Диссертация (1137428), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В этом случае дляciпроизводящей функции цикловой структурыc(n)справедливопредставлениеnE ti i = H n (t  )/H n ( ),гдеci =1nH n ( ) = n![ z n ]exp{a( z; )}, a( z; ) =  ii =1zi.iОтсюда следует, что производящая функция для произвольногоконечного числа k начальных членов c1 , c2 ,, ck имеет видkE i =1cti ikzi = n![ z ]expa( z; )   i (t i  1)  H n ( ) .i i =1nДалее, используя стандартную технику метода перевала,нетрудно получить, что при n   и фиксированных  81kk cE t i i  exp i (t i  1), i =1 ii =1что означает асимптотическую независимость величин c1 ,, ckи их пуассоновскую сходимость:L (ci )   i . i (5.2)Утверждение теоремы 8 является следствием этого результата,поскольку для всех A j - циклов параметры   в рассматриваемоймодели одинаковы.Следствие.

Наблюдаемые статистики (5.1) асимптотическинезависимы, и при этомL ( j (n))   ( j  j ),гдеj =1 i I (i  K j ) =iA jl  K j  j 1.ldjd(5.3)Из этих результатов следует, во-первых, что статистическиевыводы о каждом из параметров  j можно делать независимо понаблюдению лишь соответсвующей статистики  j (n) , и, во-вторых,исходная проблема в асимптотике сводится к соответствующимстатистическим задачам для пуассоновской модели с неизвестнымпараметром, решение которых достаточно хорошо известно.5.2. Оценивание параметровПустьимеетсяNнезависимыхподстановокs1 ,, s N ,полученных при одном и том же значении неизвестного параметра82 = (1 ,, d ) , и, тем самым, выборка (набор наблюдаемых статистик(5.1))(1( k ) (n),,  d ( k ) (n)), k = 1,, N .Какотмеченоасимптотическиво(прип.5.1,n компонентыи(5.4)этихвекторовфиксированныхуровняхцензурирования K j ) независимы и распределены в соответствии с(5.3), поэтому для суммарного числа наблюдаемых A j -цикловNT j = T j ( N , n) =  j ( k ) (n)(5.5)k =1будет выполняться предельное соотношениеL (T j ( N , n))  ( N j  j ).(5.6)Это соотношение сводит задачу оценивания параметров  jнашеймоделикзадачеоцениваниянеизвестногопараметрапуассоновской модели.Известно (см., напр., [10, §3.4]), что оптимальной (т.е.несмещённой с минимальной дисперсией) оценкой сходящегося привсех  > 0 степенного ряда  ( ) = ai iпо наблюдению надi 0случайной величиной Xявляетсяс пуассоновским распределением ( )статистика * = ai ( X ) i ,гдеi 0( X ) i = X ( X  1)( X  i  1), i  1, ( X ) 0 = 1.Учитываяэтоисоотношение (5.6), мы можем сформулировать следующее общееутверждение для нашей модели.83Теорема11.Асимптотическиоптимальнойоценкойсходящегося при всех  j > 0 степенного ряда  ( j ) = ai ij являетсяi 0статистика * = ai (T j ( N , n))i /( N j ) i ;i 0в частности, асимптотически оптимальная оценка параметра j имеет вид *j = T j ( N , n)/N j .Соотвествующийже -доверительный интервал для(5.7)jасимптотически имеет вид [10,с.287] 11, 12 , 12 2 N j,2T j 2 N,2T j  2 j22(5.8)где  2 p,r есть p -квантиль распределения хи-квадрат с rстепенями свободы.5.3.

Проверка гипотезЕсли требуется проверить какие-то гипотезы о частныхзначениях параметров  j в обсуждаемой ситуации, то, на основаниисоотношения (5.6), надо воспользоваться общей теорией дляпуассоновской модели (учитывая при этом специфику тестовыхстатистик T j ( N , n) ) с тем лишь замечанием, что соответствующиеалгоритмы в нашем случае будут иметь характер асимптотическихутверждений.84Продемонстрируем это на конкретном примере проверкипростой гипотезы H 0 :  j =  j 0 против правосторонней альтернативыH1 :  j >  j 0 . Известно [10, § 5.3], что в задачах такого типасуществует равномерно наиболее мощный (РНМ) критерий, которыйстроитсяследующимобразом.Обозначим(внашемслучае) 0 =  j 0 N j и при заданной вероятности ошибки первого рода определим целое число t условием m m00  e <    0 e 0   '.m =t m!m =t 1 m!'Если(5.9) =  ',здесьнерандомизированнымитоискомыйзадаётсякритерийкритическойявляетсяобластью(асимптотически)X  = {T j ( N , n)  t }.(5.10)Если же в (5.9) имеет место строгое неравенство ( <  ' ) , токритерий является рандомизированным и задаётся критическойфункциейпри T j > t ,1,'     (T j ) =  ', при T j = t ,'при T j < t .0,В любом случае мощность этого критерия при произвольнойальтернативе 1 =  j N j >  0 вычисляется по формулеt m'W (1 ) ~  1 e 1  (   ) 1  e0 1 . 0 m=t 1 m!(5.11)85Замечание 5.

В случае ( <  ' ) вместо рандомизированногокритерия можно также использовать нерандомизированные РНМкритерииилиX  = {T j  t  1}суровнямизначимостисоответственно   и   (асимптотически).Аналогично анализируется задача ( H 0 , H1 ) с левостороннейальтернативой, а при двусторонней альтернативе критерий задаётсяобъединением двух односторонних критических областей, т.е. имеетвидX  = {T j  t }  {T j  t }, 1   2 =  .12Замечание 6.

Случай  j 0 = 1, j = 1,, d , соответствует наиболееважной для приложений гипотезе о равновероятности подстановок, иизложенная методика даёт новые критерии проверки этой гипотезы,учитывающие широкий класс специальных альтернатив, при которых j  1 для некоторых j .5.4. Большие выборкиЕсли число N наблюдаемых подстановок велико, то можноприменить теорию больших выборок ( N   ) и получить болеесильные выводы. В этом случае из (5.5)-(5.6) следует, что длянормированной статистики~ ~T j = T j ( N , n) = T j ( N , n)/(N j )(5.12)справедлива нормальная аппроксимация86j~L (T j ) ~ N  j ,N j,(5.13)и тем самым статистические выводы о параметрах  j можнополучать, используя соответствующую теорию нормальной модели[9].

Аналогичная ситуация рассматривалась в работе [6], поэтому,следуя ей, можно сформулировать для нашего случая следующиеутверждения.Теорема12.Статистика~Tj(см.(5.12))являетсяасимптотически несмещённой и асимптотически эффективнойоценкой j;параметратакимижесвойствамиобладает~статистика  (T j ) как оценка  ( j ) для любой дифференциируемойфункции  .Теорема 13. Асимптотическим  - доверительным интерваломдля параметрической функции  ( j ) с непрерывной производной ' ( j ) является интервал (T~ )  z  (T~ )j'j1  ~T j /( N j ) , z =  1 , 2 (5.14)где  1 (t ) -обратная функция к стандартной нормальной функциираспределения (x) .Теорема 14. Критерий уровня значимости  для проверкигипотезы H 0 :  j = 1 при левосторонней альтернативе H1 :  j < 1асимптотически задаётся критической областью~X  ( N ) = {T j < 1  u / N j }, u =  1 (1   );(5.15)"пороговыми" здесь являются альтернативы вида87t, t > 0,N jH 1N : j =  j ( N ) = 1 и мощность критерия (5.15) при таких близких альтернативахудовлетворяет при N   соотношениюWN ( j ) = P( X  ( N ))  (t  u ).Аналогично,взадаче( H 0 , H1 :  j > 1)критерийуровнязначимости  асимптотически имеет вид~X  ( N ) = {T j > 1  uN j }(5.16)и его мощность при близких альтернативахH 1N : j =  j ( N ) = 1 t, t > 0,N jасимптотически равна (t  u ) .Наконец,взадачесдвустороннейальтернативой( H 0 , H1 = H1  H1 ) критерий асимптотически имеет видu~X  ( N ) = | T j  1 |> /2 N j (5.17)и его мощность при близких альтернативахH 1N :  j =  j ( N ) = 1 t, t  0,N jасимптотически равна (t  u/2 )  (t  u/2 ) .Сформулированныевтеореме14критериипозволяютконтролировать значения отдельных координат параметрического88вектора  = (1 ,, d ) .

Вместе с тем желательно уметь такжепроверять гипотезы и о полном этом векторе. Важнейшей такойгипотезой является утверждениеH 0 : 1 =  2 =  =  d = 1,означающее, что подстановки выбираются равновероятно из S n .Если эта гипотеза справедлива, то из (5.12)-(5.13) следует, чтостатистикиT j* ( N ) = (T j  N j )/ N j , j = 1,, d ,асимптотическинормальны N (0,1) , и они асимптотически независимы.Следовательносуммаихквадратовасимптотическираспределена по закону  2 (d ) :d (T  N ) 2  2jj   2 (d ).LT ( N )  N jj =1(5.18)Этот результат позволяет сформулировать следующий критерийсогласия для гипотезы равновероятности H 0 , учитывающий всюисходную информацию.Теорема 15. При заданном уровне значимости H 0 отвергаетс я  {T 2 ( N ) >  21 ,d }.5.5.

Гипотеза однородностиВыше предполагалось, что в процессе наблюдения надподстановкамиs1 ,, s Nпараметр  = (1 ,, d )нашей моделиостаётся неизменным, что на самом деле является гипотезой, котораясама должна быть подвергнута статистической проверке; такая89гипотеза и называется гипотезой однородности.

Здесь предлагаетсяасимптотический (для больших выборок) вариант соответствующегокритерия однородности (§4) .Итак, теперь мы считаем, что каждый из векторов (5.4) получен,вообще говоря, при своём (но неизвестном) значении параметра  .Обозначим значение этого параметра для подстановки s k через ( k ) = (1( k ) ,, d( k ) ) . Тогда гипотеза однородности есть утверждениеH 0 : (1) =  =  ( N ) .В силу предположения о независимости подстановок исоотношения (5.3) можно считать, что при гипотезе H 0 данные( (j k ) (n), k = 1,, N ) = ( X 1 j ,, X Nj )представляютсобойнезависимуювыборку(5.19)израспределенияПуассона ( j  j ) при некотором  j > 0 (далее для краткостиполагаем  j =  j  j ); при этом, в силу Следствия из п.

Характеристики

Список файлов диссертации