Автореферат (1137534), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Однако, даже древнее определение Эвклида может показатьсяанахронным для описания мыслительных достижений VI и V вв.В подразделе 2.3.2 («Первое открытие: квадрат или пентаграмма?») мы27анализируем древние свидетельства, приписывающие ранним пифагорейцам (вчастности Гиппасу) открытие несоизмеримости в «геометрической» форме. Этооткрытие иногда связывается с экспликацией отношения диагонали квадрата сего стороной, а иногда с экспликацией отношения диагонали правильногопятиугольника с его стороной. В обоих случаях попытка измерить диагональфигуры ее стороной (т. е. «попеременное вычитание») и показать это в видерисунка ведет к бесконечному («в себя ввертывающемуся») повторениюконструкции. В случае с пятиугольником ранним пифагорейцам в разныхвариациях приписывается знание конструкции золотого сечения (со знаниемнесоизмеримости, заключенной в ней, или без) и знание конструкцииправильного додекаэдра (понимание которого подразумевает пониманиеправильного пятиугольника).
Несмотря на высокую вероятность того, чтосамым ранним пифагорейцам были известны конструкции додекаэдра изолотого сечения, это не означает автоматически, что они из этого знаниясделаливыводосуществованиинесоизмеримости.Чтокасаетсявышеупомянутых «в себя ввертывающихся» конструкций, вопрос о том, былоли это для ранних пифагорейцев «доказательством» несоизмеримости, остаетсяоткрытым в силу крайней скудости имеющихся свидетельств.Однако имея в виду, что в целом раннепифагорейская «математика» былапреждевсего«арифметическая»,нежели«геометрическая»,ичтов«арифметике» ранние пифагорейцы от Гиппаса до Феодора были практическимонополистами, в подразделе 2.3.3 («Дотеэтетовский арифметическийподход»)мыставимвопрос:возможноли,чтодревнееоткрытиенесоизмеримости могло быть арифметическим? Прежде, чем в следующемподразделе 2.3.4 ответить на этот вопрос, в данном подразделе мы разбираемсяс реконструкциями «арифметики» VI и V вв.
В науке широко распространеномнение, что «искусство счета» в период от Гиппаса до Феодора было«псефическим» (pebble-arithmetics), т. е. что числа представляли с помощьюдвухмерного построения камешков (ψῆφοι). Также считается, что ядром этойдревней арифметики была теория четного и нечетного. Реконструкция28«псефической арифметики» базируется на свидетельствах Эпихарма, Архита,Аристотеля, Аристоксена, Эвклида и др., и мы, несмотря на достаточновлиятельное течение в современной науке, подвергающее сомнению выводыэтой реконструкции, делаем вывод в пользу ее сторонников.
«Псефический»подход в древнем «искусстве счета» мы назвали «дотеэтетовским», потому чтопреемник раннего пифагорейца Феодора, Теэтет, придал арифметике болеевысокий уровень абстракции, освободив ее от «псефичности», т. е.отконкретных двухмерных представлений.Свидетельства о важных изменениях в «искусстве счета» и ключевуюинформацию о демонстрации Феодором «несоизмеримости √3 до √17» мынаходим в известном отрывке из Платона, — в диалоге, который как раз ипосвящен Теэтету (Tht.
145a–148a). Анализу этого отрывка посвящен подраздел2.3.4 («Лекция Феодора и древнее доказательство»). В своей лекции Феодордемонстрировал несоизмеримость диагоналей «трехфутового», «пятифутового»и вплоть до «семнадцатифутового» (по поверхности) квадратов с их сторонами.Мы пытаемся ответить на три вопроса: (1) как Феодор мог доказывать данныенесоизмеримости?; (2) почему он остановился именно на 17, т. е. почему 17представляло препятствие, естественно происходящее из доступных в то времясредств?; (3) как понять трактовку Платоном результатов, которых добилсяФеодор? На основе всего сказанного в разделах 2.3.1–2.3.3 мы показываем, чтодемонстрация Феодора вряд ли была «геометрической», потому что (а) оналегко обобщается (тогда не было причин останавливаться на 17), (б) бесконечноповторяющаяся («ввертывающаяся в себя») конструкция не могла иметь силувизуальной очевидности и (в) геометрическое доказательство ни для какихцелей не использует даже Эвклид (хотя его излагает: Euc.
X.2).Поэтому мы беремся за реконструкцию возможного арифметическогоподхода. Мы излагаем новую реконструкцию, предложенную только в 2015 г. иоснованную на следующих свидетельствах и идеях, известных по отдельности влитературе,нонигдераньшенеиспользованныхвсовокупности:(1) свидетельствах Arist. APr 41а23–32 и Pl. Menо 82b–85b (разговор Сократа и29раба, в котором они пытаются удвоить квадрат площадью в четыре фута);(2) утверждении, что поступок, описанный в «Меноне», мог отражать формусамой древней демонстрации несоизмеримости, которая восходит к времениГиппаса и, возможно, самого Пифагора; (3) утверждении, что Феодордемонстрировал несоизмеримость диагоналей трех-, пяти- и так далее, вплотьдо семнадцатифутового квадрата с их сторонами с помощью попыткиувеличить однофутовый квадрат по процедуре из «Менона»; (4) факте, чтоквадраты нечетных чисел в псефической арифметике изображались с помощьюсуммы восьми треугольных чисел и одного единичного элемента и что, поаналогии с поступком из «Менона», увеличение делалось с помощьютрансформации таких фигур.
Приведенная реконструкция позволяет ответитьна все наши вопросы о лекции Феодора — в том числе о причинах, по которымон остановился на семнадцатифутовом квадрате: он просто не мог перевести еена форму доказательства в стиле «Менона» и был вынужден остановиться, т. е.вэтомслучаенемогпродемонстрироватьнисоизмеримость,нинесоизмеримость. Это означает, что мы можем с высокой долей вероятностиутверждать, что подход Феодора (а тем самым, и пифагорейцев старше него) кисследованию несоизмеримости был «псефическим» («арифметическим»).Теэтет сумел продемонстрировать несоизмеримость диагоналей квадратов,площадь которых более 17 футов, со своими сторонами, но для этогопотребовалось отказаться от «псефической арифметики».
Феодор показал еепределы. Геометрическое представление несоизмеримости не обладало преждевсегоочевидностью,существеннымэлементом«доказательства»в«математике» до ее аксиоматизации Эвклидом.Получив достоверную реконструкцию раннепифагорейских исследованийнесоизмеримости, ставших впоследствии историей арифметики и геометрии, вподразделе2.3.5феномен»)мы(«Открытиеанализируем,несоизмеримостикакогородакакмыслительныймыслительныедостиженияспособствовали развитию такого образа мышления. В современной наукефилософское значение открытия несоизмеримости нередко отбрасывается на30основе того, что оно само по себе не привело к революции в математике (инаоборот, в популярных историях о пифагорейцах открытие несоизмеримостиописывается как глубокая мировоззренческая драма).
Другими словами,считается, что ранние пифагорейцы были вынуждены отказаться от своей«числовой онтологии», если бы «математическое» открытие несоизмеримостипроизвело на них какое-то впечатление. Мы критикуем такой подход, потомучто он проецирует на ранний пифагореизм структуру современного института иподразумевает высокую степень абстрактности в математике.
На самом деле, изприведенной нами реконструкции видно, что только после Теэтета, автораобобщенной теории несоизмеримых величин, можно говорить о действительномвыделении математики как дисциплины. Способ абстракции у Теэтета, которыйпотом, век спустя, привел к таким произведениям, как «Начала» Эвклида,связан с появлением нового концепта числа, и этот абстрактный концепт, повсей видимости, является как раз тем, что Аристотель приписывает раннимпифагорейцам (и чему мы противопоставили мыслительный феномен протоединицы).Дотеэтетовская(«псефическая»)арифметикаполностьюсоответствует феномену прото-упорядочивания одинакового, и все, что делалФеодор можно полноценно истолковать при помощи уже разработанных намитерминов.
Поэтому утверждение о полной дизъюнкции «математиков» и«метафизиков» в раннем пифагореизме не имеет основания. А это означает, чтонет причин отбрасывать идею о том, что открытие несоизмеримости оставилосвой след на онтологических спекуляциях в раннем пифагореизме и наоборот.Факт мыслительной однородности самых важных представителей раннегопифагореизма дает нам право назвать это течение «школой» (со всемиограничениями, упомянутыми в пункте «Объект и предмет исследования»данного автореферата).Это также означает, что мыслительный феномен прото-упорядочиванияодинакового можно больше не называть гипотезой. За такими разнымиконцептами,какоктава(«величинагармонии»),единичныедлиныв«геометрии», единичные камешки Феодора, единичные струны в гармонике,31единичные камешки Эвритовых пределов-определений, всегда наблюдаетсяодинаковая мыслительная матрица, заложенная в самом рождении протоединицы из безграничных и ограничивающих.
Поэтому можно сказать, чторождение потомства единицы похоже на ее собственное происхождение. Изэтогомывыводимважноеположение:конструкциянесоизмеримого(невыразимого) ничем не отличается от конструкции (показывания) выразимыхотношений: на невыразимое указывают бесконечные, ввертывающиеся в себяпрото-упорядочивания, как и невозможность прото-упорядочить что-то, на чтоможно указать (как в случае Феодора). Ввертывающийся в себя квадрат илипентаграмма имеет сильное мыслительное сходство с рисунками Эврита (как ихоппозит), а невыразимое, понятое как отклонение от прото-упорядочивания,является своеобразным дефектом. Это, в свою очередь, означает, чтоневыразимое — не просто эквивалент безграничного, которое тоже невозможновыразить числами; оно в некотором смысле «хуже».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
