Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137428), страница 6

Файл №1137428 Диссертация (Многомерные параметрические модели случайных подстановок и их вероятностно-статистический анализ) 6 страницаДиссертация (1137428) страница 62019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

В последнем случае (при 2  0,1    0 ) формула (2.16) принимает вид:H nA   n! / d n / d ,n / d !(2.17)если n кратно d , и H nA    0 в противном случае.Отметим важный частный случай d  2 . В этом случаеC A n C A n–числоцикловчётной(нечётной)длинывподстановке, и для подстановок чётной степени, то есть при n  2n0 ,из (2.8) и (2.17) следует, что:56F2 n0 t ; A  E t cA  n   t / 2n0  / 2n0tt  2t  4...t  2n0 1  2  4...  2n0  1(2.18)n0 1 t  q i  tp i ,i 1гдеp i  1  q i Изпредставления(2.18).  2iследует,чтоF2n0 , t ; Aестьпроизводящая функция независимых бернуллиевских случайныхвеличин, таким образом, в данном случае имеет место представлениеC A n  1  1   2  ...

  n0 1 ,(2.19)где слагаемые независимы иΡ i  1  1  Ρ i  0  p i , i  1,..., n0  1.Отметим, что аналогичное разложение на сумму независимыхбернуллиевскихслагаемыхобщегочислацикловслучайнойподстановки в модели Эвенса было получено в [5], поэтомурезультатыэтойработымогутбытьнепосредственнопереформулированы для рассматриваемого случая.Замечание 3.

Для изучения числа C A n  циклов нечётной длины в(2.15) надо положить 1  0, 2    0 (напомним, что d  2 ), что даётследующий результат:571  z  2 n  n     H nA    n! z         . 1 z k 0  k  2  k  2  nk n(2.20)Отсюда видно, насколько сложнее задача изучения распределениячисла циклов случайной A - подстановки (имеющей лишь циклынечётной длины).Ar  -циклы2.4.Пусть подмножество A имеет видAr   i : i  r, r  2(длины циклов ограничены числом r ). Для этого случая формула (2.3)принимает видrzi H nA r     n! z 1  z  exp 1   2   i 1 i zi n1 n! z 1  z  exp  2  1  .i r i  n 2 (2.21)Отметим, что при r  2 этот результат совпадает с (2.11) в случаеd  2.Итак, изучение совместного распределения чисел Ar  -цикловC A r  n   ir ciиA r  -цикловC A  r  n   ir ci случайнойn-подстановки в модели (2.2) может быть основано на исследованиисовместной производящей функции (2.4) этих характеристик сH nA r    , указанным в (2.21).58Рассмотренные примеры убедительно демонстрируют какдостаточнуюуниверсальностьпредложеннойметодики,такиприсущие ей сложности: за исключением отдельных случаев (типа(2.18)-(2.19)), точные решения в обсуждаемой проблематике имеютформугромоздкихкомбинаторныхвыражений,изкоторыхпроблематично извлечь конкретную информацию (хотя бы, например,вычислить средние и дисперсии величин C A n  и C A n  ).Поэтому дальнейшее продвижение в этой тематике можноосуществить лишь на пути асимптотического анализа, предполагая,что степень подстановки стремится к бесконечности, как это обычноделаетсявтеориислучайныхподстановоквклассической(равновероятной) модели.59§3.

Асимптотическая нормальность чисел конгруэнтных цикловв d -параметрической модели случайных подстановок3.1.Конгруэнтные циклы подстановкиЕсли подмножество A j в (В.1) – (В.2), имеет видA j = {k : k = ld  j, l  0},(3.1)для некоторых целых d  2 и 1  j  d , то говорят о конгруэнтныхциклах [17,c.187].В данном параграфе рассмотривается полный ( d - мерный)вектор чисел конгруэнтных циклов подстановки s  S nC(n) = (C A (n),, C A (n))1dи устанавливается его асимптотическая нормальность в общейпараметрической модели (1.1)-(1.3).

Для этого приведём необходимыепредварительные соотношения.Мера и производящая функцияЕсли подмножества A j имеют вид (3.1), то в выражении (1.1)суммыiA jziмогут быть заменены наiz ld  j1 d 2ijk/dln (1  ze 2ik/d ), ld  j =  d el 0k =1(3.2)60что проверяется непосредственно разложением логарифма в рядс учётом очевидных соотношений1 d 2i ( m j ) k/d 1, если m-j кратно d =.e0,впротивномслучаеd k =1Окончательно имеем, что в рассматриваемой нами задаче оконгруэнтных циклах основная функция H n ( ) в (1.1) принимает вид H n    n! z n G( z ), гдеd 1 dG ( z ) = exp   j e 2ijk/d ln (1 ze 2ik/d ). d j =1 k =1(3.3)МоментыОбщая формула для смешанных факториальных моментоввектора C(n) имеет вид (с учётом формул (3.2) и (3.3))rj i  rj  n zE (C A (n))r =   j [ z ]    G ( z )/[ z n ]G ( z )jjj j  iA j i   j(3.4)(напомним, (a) r = a(a  1)(a  r  1), r  1, (a0 ) = 1) .Отсюда, в частности, имеем следующие представления длясредних значений:zi E C A (n) =  j [ z n ]  G ( z )/[ z n ]G ( z ). iA i j j (3.5)Метод перевалаИзпредставленийасимптотическогоанализа(3.3)-(3.5)следует,распределениячтозадачаслучайноговекторасводится к нахождению асимптотики для коэффициентов Тейлора61[ z n ] f ( z ) аналитической функции.

Основным инструментом для этогоявляется, как известно, метод перевала. Напомним его общую схему вудобном для целей нашего исследования виде.Пусть f (z ) -аналитическая при | z |< 1 функция. Определим дляr > 0 функции (r ) = r (ln f (r )), (r ) = r (r ),(3.6)и предположим, что lim  (r ) =  , lim  (r ) =  .r 1r 1Предположим, далее, что для достаточно больших значений nсуществуеттакое > 0 , что в интервале(1   ,1)имеетсяединственный корень rn уравнения (r ) = n(3.7)(этот корень есть растущая функция от n и lim rn = 1).nТогда при n  [ z n ] f ( z) =rnnf (rn )(1  o(1)).2 (rn )(3.8)Применим этот метод к функции G(z ) , определённой в (3.3). Вданном случае формулы (3.6) принимают вид:d  d 1  2i ( j 1)k/d  e1 dj (r ) = r (ln G (r )) = r  ,= j ,2ik/d 1rdd1rej =1k =1j =1d  d 1 e 2i ( j 2)k/d j2 (r ) = r    (r ).22ik/d 2 (1r)d(1re)j=1k=1(3.9)Уравнение же (3.7) можно переписать в форме62d r jr = 1    (1  r )nj =1 dd 1 2i ( j 1)k/de 1  re 2ik/dk =1,откуда следует,что при n  rn = 1 1 O 2 .nn (3.10)С учётом этого находим:djj =1dG (rn ) = exp{ ln (1  rn )  = exp{ lnndjj =1dd 1e 2ijk/d ln (1 rn e 2ik/d )} =k =1d 1e 2ijk/d ln (1 e 2ik/d )  o(1)},k =1rnn = e  (1  o(1)), (rn ) =n2(1  o(1)).В итоге формула (3.8) принимает вид[ z n ]G( z ) =exp{ ln n  ( )}(1  o(1)),2n(3.11)где  ( ) -независящая от n , непрерывная функция от  .Заметим, далее, что если в формуле (3.11) заменить вектор  навектор t   = (t11 ,, t d  d ) , то, в соответствии с (1.1)-(1.2), мыполучимследующееасимптотическоепредставлениедляпроизводящей функции: 1 dFn (t ) = exp (t j 1) j ln n  (t  )  ( )(1 o(1)). d j =1(3.12)63Асимптотика моментовОграничимся анализом средних значений (3.5) (анализ старшихмоментов чрезвычайно трудоёмок и предполагает использование,вместо (3.8), соответствующих асимптотических разложений).Повторяя проделанный выше путь для функцийz i f j ( z) = G ( z ), iA i  j находим, чтоE C A ( n ) =jjdln n(1 o(1)), j = 1,, d .(3.13)Такая же асимптотика имеет место и для дисперсий D C A (n) ,jчто является прямым следствием основного результата, поскольку изсходимости к нормальному распределению следует и сходимостьсоответствующих моментов.643.2.Асимптотическая нормальность чисел конгруэнтныхциклов случайной подстановке (доказательство основногорезультата).Теорема 7.

Если n   , а параметры 1 ,  ,  d фиксированы,то компоненты вектора C(n) асимптотически независимы иасимптотическинормальныспараметрамисоответственноj j ln n, ln n  , j = 1 ,  , d .ddДоказательство.Введём нормированные случайные величиныC *A (n) =C A ( n) jjjdjdln n, j = 1,, d .(3.14)ln nТогда для их совместной характеристической функции всоответствии с (3.12) имеем: dE exp i x j C *A (n) =j j =1 d i x 1ln n dix d ln n d  == exp  i x j  j ln n d  n,  e 1,, e dj=1 d 1 d  i x  j ln n d= exp  i x j  j ln n d    j  e j 1 ln n  o(1)(1 o(1)) = d j =1 j =1 1 d = exp  x 2j (1 o(1)), 2 j =1 65что и требовалось показать.

Теорема доказана.Добавим к этому результату некоторые комментарии.Как хорошо известно, в модели равновероятных подстановок,когда каждая подстановка из S n наблюдается с вероятностью (n!) 1 (внашей модели надо положить все  j = 1 ), общее число циклов C (n)случайной подстановки асимптотически нормально с параметрами(ln n , ln n) [1]. Обобщение этого результата на неравновероятныйслучай:подстановкасчисломцикловнаблюдаетсяC (n)свероятностью, пропорциональной  C (n ) , где  > 0 - произвольныйпараметр,полученоЮ.И.Медведев[4]).подстановкивЭвенсом[23]Именно,такойчисломодели(см.такжецикловГ.И.Ивченко,C (n)асимптотическислучайнойнормальноспараметрами ( ln n ,  ln n) .

Модель Эвенса является частным случаемрассматриваемой в работе модели и получается из неё при1 =  =  d =  . А из приведённой теоремы следует, что в нашейdмодели число циклов C A (n) = C A (n) случайной подстановкиj =1j1 dасимптотически нормально с параметрами ( ln n ,  ln n) ,  =  j .d j =1Таким образом, сформулированный в теореме результатобобщает свойство асимптотической нормальности числа цикловслучайной подстановки (с логарифмическим порядком роста этогочисла) на достаточно широкий класс неравновероятных моделей,давая одновременно информацию о более детальной структуризациициклов подстановки. В частности, теорема даёт ответ также и навопрос о цикловой структуре подстановок с «запретами», т.е.

когда66какие-то A j -циклы в подстановке «запрещены» (соответствующиепараметры  j надо положить равными нулю).Полученныйрезультатпозволяетпостроитьновыйстатистический критерий проверки гипотезы о равновероятностиподстановок и вычислить его предельную мощность при «близких»альтернативах, что будет рассмотрено в Главе 3.Выделим, в качестве следствия, случай d = 2 .

Здесь речь идёт оциклах чётной и нечётной длины, и из теоремы, в частности, следует,что в равновероятной модели (при 1 =  2 = 1) число тех и других всреднем асимптотически равно половине общего числа циклов ln n факт, в литературе ранее не отмечавшийся.Наконец, если акцентировать внимание лишь на одном каком-токлассе конгруэнтности, скажем, Ad -циклах, то в рассматриваемоймоделиихчислоC A (n)dасимптотическинормальноN  d ln n, d ln n  и асимптотически не зависит от числа остальныхddцикловC A (n) ,такжеасимтотическиd     d 1     d 1нормального N  1ln n, 1ln n  .ddЗамечание 4.(Схема серий.) Пусть параметры рассматриваемоймодели имеют видj =jln n,  j = const > 0, j = 1,, d .(3.15)Представление (3.12) остаётся справедливым и в этом случае, имы получаем, что в схеме серий (3.15) числа конгруэнтных цикловслучайной подстановки асимптотически ведут себя как независимые67пуассоновские случайные величины с параметрами соответственно j /d , j = 1,, d .68Глава 3 .

Статистикаd - параметрической моделислучайных подстановок.§1. Асимптотическое оцениваниеВозможности точного анализа в задачах оценивания длярассматриваемойконстатируетсямоделивработедовольно[6],гдеограничены,какрассматривалсяэтослучайоднопараметрической модели. Именно, в [6] обсуждаются вопросыоценивания и проверки гипотез о параметре  модели Эвенса, когдапроизвольная подстановка s  S n наблюдается с вероятностью ,пропорциональной cs ( n ), где cs (n) - общее число циклов подстановкиs и  > 0 - неизвестный параметр.

Это частный случай нашей моделипри d = 1 и A1 = X n , и для него в [6] показано, что несмещённыеоценки сущетсвуют лишь для параметрических функций вида ( ) = a( )/ ( n) , где  ( n) =  (  1)(  n  1) иa( ) -многочленстепени не выше n , причём a(0) = 0 . В частности, для самогопараметра  несмещённой оценки не существует. В [6] построенытакже оптимальные (несмещённые с минимальной дисперсией)оценки для таких параметрических функций, при этом базой для этогоявляется известное точное распределение достаточной статистикиcs (n) . Также констатируется, что более широкие возможности вобсуждаемой проблематике предоставляет асимптотический подход,когда порядок подстановок n   , и для этого случая развиваетсясоответствующаяасимптотическаятеория,врамкахкоторой69конструируются асимптотически несмещённые и асимптотическиэффективные оценки не только для параметра  , но и для широкогокласса функций от него, а также рассчитываются соответствующиеасимптотические доверительные интервалы.В свете сказанного, при анализе нашей модели мы будемиспользовать асимптотический подход ( n   ), поскольку точноераспределение достаточной статистикив удобной дляC A (n)использования форме получить весьма проблематично, в то время какеё асимптотическое распределение, указанное в теореме 7, достаточнопросто устроено.Из теоремы 7 (см.

Характеристики

Список файлов диссертации

Многомерные параметрические модели случайных подстановок и их вероятностно-статистический анализ
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6314
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее