Диссертация (1143626), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Восстановление отсчётов оптимального импульса из полученной оптимальной АКФ производится при анализе корней полинома Gb(z), который является её z-преобразованиемGb ( z )  g [k ]zk kb,(2.23)Полином Gb(z) имеет следующее свойствоGb ( z )  Gb (1 / z * ),(2.24)т.е. для любого комплексного числа z0, являющегося корнем полинома Gb(z), токомплексное число 1 / z0* так же является корнем полинома. Факторизацию полинома Gb(z) можно представить такGb  z   B  z  B 1/ z   ,(2.25)где B(z) является полиномом, соответствующим z-преобразованию от искомогооптимального импульса bn. Таким образом, оптимальный импульс находится путём обратного преобразования от B(z).Недостатком вышесказанной методики нахождения оптимального АКФ является экспоненциальный рост количества ограничений, т.е.

вычислительнойсложности, с линейным увеличением глубины МСИ (т.е. длины импульса) и слинейным увеличением размера сигнального созвездия. В таких ситуациях решение можно получить путём многократного решения упрощенной задачи, содержащей меньшее количество ограничений.В системе с использованием модуляции QAM, при приёме можно независимо обрабатывать синфазную и квадратную составляющие сигнала, что позволяет заметно уменьшить вычислительную сложность алгоритма приёма. Такжепри этом вместо решения задачи оптимизации импульсов для модуляции QAMстановится необходимым решать задачу нахождения оптимальных импульсовдля сигнальных созвездий PAM (англ.

Pulse Amplitude Modulation, PAM), чтотакже оказывается проще. В [22] представлены примеры решений оптимальныхзадач для созвездий QAM.35На рис. 2.2 представлены примеры оптимальных импульсов для сигналь-G(f), дБa(t)ного созвездия 2-PAM и соответствующих энергетических спектров.G(f), дБa(t)a) L = 8, W99%T = 0,76b) L = 8; W99%T = 0,5Рис. 2.2. Примеры оптимальных импульсов для сигнального созвездия 2-PAMПолученные максимальные значения d2св для каждого набора (W99%T, L) икаждого из созвездий 2-PAM и 4-PAM представлены в табл. 2.2.Для оценки энергетической эффективности сигналов с МСИ, вводим понятие «потери в свободном евклидовом расстоянии» (англ. Free Distance Losses,FDL), рассчитанные по следующей формуле:2d PAMFDL  10log10 ( 2 ),d св(2.26)где d2PAM – значения, которые имеют место при использовании ортогональныхимпульсов; d2PAM = 2,0 и d2PAM = 0,8 для 2-PAM и 4-PAM соответственно.36Таблица 2.2.

Значения d2св в зависимости от значений W99%T, L и от типа созвездияСозвездие 2-PAMLСозвездие 4-PAM4812140,761,9022,02,02,00,721,533 1,770 1,9862,00,68L4812140,760,7610,800,800,800,720,6130,700,7940,801,345 1,543 1,716 1,7580,680,538 0,617 0,686 0,7020,641,232 1,405 1,513 1,5490,640,438 0,562 0,601 0,6120,601,054 1,280 1,366 1,3890,600,353 0,482 0,537 0,5480,560,934 1,183 1,229 1,2740,560,299 0,381 0,479 0,4950,520,832 0,969 1,121 1,1370,520,230 0,322 0,348 0,380W99%TW99%T0,48-0,850 0,926 0,9800,48-0,274 0,290 0,3120,44-0,779 0,785 0,8070,44-0,256 0,260 0,2610,40-0,637 0,665 0,7090,40-0,200,36-0,457 0,557 0,5720,36-0,140 0,192 0,1900,32-0,333 0,452 0,4610,32-0,110 0,150 0,1610,28-0,250 0,311 0,3400,28-0,079 0,098 0,1120,24--0,206 0,2380,24--0,078 0,0850,20--0,149 0,1520,20--0,060 0,0610,16--0,16---0,0900,237 0,242-0,033На рис.

2.3 и рис. 2.4 показаны характеристики полученных оптимальныхимпульсов для созвездий 2-PAM и 4-PAM c глубиной МСИ L = 4; 8; 12; 14. Изанализа представленных на рис. 2.3 и рис. 2.4 кривых следует, что для обоих типов созвездий наблюдаются одинаковые тенденции: при использовании сигналов с оптимальными импульсами есть возможность уменьшения нормированнойполосы частот W99%T до значения (0,83 для L = 4; 0,8 для L = 8; 0,76 дляL = 12; 14) без потерь в свободном евклидовом расстоянии по сравнению с ис-37пользованием ортогональных импульсов. Увеличение глубины МСИ L приводит, во-первых, к уменьшению минимальных возможных значений полосыW99%T, во-вторых, к всё меньшему дополнительному выигрышу (в качестве выигрыша может быть рассмотрено либо уменьшение полосы W99%T при фиксированном значении FDL, либо уменьшение FDL при фиксированном значении полосы W99%T); более того характеристики для L = 12 и для L = 14 практически неW 99%Tотличаются.W99%TРис.

2.3. Потери в свободном евклидовом расстоянии в зависимости от нормированной полосы частот для созвездия 2-PAMРис. 2.4. Потери в свободном евклидовом расстоянии в зависимости от нормированной полосы частот для созвездия 4-PAM382.2. Нелинейные задачиКак описано в предыдущем разделе, в качестве оптимизационной задачирассматриваются отсчёты импульса a(t) и сигнал, длительность импульса которых превосходит длительность T передачи одного символа канального алфавитав целое число L.

В этом случае удобно представить такой одночастотный сигналс МСИ в виде суммы L одночастотных сигналов – компонент, передаваемых наодной частоте одновременно. Формула l-й компоненты многокомпонентногосигнала может быть представлена в виде [25]:x(l )L, KK 1(t )  k 01 (l ) t  tl  kLTCk a(),LL(2.27) LT / 2  t   LT / 2  KLT  max{ tl },где a(t) – финитный импульс на интервале [–T/2, T/2]; K – число канальных символов, передаваемых в n-й компоненте; T – период следования канальных символов в многокомпонентном сигнале; Δtl – величина задержки начала первого попорядку следования тактового интервала l-й компоненты относительно моментавремени t = –LT/2; Cl(k) = Al(k)exp(jφl(k)) – k-й символ по порядку следования символов канального алфавита l-й компоненты, выбранный из сигнального созвездия с размером MС и Al(k), φl(k) – амплитуда и фаза соответственно; константа1 L обеспечивает независимость энергии импульса от количества компонент – это будет необходимо при решении оптимизационной задачи.

Тогда многокомпонентный сигнал, состоящий из L компонент, представляется суммойсвоих компонент [25]LxL,K  t    xL(l,)K  t ,(2.28)l 1На рис. 2.6 (а) представлены синфазные низкочастотные составляющие(1)(2)двух компонент (L = 2) x2,5 (t ) и x2,5 (t) для случая сигнального созвездия 4-PM вкаждой компоненте и усечённого sinc-импульса a(t) = A0sin(2πt/T)/(2πt/T)(рис. 2.5) на интервале [–T/2, T/2], при этом Δt1 = 0, Δt1 = T. Каждая компонента39переносит 5 символов канального алфавита. На рис.

2.6 (б) представлена синфазная низкочастотная составляющая суммарного двухкомпонентного сигнала(1)(2)x2,5 (t )  x2,5(t)  x2,5(t) . Все сигналы нормированы относительно своих макси-мальных значений.Рис. 2.5. Усечённый sinc-импульс sin(x)/xРис. 2.6. Пример синфазных низкочастотных составляющих двух компонент (а) и двухкомпонентного сигнала (б) для sinc-импульсов a(t) = A0sin(2πt/T)/(2πt/T)Если каждая компонента многокомпонентного сигнала передается на однойчастоте, то формула (2.27) может быть переписана в таком виде [25]K 1xL(l,)K (t )  k 01 l t  tl  kLTCk a()exp( j 2flt ),LL40(2.29)где fl – частота отстройки l-й компоненты.В случае частоты отстройки l-й компоненты Δfl =(l – L/2)/(LT) и сдвиганачал тактовых интервалов разных компонент Δtl = 0, импульс a(t) имеет вид какпредставлен в (1.2), а многокомпонентный сигнал совпадает с сигналом OFDM.Таким образом можно считать, что OFDM является частным случаем многокомпонентного сигнала.В дальнейшем при рассмотрении оптимизационной задачи, многокомпонентный сигнал является одночастотным с частой отстройки для любой компоненты Δfl = 0 и равномерным шагом сдвига компонент Δtl = (l – 1)T.Согласно с [25], энергетический спектр многокомпонентных сигналов представляется в таком виде2 L ( l )1G ( f )  limE   S L,K ( f )  ,K  KLT  ( L  1)T l 1где S L(l,)K ( f )  (2.30)xL(l,)K (t )exp( j 2 ft )dt – спектр усечённой K-элементной реали-зации l-й компоненты L-компонентного сигнала.Энергетический спектр многокомпонентных сигналов определяется лишьвидом импульса a (t ) , числом компонент и постоянным коэффициентом Z, зависящим только от формы сигнальных созвездий компонент:G( f ) NZ2Fa ( Lf ) ,T(2.31)1a (t / L ) exp(  j  ft ) dt ,L(2.32)гдеLFa ( Lf )  LT /2 LT /2есть спектр импульса a(t / L) / L для L-компонентного сигнала и1 L 1 M 2Z    Am ,L l 1 M m1(2.33)Пик-фактор многокомпонентных сигналов определяется отношением пиковой мощности к средней [25]41max xL2 , K (t )PпП lim, LT /2 KLT  ( L 1)TPcp K  12ExL , K (t ) dt  LT /2KLT(L1)T(2.34)где поиск максимума в числителе производится по всем возможным реализациямxL,K(t) и для всех моментов времени t, а усреднение в знаменателе – по всем возможным реализациям xL,K(t).

Пиковая мощность вычисляется в соответствии сформулой [25]1 L L t  ti  *  t  t j  Pп  max xL2, K (t )  max   C (i )C *( j ) a a ,LLLi1j0(2.35)где поиск максимума производится при варьировании не только значенияt ϵ [(LT – T)/2, LT/2], но и значений C(i), C(j).Для определения степени МСИ в многокомпонентных сигналах, введём врассмотрение коэффициенты парциальной и групповой корреляции. Коэффициент парциальной корреляции (англ. Partial Correlation Coefficient) KPq(,ip, j ) – этозначение нормированного коэффициента корреляции сигнала q-го тактового интервала i-й компоненты и сигнала p-го тактового интервала j-й компоненты [25](i , j )q, pKP2Ea LT /2  KLT  ( L 1) TCa (t , L )C *(p j ) a (j p ) (t , L ) dt ,(i ) ( q )qi(2.36) LT /2где Ea – энергия импульса a(t); ai( q ) (t , L ) 1t  ti  kLTa().LLОтметим, что коэффициент парциальной корреляции характеризует степеньинтерференции между отдельными компонентами многокомпонентного сигнала.

Однако, важной характеристикой является степень интерференции междуодной компонентой и всеми остальными. Максимальный коэффициент групповой корреляции (англ. Maximum Group Correlation Coefficient) MGC:MGC  max(GCqi ),(2.37)где GCq(i ) – значение коэффициента групповой корреляции сигнала q-го тактового интервала i-й компоненты со всеми остальными компонентами42L K 1GC q( i )    PC q( i,,pj ) ,(2.38)j 1 p  0j iАналогично сигналам с частичным откликом с известным значением коэффициентов парциальной корреляции для любой последовательности ошибочныхсимволов многокомпонентного сигнала (ξ0, ξ1, …, ξL–1) квадрат евклидова расстоянии вычисляется такL 1(1, k 1)d    g [0]  2 Re g* [k ]PC1,1/ Ea ,2(2.39)k 1где gξ[k] – АКФ последовательности ошибочных символов.Более подробные описания, связанные с энергетическим спектром, пик-фактором, и корреляционными свойствами многокомпонентных сигналов представлены в [25].В данной работе рассмотрим оптимальные задачи для многокомпонентныхсигналов в связи с нахождением оптимальных импульсов a(t), критериями которых являются концентрация энергии в заданной полосе частот или внеполосныеизлучения.

Понятно, что аналитическое решение невозможно, поэтому предлагалось искать оптимальную форму импульса a(t) в виде усеченного ряда Фурьечисленным методом.a t  c0 L1  2  2    cl cos  lt   sn sin  lt  ,2 l 1 T  T (2.40)где (2L – 1) – число учитываемых членов разложения в усечённого ряда Фурье,т.е. число искомых коэффициентов.

Характеристики

Список файлов диссертации