Автореферат (1137427)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиСолдаткина Мария ВасильевнаМНОГОМЕРНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХПОДСТАНОВОК И ИХ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗСпециальность 01.01.05 Теория вероятностей и математическая статистика(физико-математические науки)АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2014Работа выполнена в федеральном государственном автономномобразовательном учреждении высшего профессионального образования«Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»Научный руководительИвченко Григорий Ивановичдоктор физико-математических наук,профессорОфициальные оппонентыЧистяков Владимир Павлович,доктор физико-математических наук,профессор, Математический институт им. В.А.Стеклова, ведущий научный сотрудникРонжин Александр Федорович,доктор физико-математических наук,профессор, Вычислительный центр им. А.А.Дородницына, главный научный сотрудникВедущая организацияФедеральное государственное бюджетноеучреждение науки «Институт проблеминформатики» Российской академии наукЗащита состоится 26 июня 2014 года в 16-00 на заседании диссертационногосовета Д 212.048.17, созданного на базе федерального государственногоавтономного образовательного учреждения высшего профессиональногообразования «Национальный исследовательский университет «Высшая школаэкономики», по адресу: 109028, Москва, Б.

Трехсвятительский пер., д.3, залзаседаний ученого совета (к.217).С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национальногоисследовательского университета «Высшая школа экономики» по адресу:101000, Москва, ул. Мясницкая, д.20, и на сайте http://www.hse.ru/sci/diss/.Автореферат разослан ______________________________Ученый секретарь диссертационногоШнурковсовета, к.ф.-м.н., доцент___________________ Петр Викторович 2 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темыПредметом исследований в данной работе являются многомерныепараметрическиемоделислучайныхподстановокиихвероятностно-статистический анализ. Подстановки степени n , n  2 (далее используетсятермин « n -подстановки»), то есть взаимно однозначные отображенияконечного множества X n = 1,2,..., n в себя, представляют собой один изнаиболее интересных и популярных в математической литературе объектовдискретной математики.

Неослабевающий в течение многих лет интерес к нимсостороныразнообразнымимногочисленныхисследователейобусловленкакихи глубокими аналитическими свойствами, так и широкимприменением их в различных областях научной и практической деятельности.Литература, посвященная подстановкам, практически необозрима, и потоксоответствующих публикаций не истощается.В последнее время все большую актуальность приобретают проблемызащиты информации, для решения которых во многих случаях вполнеадекватными оказываются модели случайных подстановок, когда на множествеS n всех n! n -подстановок вводится та или иная вероятностная мера P , всоответствии с которой каждая подстановка s  S n может наблюдаться свероятностью P(s) .

Так возникает интереснейший объект вероятностнойкомбинаторики – случайные подстановки. При этом для различных целейадекватными оказываются различные варианты задания меры P .Так, если речь идет о комбинаторных, или перечислительных, задачах,когда требуется определить число подстановок, обладающих некоторымзаданным свойством, то адекватной является равномерная мера: P s   3 1,n!s  S n .Такаяравновероятнаямодель,которуюпринятоназыватьклассической, в основном и была главным объектом интереса в этой области.В тоже время, внутренняя логика развития теории и запросы современнойпрактики выдвигают на передний план задачи исследования и иных моделейслучайных подстановок, учитывающих различного рода отклонения отравновероятности.

Так, в частности, важнейшая статистическая проблемапроверки адекватности, скажем, той же равновероятной модели, требуетрассмотрения различного рода альтернатив и исследования поведенияразличных характеристик подстановки при тех или иных отклонениях меры Pот равномерности. Общий подход для конструирования и исследованиянеравновероятных моделей случайных n -подстановок был предложен вработах Г.И.Ивченко и Ю.И.Медведева 1,2 . Ими была введена следующаяпараметрическая модель: если cn   c1 , c2 ,..., cn  есть цикловая структураподстановки s  S n (подстановка s имеет ci циклов длины i , i  1,..., n ), то онанаблюдаетсясвероятностью,пропорциональнойi  i ci,где = (1 ,, n ),    0 , – параметр меры P :nnP ( s ) = I  ici = n   ici H n ( ) , i =1 i=1(1)Здесь и далее I () – индикатор события A : I ( A)  1 , если A имеет место и0 в противном случае, и H n ( ) – необходимый нормирующий множитель,называемый статистической суммой модели: n zi H n ( ) = n![ z ]exp   i i =1 i n(здесь и далее [ z n ] f ( z ) = coe fzn(2)f ( z ) ). 1 Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Случайные комбинаторные объекты. Доклады РАН. 2006. т. 396. № 2. C. 151‐154. 2 Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Случайные подстановки: общая параметрическая модель. Дискретная математика. 2006. т.18. №4. C.105‐112. 4 Далее, для производящей функции цикловой структуры cn   c1 , c2 ,..., cn случайной подстановки в модели (1)ncF n  t   E   t i , t  t1 , t 2 ,..., t n  ,ii 1имеет место представлениеF n t   H n t   / H n  ,(3)где t    t11 , t 2 2 ,..., t n n  .В свете сказанного, представляется естественным для продвижения в этойтематике рассмотреть различные конкретизации общей модели (1) при тех илииных ограничениях на число степеней свободы меры P , и при этом, какобычно, акцентировать внимание на изучении основных характеристикподстановки типа чисел циклов заданных длин, общего числа циклов, длинмаксимальных циклов и т.д.Спецификарассматриваемыхвдиссертационнойработемоделейслучайных подстановок в сравнении с известными в литературе состоит вследующем.

Рассматривается d -мерная ( d  2 ) параметрическая модель,определяемая некоторым разбиением множества X n = 1,2,..., n :dX n =  A j , Ai A j = , i  j ,j =1и зависящая от свободного параметра  = (1 ,, d ) ,    0 , следующимобразом. Будем называть A j -циклами подстановки s  S n те её циклы, длиныкоторых являются элементами подмножества A j , а общее число A j -цикловподстановки s обозначать C A (n) = C A (n,s )   сij , j  1,...,d , где символом сijjjiA jобозначено число A j -циклов длины i в подстановке s (если подмножества A jимеют вид 5 A j = {k : k = ld  j , l  0}для некоторых целых d  2 и 1  j  d , то говорят о конгруэнтных циклах);тогда вероятность наблюдения произвольной n -подстановки пропорциональнавеличинеdcAj n j.j =1Такое сужение общей модели (1) делает её более конструктивной иподдающейся детальному анализу, и, в то же время, оставляет моделидостаточное число степеней свободы, чтобы охватить большее числоразличных, представляющих практический интерес, вариантов постановокконкретных вероятностных и статистических задач для неравновероятныхподстановок.Вероятностная мераPA  s  ,s  S n , для произвольного разбиенияA   A1 , A2 ,..., Ad  принимает вид: d СA j n dPA ( s ) = I   icij = n   jH nA ( ) , j =1 j =1iAj(4)H nA ( ) = n![ z n ]exph z ;  ,(5)гдеdh  z,    j j =1ВрамкахтакойiA jzi,    1 ,...,d  .iмоделиможнорассматриватьболеедетальноструктуризацию цикловой последовательности cn   c1 , c2 ,..., cn  подстановки,именно, записывать её в виде cn   cij ,i  A j ,j  1,...,d  .Предложенная модель обобщает в различных направлениях изучавшиесяранее модели, включая их в себя в качестве частных случаев. 6 Цель работыЦельюдиссертацииявляетсяисследованиевероятностныхистатистических свойств случайных подстановок в d -параметрической модели.При этом внимание акцентируется на изучении модели с конгруэнтнымициклами, в рамках которой решаются задачи оценивания неизвестныхпараметров модели и проверки соответствующих статистических гипотез обэтих параметрах, в том числе и по неполным (цензурированным) данным.Научная новизнаОсновные результаты диссертации являются новыми и состоят вследующем.1.

Доказана асимптотическая (приC(n) = (C A (n),, C A (n))1dподстановки,чиселn  )нормальность вектораконгруэнтныхцикловслучайнойчто является многомерным обобщением свойстваасимптотической нормальности числа циклов случайной подстановки(с логарифмическим порядком роста этого числа) на достаточноширокий класс неравновероятных моделей.2. Построен новый статистический критерий проверки гипотезы оравновероятности подстановок, и исследовано асимптотическоеповедение его мощности при «близких» альтернативах.3. Построеныасимптотическинесмещённыеиасимптотическиэффективные оценки для параметра модели  = (1 , ,  d ) и функцийот него, а также рассчитаны соответствующие асимптотическиедоверительные интервалы.4. В предположении, что в наблюдаемой подстановке s  S n длякаждогоj = 1,  , dдоступно подсчёту лишь числа A j -циклов сдлинами, не превосходящими заданного уровня, решены задачиточечного и доверительного оценивания по таким неполным данным 7 параметровjрассматриваемоймоделиипроверкисоответствующих статистических гипотез о них.Методы исследованияВ диссертационной работе используются методы теории вероятностей (вчастности, метод моментов, метод производящих и характеристическихфункций), методы асимптотического анализа (в частности, метод перевала),асимптотические методы статистического оценивания неизвестных параметрови проверки статистических гипотез о них.Теоретическая и практическая ценностьРезультаты и методы диссертации вносят существенный вклад всовременную теорию случайных подстановок и могут быть полезными как стеоретической, так и с практической точек зрения, специалистам в областизащиты информации и криптографии.Апробация работыРезультаты работы докладывались на следующих конференциях:1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации