Диссертация (1141455), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Длина пути перемешивания l устанавливается произвольным образом в за­висимости от расстояния от дна z, является величиной конечной и значи­тельной.Этоприводиткочевиднойошибочностиопределенияduduux = Aux = kz — , поскольку при значительном изменении z производная —dzdzне остается постоянной.Основой полуэмпирической теории является уравнение Л. Прандтля, связы­вающее продольные пульсации скорости u'x с градиентом осредненной скоростиu, которое обычно записывается в видеu'x = l ^ ,dzгдеz(3.119)- вертикальная координата, ортогональная к вектору осредненной скоростиu, отсчитываемая от твердой границы; l - линейная величина, которую, следуя Л.Прандтлю, называют длиной пути перемешивания и принимают пропорциональ­ной Z.167Физический смысл уравнения (3.119) достаточно прозрачен, поскольку при­чины возникновения пульсаций скорости в рассматриваемой точке связаны с про­хождением либо более быстрых, либо замедленных масс жидкости, поступающихв рассматриваемую точку потока из верхних или нижних слоев в результате тур­булентного перемешивания.

Очевидно (см. рисунок 3.5), что чем больше по мо­дулю вертикальное расстояние (z —Z j ), где Zf - фиксированная координата рас­сматриваемой точки, тем больше разность скоростей u(z ) —u(zj ) = A u , и тембольшая продольная пульсация скорости возможна в данной точке [204].Таким образом в уравнение (3.54) вместо неопределенной величины l следо­вало бы включить величину (z —Z j ), которая характеризует вертикальный размертурбулентных образований, обладающих вертикальной пульсационной скоростьюu z' .

Понятно, что вертикальный турбулентный обмен массой и количеством дви­жения осуществляется как с участием слоев близких к zf, так и удаленных от zf,поэтому расчет обменного процесса с учетом этих обстоятельств может составитьпредмет отдельного исследования.Для того чтобы установить связь между пульсациями скорости и внутреннимтрением в турбулентном потоке Л. Прандтль использовал выражение Лоренца длятурбулентных касательных напряжений, входящее в уравнения О. Рейнольдса:Тт =P u 'xu 'z(З .Ш )Предполагая, что вертикальные пульсации скорости имеют тот же порядоквеличин, что и продольные пульсации, Л.

Прандтль получил следующее выраже­ние для турбулентных касательных напряжений в потоке:ТтPrdu'2kz —dz(3.121)Уравнение (3.119) в правой части содержит величины, не зависящие от вре­мени, в то время как слева находится величина пульсации скорости, изменяющая­ся во времени. Следует отметить, что сам Л. Прандтль не указывает на это проти­воречие, турбулентность по аналогии с тепловым движением молекул представ­лялась некоторым равномерным хаотическим «белым шумом», наложенным на168основное течение. По этой причине в качестве характеристики пульсационнойскорости в уравнение (3.119) следовало бы ввести величину, не зависящую отвремени. В качестве такой характеристики пульсации скорости, не изменяющейсяво времени, можно использовать среднеквадратичную величину^и'х, называе-мую «стандартом» пульсаций [108].Однако, приняв стандарт пульсаций в качестве независящей от времени ха­рактеристикииX,мы не сможем напрямую воспользоваться уравнением (3.120),как это сделал Л.

Прандтль, поскольку в это уравнение входит произведение двухизменяющихся во времени величин, которое далее осредняется.Определяя вертикальную пульсацию скоростиu'zтакже её стандартомкак это обычно и делается при измерениях турбулентности, мы исключаем приэтом возможность прямого использования уравнения (3.120). Выход из этого за­труднения может быть найден с использованием коэффициента взаимной корре­ляции продольных и вертикальных пульсаций скорости R xz, который записываетсяв виде [125].(3.122)RСопоставление (3.120) и (3.122) позволяет выразить правую часть уравнения(3.120) через стандарты пульсаций и коэффициент их взаимной корреляции, чтопозволяет записать уравнение (3.120) в виде:(3.123)В связи с отсутствием экспериментальных данных о величине вертикальныхпульсаций Л.

Прандтль был вынужден считать, что пульсацияного порядка с пульсациямии 'х .u ’zпо величине од­Однако многочисленные измерения [102, 115,160, 182, 189, 202] показали, что стандарты продольных и вертикальных пульса­ций скорости пропорциональны динамической скорости [135] и нарастают с уда­лением от дна (рисунки 3.19, 3.20). При этом для пульсаций в толще потока за169пределами вязкого подслоя данные измерений Ж. Конт-Белло были аппроксими­рованы следующими выражениями:и,для продольных пульсацийzu,для вертикальных пульсаций2,35 - 1 ,5 hj(3.124)1,1 - 0,35(3.125)u2,5АА□д♦ Re=57000□ Re=1 20000Д Re=230000--- по (6д^д_д_1,5V.♦д.Л910203040506070о103оо0,5Рисунок 3.19 - Изменение стандарта продольных пульсаций, нормированных динамическойскоростью по глубине потока (по данным Ж.

Конт-Белло [102])1,2____Д■д♦д♦дд■■'—п♦ ь ■♦ Л□Я♦>♦0,6ООО♦ Re=57■ Re=12Д Re=2C---- по (7)ооо сссо с1(((0,40,200,10,20,30,40,50,60,70,80,91Рисунок 3.20 - Изменение стандарта вертикальных пульсаций, нормированных динамическойскоростью по глубине потока (по данным Ж. Конт-Белло [102])170Данные измерений других авторов [94, 115, 100, 192] обнаруживают некото­рые расхождения с данными аппроксимациями.zДля пристенной зоны потока (—< 0 ,2 ), которая рассматривалась Прандтлем,hимеет место следующее приближенное соотношение, основанное на эксперимен­тальных данных [108]:К= 2,5V <(3.126)С учетом этого соотношения уравнение (3.123) можно записать следующимобразом:Р = R5 у и ? )(3.127)Поскольку в потоке турбулентное трение значительно превышает вязкую со­ставляющую трения можно считать, что полное напряжение трения т=тт иТт = и*, где и* - динамическая скорость.—РРассмотрим вопрос о коэффициенте взаимной корреляции пульсаций скоро­сти Rxz более подробно с учетом различных предположений.

Так, принимая приближенно для придонной зоны ^и'х = 2,5ш* при дju'z = и*, получаем приведенноевыше уравнение (3.127), из которого, принимая согласно Л. Прандтлю,тт = const = т0 = рш*, получаем Rxz=0,4, что близко к данным измерений этого ко­эффициента [102] (см. рисунок 3.21).171□□0,90,7\ л<0,6►\ ■ ♦0,5▼ Л /и - 1 ио□ x/d=118♦0,4п.III("1ПС (12)0,30,2♦0,1оС,40о2CDо□8RxРисунок 3.21 - Сопоставление расчетных значений коэффициента корреляции по зависимостям(3.128), (3.129) и (3.130) с опытными данными Ж. Конт-Белло [102] (x/d - относительное рас­стояние от входа в канал)Можно уточнить сделанную оценку для Rxz, учитывая изменение стандартапродольных пульсаций (3.124) по глубине потока, полученную обработкой опыт­ных данных по течениям в открытых руслах и широких каналах [102, 109], при­нимая приближенно ^u'z = и* и т=тт.

При этом из уравнения (3.123) находим Rxz:1=2,35 -1,5z(3.128)hС учетом изменения т по глубине потока выражение для коэффициента кор­реляции принимает вид:1R xz=-zh2,35 -1,5z(3.129)hПринимая во внимание аппроксимации (3.124) и (3.125) для стандартов пуль­саций скорости, выражение для коэффициента корреляции можно представитьследующим образом:172zhR~ = гz(3.130)rz2,35 -1,51,1 - 0,35hvh JVРасчетные данные, полученные по (3.128), (3.129) и (3.130), приведены в таб­лица 3.19.Т а б л и ц а 3 .1 9 -Расчет коэффициента взаимной корреляции R xдля различных значений z /hz0,05hRxz0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,4400,455 0,488 0,5260,571 0,625 0,690 0,769 0,8701,00,4180,409 0,390 0,3680,343 0,312 0,276 0,231 0,1740,10,3860,384 0,379 0,3700,357 0,338 0,310 0,270 0,210 0,130по(3.128)Rxzпо(3.129)Rxzпо(3.130)Сопоставление расчетных данных с измерениями Ж.

Конт-Белло (рисунок3.20) показывает, что данные независимых измерений стандартов пульсаций и со­ответствующие им аппроксимационные зависимости согласуются с результатамикорреляционных измерений. Поскольку лучшую сходимость обнаруживает зави­симость (3.130), она далее используется в расчетах величины параметра Кармана.В теории Л. Прандтля важную роль играет параметр Кармана, постоянствокоторого предполагалось при получении логарифмического профиля скорости иподтверждено экспериментально измерениями И.

Никурадзе. Однако более позд­ние исследования обнаружили изменяемость этого параметра с расстоянием оттвердой границы и коэффициента гидравлического сопротивления [55, 98]. Связьпараметра Кармана с характеристиками турбулентности заложена в уравнение Л.Прандтля (3.119), однако исследование данного вопроса до настоящего временине производилось.173Переходя к анализу этой связи с использованием уравнений (3.119), (3.126),(3.127), а также влияния величины(z - z f ),определяющей продольную пульсациюскорости, запишем выражение (3.123) в виде:(3.131)или(3.132)Учитывая выражения (3.121) и (3.132), находим:(3.133)или(3.134)Рассматривая (3.134), следует отметить, что в использованном уравнении Л.Прандтля (при его интегрировании по z в процессе получения логарифмическогопрофиля скорости) предполагается по умолчанию независимость параметра к от z.При этом левая часть равенства (3.134) оказывается линейной функцией от z.

Ли­нейная зависимость от z правой части равенства (для каждой zj=const) обеспечи­вается присутствием z в множителе(z - z f). Это позволяет заключить, что коэф­фициент корреляции будет либо величиной постоянной, либо функцией от z , та­кой же как параметр к. Учитывая, что в теории Прандтля K=const , можно предпо­ложить, чтоy lR zтакже является величиной постоянной, либо слабо зависящей отz. Дифференцируя (3.134) по z (для каждой zf=const), получаем:(3.135)Учитывая результаты расчета Rxz по зависимости (3.130), наиболее близкие кданным измерений Ж. Конт-Белло, определим величину к по зависимости (3.135)для различных точек потока (таблица 3.20).174Таблица 3.20 - Расчет величины параметра Кармана для различных значенийz/hz0,050 , 10 , 20,30,40,50 , 60,70 , 80,9hк0,393 0,392 0,389 0,385 0,378 0,368 0,352 0,329 0,290 0,228Расчеты обнаруживают некоторое увеличение параметра к в пристенной зонепотока, что согласуется с данными обработки опытов И.

Характеристики

Список файлов диссертации