная сложность, т.к. необходимо выполнять большое количество вычислений: экспоненты в формуле (3.15), логарифма в формуле (3.16) итакже умножения. Для уменьшения вычислительной сложности, на практикеобычно используется приближенный метод вычисления логарифма по формуле58log   exp  xi    max  xi  , i(3.17)Ak  i   log  k  i   ;  k  i, j   log   k  i, j   ,(3.18)Вводим обозначениятогда значение αk(i) в логарифмическом масштабе может быть вычислено как k  i    exp  Ak 1  l    k  l , i  (3.19)lИспользуя приближенную формулу в (3.17), значения Ak(i) вычисляются такAk (i )  log   exp  Ak 1  l    k  l , i     max( Ak 1 (l )   k (l , i )).l l(3.20)На рис.

Характеристики

Список файлов диссертации