Диссертация (1137428), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Ряд наиболее интересных для приложений такихконкретизаций будет детально рассмотрен ниже, а здесь получим ещенекоторые общие соотношения для структурных характеристикподстановки в рамках рассматриваемой модели.1.2.МоментыОбщая формула для смешанных факториальных моментовE  j iA cij rjij(здесь a r  aa 1...a  r 1, r  1, a 0  1)легкополучается дифференцированием по t ij функции H nA t   и, с учетом(1.3)-(1.4), имеет вид:44E  ji cij r ijd i , j ij)H nA t   все t 1 rijijdti , j ijr1H nA(nir  i , j  j   z i , j ij exph z ;    n! i  rij Hni , j irij A  n! j .  n  i , j irij ! i , j  i H nA  rij1H nA(1.6)Это представление может быть полезным при использованииметода моментов для доказательства предельных теорем, когдастепень подстановки n   .Так, будет показано в последующем, что в типичных ситуацияхчисла циклов любых конечных длин распределены асимптотически(при n   ) независимо и по пуассоновским законам: j L cij     , i  A j . i Выпишем еще формулы для математических ожиданий величинcij : для любых i  A j и j  1,..., d .E cij n!  j H  ni  A  .n  i ! i H nA  (1.7)1.3.

Вектор чисел A j - цикловВажнейшей характеристикой случайной подстановки в модели(1.1)-(1.2) является векторC A n  C A1 n,..., C Ad n45чисел её A j - циклов (в дальнейшем будем его называть A структурой подстановки). Его производящая функция находится из(1.3)-(1.4) при замене переменных t ij  t j для всех i A j , j  1,..., d , и,следовательно, имеет видdFn t   E  t j CA j  n   H nA t   H nA   ,(1.8)zidH nA t    n! z exp j t j 1  h z ;  .iAj i j 1(1.9)j 1где nОтсюда, в частности, получаем представление и для маргинальныхпроизводящих функций:E tCA j  n zi n! z exp j t  1   h z ;   H nA  .iAj i n(1.10)Примеры использования этих соотношений будут рассмотрены ниже.1.4. Максимальные длины A j - цикловПусть  j n  обозначает максимальную длину A j - цикласлучайной подстановки: j n  maxi , i  A j : cij  0, j  1,...d .Тогда для совместного распределения этих экстремальныххарактеристик случайной подстановки в рассматриваемой моделиможно записать следующую цепочку соотношений (см.(1.3)-(1.4)):46P  j n   s j , j  1,...d  P cij  0, i  s j , i  A j , j  1,..., d  Fn , t  t1, i  s jiA j , j 1,...,d0 , i  s jij  idz z n exp   j   h z ;   j 1 i s j iiA j (1.11)z exph z ; .n1.5.

Представление в виде условного распределенияЭто свойство модели (как и последующее) представляет собойпроекцию соответствующего свойства общей модели (В.1) (см. [7, 8]),и формулируется следующим образом.Пусть случайные величины Z ij , i  A j , j  1,..., d  независимы всовокупности и при этом Z ij имеет распределение Пуассона  ij  спараметром ij   j i .Тогда распределение случайной структурыcn  cij , i  A j , j  1,..., d может быть представлено в виде условного распределенияL cn  L Z ij, i  A j , j  1,..., d Tn  n ,(1.12)гдеdTn    iZ ij ;j 1 iA jпри этом P Tn  n  exp h1;   z n exph z ;  ,47где h z ;   определено в (1.1).1.6. Подстановки с рандомизированной степеньюЕсли степень подстановки является случайной величиной  сраспределением типа степенного ряда: z n z n f  z P   n , n  0,1,2,...,f  z (1.13)где функция f  z   exphz;  , то элементы структуры cij   будутнезависимыми пуассоновскими случайными величинами: zi L cij     j  , i  A j , j  1,..., d i (1.14)Здесь z  0 является свободным параметром рандомизации, значениекоторого можно подбирать специальным образом в зависимости отцели исследования.48§2.

Конкретизации d - параметрической модели2.1.Двухпараметрическая модельПусть множество X n состоит из двух подмножеств: AA  X n \ A . Циклы подстановкииs , длины которых являютсяэлементами подмножества A (соответственно, подмножества A )будем называть A -циклами (соответственно, A -циклами). ОбозначимC A n  ( C A n  ) общее число A -циклов ( A -циклов) подстановки s :C A n    ci , C A n    ci ,(2.1)iAiAи введём на множестве S n вероятностную меру, приписывающуюкаждой подстановке s S n вес, пропорциональныйC n1CA  n  2 A, где  1 , 2 , 1 , 2  0, параметры меры. Эта мера представляет собойспециальный случай общей меры (1.2) и имеет видC n n 1CA  n  2 APA  s   I   ici  n ,H i1nA(2.2)гдеzizi H nA    n! z exp 1    2   .iA i  iA i nЗдесь выражение в показателе экспоненты может быть заменено на izizzi1   2    2    2ln 1  z   1   2 iA ii 1 iiA i49либо наzizizi1    2  1   1ln 1  z    2  1  ,i 1 iiA iiA iследовательно,zi H nA(  )  n! z 1  z  exp 1   2  iA i zi n1 n! z 1  z  exp  2  1  .iA i  n 2(2.3) Далее, для производящей функции парыC A n,C A nизпредставления (1.3) следует равенство:Fn t1 , t 2 ; A  E t1CA  n t2 CA  n  ПолучимC A ( n ), C A ( n ) распределенияслучайнойH nA t11 , t2 2 .H nA  двумернойподстановкив(2.4)характеристикирассматриваемой(двухпараметрической) модели для различных вариантов заданийподмножества A  X n .Но прежде мы выделим некоторые, представляющие исамостоятельный интерес, следствия соотношений (2.3) и (2.4).1.Положив t1  t 2  t в (2.4), получаем производящую функциюважнейшей характеристики случайной подстановки - общего числа еёцикловnC n   C A n   C A n    ci ,i 1именно,50E t C  n  H nA t1 , t 2 .H nA  Если, кроме того, 1   2    0, топриходим к известнойоднопараметрической модели Эвенса [23], когда каждая подстановкаs  S n наблюдается с вероятностью, пропорциональной  C( n ) .

Дляэтого случая представление (2.3) принимает вид:  H nA    n! z n 1  z   1n n!    n    1...  n 1   n (эта комбинаторная формула в дальнейшем будет неоднократноиспользоваться),и приходим к известному результату [4]:E t C  n  t n. nЭтот случай (распределение числа циклов C n  в модели Эвенса)детально исследован в литературе (см. [4]), в то же времяпредставление(2.4)длядвумернойслучайнойвеличиныzi exp t1  t 2  ,iA i (2.5)CA n,CA n, принимающее в данном случае видFn t1 , t 2 ; A 1 n n! z 1  z n t2является новым результатом и для модели Эвенса.512.Если в модели (2.2) положить  2  0,1    0 , то получиммеру, сосредоточенную на подмножестве подстановок, имеющихлишь A -циклы, такие подстановки называются A - подстановками[16] и их изучению в рамках классической (равновероятной) моделипосвящена обширная литература (см.

[21,22] и библиографию в них).Предложенная здесь модель позволяет, таким образом, изучать инеравновероятные A -подстановки.Пусть S n  A обозначает подмножество A -подстановок в S n .Если на этом подмножестве задана параметрическая мераPA  s  I   iai  n  CA  n  , s  S n  A ,H nA    iA(2.6)zi H nA    n! z exp  , iA i (2.7)1где теперь nто производящая функция общего числа циклов C A n  такойслучайной A -подстановки имеет видFn t ; A  E t CA ( n ) H nA t ,H nA  (2.8)где H nA   дано в (2.7).Если здесь положить   1 , то получим равновероятную наS n  Aмодель:каждаяподстановкаs  S n  Aнаблюдаетсяс11 .вероятностью H nAЗамечание 2.

Случай 1  0, 2    0 соответствует симметричномуварианту – A -подстановкам.523.Отметим, что из представления (2.4) следует общая формуладля смешанных факториальных моментов случайных величин C A n  иC A n  :E C A n r1 C A n r2 r1 r2 r1 r2 Fn t1 , t 2 ; At1 t 2t t 11 1r1 2r2r1  r21r1  2r22H nA 1 , 2  / H nA  ,здесь и далее, напомним,a r  aa 1...a  r 1, r  1, a 0  1.Введя для краткости обозначение,zizi f  z   exp 1    2   ,iA i  iA iотсюда, в частности, получаем следующие представления для первыхдвух моментов: z n    z    f  z  z  f  z  ,i iE C Ann1iA zi E C A n    2 z    f  z  z n f  z  , iA i   nE C A22 zi n    z    f  z  z n f ( z )  E C A n , iA i 21 n2 (2.9) zi n    z    f  z  z n f ( z )  E C A n , iA i z i  z i n E C A n C A n   1 2 z      f  z  z n f  z . iA i  iA i E C A222 n   53Эти общие представления могут быть основой для вычислениямоментов рассматриваемых характеристик случайной подстановкипри различных конкретизациях подмножества A .Далее разберем ряд наиболее популярных в литературе классовA -подстановок в контексте изложенного подхода.2.2.d -инволюцииВ теории подстановок важное значение имеют решенияуравненияs d  e, s  S n ,(2.10)где d  натуральное число, а e  единичная подстановка, эти решениямы будем называть d -инволюциями.

Известно, что такие подстановкисостоят из циклов, длины которых являются делителями числа d .Таким образом, решения уравнения (2.10) образуют подмножество A подстановок S n  A при A  i : i| d , d  2 , i| d означает, что i делит d .Если d  2 , то решение уравнения (2.10) называется простоинволюцией. Инволюция содержит только циклы длин 1 и 2 и,следовательно, является A -подстановкой при A  1,2 .Будем считать, чтоd - простое число, тогда функцияH nA   (см.

(2.3)) для этого случая имеет вид H nA    n! z n 1  z 2 exp1   2 z  z d / d .(2.11)Разложим здесь экспоненту в ряд по степеням z и получим:54 1   2 r r  1   2  j dj exp1   2 z  z / d   z  z jr! r 0 j 0 d j!m  a m ,d 1   2 z ,d(2.12)m0гдеu m d 1 jam ,d u    j,j m / d d j! m  dj !и запишем явное представление для H nA   в виде комбинаторнойсуммы:am ,d 1   2  2 nm .n  m!m 0nH nA    n! (2.13)Производящая функция (2.8) числа циклов в такой случайнойA -подстановке имеет, следовательно, видa t Fn t ; A  n ,dan ,d  j n / dj n / d2.3.t n d 1 jd j j! n  jd ! n( d 1 ) j.(2.14)d j j! n  jd !Подстановки с кратными длинами цикловРассмотрим такуюA - подстановку, что длины всех её цикловкратны числу d  2 , то есть A  kd , k  1,2,....При таком задании множества A формула (2.3) принимает вид55H nA    n! z n 1  z  exp 1   2 21 z kd  d k 1 k     n! z n 1  z 2 exp  1 2 ln 1  z d d   n! z n 1  z 2 1  z d(2.15) 1  2  / d,что можно записать в виде следующей комбинаторной суммы:H nA    n!1   2  d k  2 nkdk n dk! n  kd !.(2.16)Отсюда можно получить явные формулы как для совместнойпроизводящей функции (2.4) пары C A n, C A n, где в данном случаеC A n  –число циклов кратныхd случайной подстановки, а C A n  –число остальных её циклов, так и для производящей функции (2.8)числа циклов случайной A -подстановки.

Характеристики

Список файлов диссертации