Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137428), страница 5

Файл №1137428 Диссертация (Многомерные параметрические модели случайных подстановок и их вероятностно-статистический анализ) 5 страницаДиссертация (1137428) страница 52019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Ряд наиболее интересных для приложений такихконкретизаций будет детально рассмотрен ниже, а здесь получим ещенекоторые общие соотношения для структурных характеристикподстановки в рамках рассматриваемой модели.1.2.МоментыОбщая формула для смешанных факториальных моментовE  j iA cij rjij(здесь a r  aa 1...a  r 1, r  1, a 0  1)легкополучается дифференцированием по t ij функции H nA t   и, с учетом(1.3)-(1.4), имеет вид:44E  ji cij r ijd i , j ij)H nA t   все t 1 rijijdti , j ijr1H nA(nir  i , j  j   z i , j ij exph z ;    n! i  rij Hni , j irij A  n! j .  n  i , j irij ! i , j  i H nA  rij1H nA(1.6)Это представление может быть полезным при использованииметода моментов для доказательства предельных теорем, когдастепень подстановки n   .Так, будет показано в последующем, что в типичных ситуацияхчисла циклов любых конечных длин распределены асимптотически(при n   ) независимо и по пуассоновским законам: j L cij     , i  A j . i Выпишем еще формулы для математических ожиданий величинcij : для любых i  A j и j  1,..., d .E cij n!  j H  ni  A  .n  i ! i H nA  (1.7)1.3.

Вектор чисел A j - цикловВажнейшей характеристикой случайной подстановки в модели(1.1)-(1.2) является векторC A n  C A1 n,..., C Ad n45чисел её A j - циклов (в дальнейшем будем его называть A структурой подстановки). Его производящая функция находится из(1.3)-(1.4) при замене переменных t ij  t j для всех i A j , j  1,..., d , и,следовательно, имеет видdFn t   E  t j CA j  n   H nA t   H nA   ,(1.8)zidH nA t    n! z exp j t j 1  h z ;  .iAj i j 1(1.9)j 1где nОтсюда, в частности, получаем представление и для маргинальныхпроизводящих функций:E tCA j  n zi n! z exp j t  1   h z ;   H nA  .iAj i n(1.10)Примеры использования этих соотношений будут рассмотрены ниже.1.4. Максимальные длины A j - цикловПусть  j n  обозначает максимальную длину A j - цикласлучайной подстановки: j n  maxi , i  A j : cij  0, j  1,...d .Тогда для совместного распределения этих экстремальныххарактеристик случайной подстановки в рассматриваемой моделиможно записать следующую цепочку соотношений (см.(1.3)-(1.4)):46P  j n   s j , j  1,...d  P cij  0, i  s j , i  A j , j  1,..., d  Fn , t  t1, i  s jiA j , j 1,...,d0 , i  s jij  idz z n exp   j   h z ;   j 1 i s j iiA j (1.11)z exph z ; .n1.5.

Представление в виде условного распределенияЭто свойство модели (как и последующее) представляет собойпроекцию соответствующего свойства общей модели (В.1) (см. [7, 8]),и формулируется следующим образом.Пусть случайные величины Z ij , i  A j , j  1,..., d  независимы всовокупности и при этом Z ij имеет распределение Пуассона  ij  спараметром ij   j i .Тогда распределение случайной структурыcn  cij , i  A j , j  1,..., d может быть представлено в виде условного распределенияL cn  L Z ij, i  A j , j  1,..., d Tn  n ,(1.12)гдеdTn    iZ ij ;j 1 iA jпри этом P Tn  n  exp h1;   z n exph z ;  ,47где h z ;   определено в (1.1).1.6. Подстановки с рандомизированной степеньюЕсли степень подстановки является случайной величиной  сраспределением типа степенного ряда: z n z n f  z P   n , n  0,1,2,...,f  z (1.13)где функция f  z   exphz;  , то элементы структуры cij   будутнезависимыми пуассоновскими случайными величинами: zi L cij     j  , i  A j , j  1,..., d i (1.14)Здесь z  0 является свободным параметром рандомизации, значениекоторого можно подбирать специальным образом в зависимости отцели исследования.48§2.

Конкретизации d - параметрической модели2.1.Двухпараметрическая модельПусть множество X n состоит из двух подмножеств: AA  X n \ A . Циклы подстановкииs , длины которых являютсяэлементами подмножества A (соответственно, подмножества A )будем называть A -циклами (соответственно, A -циклами). ОбозначимC A n  ( C A n  ) общее число A -циклов ( A -циклов) подстановки s :C A n    ci , C A n    ci ,(2.1)iAiAи введём на множестве S n вероятностную меру, приписывающуюкаждой подстановке s S n вес, пропорциональныйC n1CA  n  2 A, где  1 , 2 , 1 , 2  0, параметры меры. Эта мера представляет собойспециальный случай общей меры (1.2) и имеет видC n n 1CA  n  2 APA  s   I   ici  n ,H i1nA(2.2)гдеzizi H nA    n! z exp 1    2   .iA i  iA i nЗдесь выражение в показателе экспоненты может быть заменено на izizzi1   2    2    2ln 1  z   1   2 iA ii 1 iiA i49либо наzizizi1    2  1   1ln 1  z    2  1  ,i 1 iiA iiA iследовательно,zi H nA(  )  n! z 1  z  exp 1   2  iA i zi n1 n! z 1  z  exp  2  1  .iA i  n 2(2.3) Далее, для производящей функции парыC A n,C A nизпредставления (1.3) следует равенство:Fn t1 , t 2 ; A  E t1CA  n t2 CA  n  ПолучимC A ( n ), C A ( n ) распределенияслучайнойH nA t11 , t2 2 .H nA  двумернойподстановкив(2.4)характеристикирассматриваемой(двухпараметрической) модели для различных вариантов заданийподмножества A  X n .Но прежде мы выделим некоторые, представляющие исамостоятельный интерес, следствия соотношений (2.3) и (2.4).1.Положив t1  t 2  t в (2.4), получаем производящую функциюважнейшей характеристики случайной подстановки - общего числа еёцикловnC n   C A n   C A n    ci ,i 1именно,50E t C  n  H nA t1 , t 2 .H nA  Если, кроме того, 1   2    0, топриходим к известнойоднопараметрической модели Эвенса [23], когда каждая подстановкаs  S n наблюдается с вероятностью, пропорциональной  C( n ) .

Дляэтого случая представление (2.3) принимает вид:  H nA    n! z n 1  z   1n n!    n    1...  n 1   n (эта комбинаторная формула в дальнейшем будет неоднократноиспользоваться),и приходим к известному результату [4]:E t C  n  t n. nЭтот случай (распределение числа циклов C n  в модели Эвенса)детально исследован в литературе (см. [4]), в то же времяпредставление(2.4)длядвумернойслучайнойвеличиныzi exp t1  t 2  ,iA i (2.5)CA n,CA n, принимающее в данном случае видFn t1 , t 2 ; A 1 n n! z 1  z n t2является новым результатом и для модели Эвенса.512.Если в модели (2.2) положить  2  0,1    0 , то получиммеру, сосредоточенную на подмножестве подстановок, имеющихлишь A -циклы, такие подстановки называются A - подстановками[16] и их изучению в рамках классической (равновероятной) моделипосвящена обширная литература (см.

[21,22] и библиографию в них).Предложенная здесь модель позволяет, таким образом, изучать инеравновероятные A -подстановки.Пусть S n  A обозначает подмножество A -подстановок в S n .Если на этом подмножестве задана параметрическая мераPA  s  I   iai  n  CA  n  , s  S n  A ,H nA    iA(2.6)zi H nA    n! z exp  , iA i (2.7)1где теперь nто производящая функция общего числа циклов C A n  такойслучайной A -подстановки имеет видFn t ; A  E t CA ( n ) H nA t ,H nA  (2.8)где H nA   дано в (2.7).Если здесь положить   1 , то получим равновероятную наS n  Aмодель:каждаяподстановкаs  S n  Aнаблюдаетсяс11 .вероятностью H nAЗамечание 2.

Случай 1  0, 2    0 соответствует симметричномуварианту – A -подстановкам.523.Отметим, что из представления (2.4) следует общая формуладля смешанных факториальных моментов случайных величин C A n  иC A n  :E C A n r1 C A n r2 r1 r2 r1 r2 Fn t1 , t 2 ; At1 t 2t t 11 1r1 2r2r1  r21r1  2r22H nA 1 , 2  / H nA  ,здесь и далее, напомним,a r  aa 1...a  r 1, r  1, a 0  1.Введя для краткости обозначение,zizi f  z   exp 1    2   ,iA i  iA iотсюда, в частности, получаем следующие представления для первыхдвух моментов: z n    z    f  z  z  f  z  ,i iE C Ann1iA zi E C A n    2 z    f  z  z n f  z  , iA i   nE C A22 zi n    z    f  z  z n f ( z )  E C A n , iA i 21 n2 (2.9) zi n    z    f  z  z n f ( z )  E C A n , iA i z i  z i n E C A n C A n   1 2 z      f  z  z n f  z . iA i  iA i E C A222 n   53Эти общие представления могут быть основой для вычислениямоментов рассматриваемых характеристик случайной подстановкипри различных конкретизациях подмножества A .Далее разберем ряд наиболее популярных в литературе классовA -подстановок в контексте изложенного подхода.2.2.d -инволюцииВ теории подстановок важное значение имеют решенияуравненияs d  e, s  S n ,(2.10)где d  натуральное число, а e  единичная подстановка, эти решениямы будем называть d -инволюциями.

Известно, что такие подстановкисостоят из циклов, длины которых являются делителями числа d .Таким образом, решения уравнения (2.10) образуют подмножество A подстановок S n  A при A  i : i| d , d  2 , i| d означает, что i делит d .Если d  2 , то решение уравнения (2.10) называется простоинволюцией. Инволюция содержит только циклы длин 1 и 2 и,следовательно, является A -подстановкой при A  1,2 .Будем считать, чтоd - простое число, тогда функцияH nA   (см.

(2.3)) для этого случая имеет вид H nA    n! z n 1  z 2 exp1   2 z  z d / d .(2.11)Разложим здесь экспоненту в ряд по степеням z и получим:54 1   2 r r  1   2  j dj exp1   2 z  z / d   z  z jr! r 0 j 0 d j!m  a m ,d 1   2 z ,d(2.12)m0гдеu m d 1 jam ,d u    j,j m / d d j! m  dj !и запишем явное представление для H nA   в виде комбинаторнойсуммы:am ,d 1   2  2 nm .n  m!m 0nH nA    n! (2.13)Производящая функция (2.8) числа циклов в такой случайнойA -подстановке имеет, следовательно, видa t Fn t ; A  n ,dan ,d  j n / dj n / d2.3.t n d 1 jd j j! n  jd ! n( d 1 ) j.(2.14)d j j! n  jd !Подстановки с кратными длинами цикловРассмотрим такуюA - подстановку, что длины всех её цикловкратны числу d  2 , то есть A  kd , k  1,2,....При таком задании множества A формула (2.3) принимает вид55H nA    n! z n 1  z  exp 1   2 21 z kd  d k 1 k     n! z n 1  z 2 exp  1 2 ln 1  z d d   n! z n 1  z 2 1  z d(2.15) 1  2  / d,что можно записать в виде следующей комбинаторной суммы:H nA    n!1   2  d k  2 nkdk n dk! n  kd !.(2.16)Отсюда можно получить явные формулы как для совместнойпроизводящей функции (2.4) пары C A n, C A n, где в данном случаеC A n  –число циклов кратныхd случайной подстановки, а C A n  –число остальных её циклов, так и для производящей функции (2.8)числа циклов случайной A -подстановки.

Характеристики

Список файлов диссертации

Многомерные параметрические модели случайных подстановок и их вероятностно-статистический анализ
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее