Диссертация (1137428)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Федеральное государственное автономное образовательноеучреждение высшего профессионального образованияНациональный исследовательский университет "Высшаяшкола экономики"На правах рукописиСолдаткина Мария ВасильевнаМногомерные параметрические модели случайных подстановок и ихвероятностно-статистический анализСпециальность 01.01.05-Теория вероятностей и математическаястатистика (физико-математические науки)Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук,профессор Ивченко Г.И.Москва - 20141ОглавлениеВведение ...............................................................................................................

4Глава 1Равновероятная модель случайных подстановок: обзоррезультатов........................................................................................................... 9§1. Введение .................................................................................................. 9§2. Отображения ......................................................................................... 10§3. Подстановки и их цикловая структура ............................................... 15§4. Случайные подстановки, распределение их цикловойструктуры .......................................................................................................

18§5. Некоторые вспомогательные результаты .......................................... 21§6. Число циклов случайной подстановки ............................................... 27§7. Циклы конечной длины ....................................................................... 30§8. Циклы большой длины ........................................................................ 32§9. Длина максимального цикла ............................................................... 37§10.Глава 2анализОбщая картина ................................................................................... 40d -параметрическая модель случайных подстановок и её42§1.

Модель и основные соотношения для неё ......................................... 421.1.Мера и производящие функции .................................................... 421.2.Моменты ......................................................................................... 441.3. Вектор чисел A j - циклов ................................................................. 451.4. Максимальные длины A j - циклов .................................................. 461.5.

Представление в виде условного распределения .......................... 471.6. Подстановки с рандомизированной степенью ............................... 48§2. Конкретизации d - параметрической модели .................................... 492.1.Двухпараметрическая модель ....................................................... 492.2.d -инволюции .................................................................................

542.3.Подстановки с кратными длинами циклов .................................. 552.4.Ar  -циклы ..................................................................................... 582§3. Асимптотическая нормальность чисел конгруэнтных циклов вd -параметрической модели случайных подстановок............................... 603.1.Конгруэнтные циклы подстановки............................................... 603.2.

Асимптотическая нормальность чисел конгруэнтныхциклов случайной подстановке (доказательство основногорезультата). ................................................................................................ 65Глава 3 . Статистика d - параметрической модели случайныхподстановок. ...................................................................................................... 69§1. Асимптотическое оценивание ...............................................................

69§2. Многовыборочный случай ..................................................................... 73§3. Критерий согласия .................................................................................. 75§4.Критерий однородности ..........................................................................

78§5 . Статистические задачи для случайных подстановок сцензурированными данными ....................................................................... 795.1. Случайные подстановки с цензурированными данными .............. 795.2. Оценивание параметров .................................................................... 825.3. Проверка гипотез ............................................................................... 845.4.

Большие выборки ............................................................................... 865.5. Гипотеза однородности ..................................................................... 89СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................ 923ВведениеПодстановки степени n , n  2 (далее используется термин « n подстановки»), то есть взаимно однозначные отображения конечногомножестваX n = 1,2,..., n в себя, представляют собой один изнаиболее интересных и популярных в математической литературеобъектов дискретной математики. Неослабевающий в течение многихлет интерес к ним со стороны многочисленных исследователейобусловлен как их разнообразными(можно даже сказать –неисчерпаемыми) и глубокими аналитическими свойствами, так ишироким применением их в различных областях научной ипрактической деятельности.

Литература, посвященная подстановкам,практически необозрима, и поток соответствующих публикаций неистощается.В последнее время все большую актуальность приобретаютпроблемы защиты информации, для решения которых во многихслучаяхвполнеадекватнымиоказываютсямоделислучайныхподстановок, когда на множестве S n всех n! n -подстановок вводитсята или иная вероятностная мера P , в соответствии с которой каждаяподстановка s  S n может наблюдаться с вероятностью P(s) . Таквозникает интереснейший объект вероятностной комбинаторики –случайные подстановки.

При этом для различных целей адекватнымиоказываются различные варианты задания меры P .Так, если речь идет о комбинаторных, или перечислительных,задачах, когда требуется определить число подстановок, обладающихнекоторым заданным свойством, то адекватной является равномернаямера: P s  1, s S n . Такая равновероятная модель, которуюn!4принято называть классической, в основном была (да и продолжаетоставаться) главным объектом интереса в этой области. Краткомуобзору основных известных результатов для этой модели посвященаглава 1 данной работы.В тоже время, внутренняя логика развития теории и запросысовременнойпрактикивыдвигаютнапереднийпланзадачиисследования и иных моделей случайных подстановок, учитывающихразличного рода отклонения от равновероятности. Так, в частности,важнейшая статистическая проблема проверки адекватности, скажем,той же равновероятной модели, требует рассмотрения различногорода альтернатив и изучения поведения тестовых характеристикподстановки при различных отклонениях меры P от равномерности.Общийподходдляконструированияиисследованиянеравновероятных моделей случайных n -подстановок был предложенв работах Г.И.Ивченко и Ю.И.Медведева [7,8].

Ими была введенаследующая n - параметрическая модель: если cn  c1 , c2 ,..., cn  естьцикловая структура подстановки s  S n (подстановка s имеет ciциклов длины i , i  1,..., n ), то она наблюдается с вероятностью,пропорциональнойii c ,iгде  = (1 ,, n ),    0 - параметр мерыP : n dP ( s) = I  ici = n   ici H n ( ) , i =1 j =1(В.1)Здесь и далее I () – индикатор события A : I ( A)  1, если Aимеет место и 0 в противном случае, и H n ( ) – необходимыйнормирующий множитель, называемый статистической суммоймодели и имеющий вид5(В.2) n zi H n ( ) = n![ z n ]exp  i  i =1 i Здесь и далее мы будем использовать следующее обозначение:если функция f(z) имеет представление в виде степенного ряда:f  z    an z nn 0с некоторым положительным радиусом сходимости, то для ее коэффициентов a n будем писать an  z n f  z .Далее,дляпроизводящейфункциицикловойструктурыcn  c1 , c2 ,..., cn  случайной подстановки в модели (В.1)nF n t   E  t ici , t  t1 , t2 ,..., tn ,i 1имеет место представлениеF n t   H n t    / H n  ,(В.3)где t   t11 , t2 2 ,..., tn n Как отмечается в [8], соотношение (В.3) «может быть основойдля изучения различных структурных свойств подстановок в рамкахобщей модели».

В [8] также приводится ряд конкретных примеровприменениятакогообщегоподходакизучениюслучайныхподстановок, но при этом отмечается, что «более детальноеисследование случайных подстановок в общей модели ждёт своеговремени».Всветесказанного,представляетсяестественнымдляпродвижения в этой тематике рассмотреть различные конкретизацииобщей модели (В.1) при тех или иных ограничениях на числостепенейсвободымерыPθ(скажем,ограничившисьлишьконечномерными моделями при небольших значениях числа d6свободных параметров   ), и при этом, как обычно, акцентироватьвнимание на изучении основных характеристик подстановки типачисел циклов конечной длины, общего числа циклов, длинмаксимальных циклов и т.д.Такой характер и имеет настоящая работа. Мы рассматриваем d мерную ( d  2 ) параметрическую модель, определяемую некоторымразбиением множества X n = 1,2,..., n(В.4)dX n = A j , Ai A j = , i  j ,j =1изависящуюотсвободного = (1 ,, d ) ,    0 ,параметраследующим образом: будем называть A j - циклами подстановкиs  Snтееёциклы,длиныкоторыхявляютсяэлементамиподмножества A j , а общее число A j -циклов n -подстановки sобозначатьC A (n) = C A (n, s)   сij , j  1,..., d ;jjгдесимволомiAjсijобозначено число A j -циклов длины i в подстановке s ; тогдавероятностьнаблюденияпропорциональна величинеdпроизвольнойcA j n jn -подстановки.j =1Такоесужениеобщеймодели(В.1)делаетеёболееконструктивной и поддающейся анализу, и, в то же время, оставляетмодели достаточное число степеней свободы, чтобы охватить большеечисло различных, представляющих практический интерес, вариантовпостановок конкретных вероятностных и статистических задач длянеравновероятных подстановок.Вероятностному анализу (точному и асимптотическому приn )такойd -параметрическоймоделииразличныхеёконкретизаций посвящена вторая глава работы.

В третьей главе7полученные результаты применяются для решения статистическихзадач оценивания неизвестных параметров и проверки гипотез врамках этой модели.8Глава 1 Равновероятная модель случайныхподстановок: обзор результатов§1. ВведениеТеория случайных и равновероятных подстановок, когда каждаяn-подстановка из симметрической группыSnнаблюдается свероятностью n!  1 , берёт своё начало с классической работы В.Л.Гончарова 1944г. «Из области комбинаторики» [1]. В этой работе спомощьювероятностногоподходапроведенообстоятельноеисследование структуры n-подстановок, включая их асимптотическийанализ, когда степень подстановок n принимает большие значения(приn   ).С тех пор равновероятная модель случайныхподстановок продолжает оставаться наиболее популярным объектомвероятностной комбинаторики. Их современная теория настолькомногопланова, и посвящённая им литература настолько обширна, чтои то и другое практически необозримы.

Случайным (равновероятным)подстановкам уделено значительное внимание в монографиях [1-3,1417], где подробно изложена как соответствующая теория, так иистория её развития (с библиографическими комментариями в [2,3]).Интерескисследованиюкакчистокомбинаторных,такивероятностных свойств подстановок не ослабевает, о чём говоритбольшое число последних публикаций по теме, поток которых неистощается.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации