Автореферат (1137427), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодыхспециалистов МИЭМ, Москва, 17 февраля−2 марта, 2011;2. XII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленнойматематике (осенняя открытая сессия), Сочи, 1−8 октября, 2011;3. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодыхспециалистов МИЭМ, посвященная 50-летию МИЭМ, Москва, 17февраля−2 марта, 2012;4.

VIII Международная Петрозаводская конференция "Вероятностныеметоды в дискретной математике", XIII Всероссийский симпозиумпо прикладной и промышленной математике (летняя сессия),Петрозаводск, 2−9 июня, 2012; 8 5. XIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленнойматематике (осенняя открытая сессия), Сочи, 1−8 октября, 2012;6. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодыхспециалистов МИЭМ, Москва, 19 февраля−1 марта, 2013;ПубликацииПо теме диссертации опубликованочетыре работы в журналах,входящих в утверждённый ВАК перечень ведущих рецензируемых научныхизданий, в которых должны быть опубликованы результаты кандидатскихдиссертаций.

Список публикаций приведён в конце настоящего реферата.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы,содержащего 23 наименования. Объём диссертации 94 стр.Краткое содержание работыСодержание введенияВо введении обосновывается актуальность темы исследования и даетсякраткий обзор примыкающих к ней известных результатов.Содержание главы 1Приводится подробный обзор имеющихся в литературе результатов дляравновероятной модели случайных подстановок 3 .В § 1−3 рассказывается о важнейшем объекте дискретной математики –подстановке и ее цикловой структуре.В § 4 на множестве всех n -подстановок вводится равновероятная мера ирассматривается распределение цикловой структуры случайной подстановки. 3 Гончаров В.Л. Из области комбинаторики. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1944. т.8. №1. C. 3‐48. 9 В §§ 5−10 приводятся свойства и распределения основных характеристикцикловой структуры равновероятной подстановки.Содержание главы 2В § 1рассматривается d -мерная ( d  2 ) параметрическая модель иустанавливаются основные соотношения для неё.Вводится соответствующая производящая функция в модели (4)−(5).F n t ; A  H nA t   / H nA  ,(6)dzi H nA t    n! z exp j iA tij  j i j 1dzin n! z exp j iA tij 1  h z ;  ,j i j 1(7)где теперь n и h  z ;   определено в (5).Рассматривается такая характеристика случайной подстановки в модели (4)−(5)как вектор чисел её A j -циклов (в дальнейшем будем его называть A структурой подстановки):C A n   C A1 n ,..., C Ad n  .(8)Его производящая функция имеет видdFn t   E  t j C A j  n   H nA t    H nA   ,j 1где dziH nA t     n! z exp  j t j  1  h z ;  . j 1iA j i n 10 (9)В §2 проведен анализ различных конкретизацийd -параметрическоймодели.

Именно, рассмотрена двухпараметрическая модель, когда множествои A  X n \ A . Циклы подстановки s ,X n состоит из двух подмножеств: Aдлины которых являются элементами подмножестваA)подмножестваявляютсяВеличины C A n  ( C A n  )A -цикламиA (соответственно,(соответственно,A -циклами).обозначают общее число A -циклов ( A -циклов)подстановки s :C A n    ci , C A n    ci .(10)iAiAНа множестве S n вводится вероятностная мера, приписывающая каждойподстановкеs S n  1 , 2 , 1 , 2  0,вес,C n 1C A  n  2 Aпропорциональныйпараметрмеры.Этамерапредставляет,гдесобойспециальный случай общей меры (4) и имеет видC n 1CA  n  2 A nPA  s   I   ici  n ,H i1nA(11)гдеzi H nA (  )  n! z n 1  z 2 exp 1   2  iA i  (12)zi  n! z n 1  z 1 exp  2  1  .iA i  Далее, для производящей функции парыC A n, C A n имеет месторавенствоFn  t1 ,t2 ; A  E t1CA  nt2CA  nH nA  t11 ,t22 , H nA   (13)с использованием которого получены точные распределения характеристикиC A ( n ), C A ( n ) случайнойподстановки 11 врассматриваемой(двухпараметрической)моделидляразличныхвариантовзаданийподмножества A  X n .Предложеннаямодельпозволяет,вчастности,изучатьинеравновероятные A -подстановки, так как при 2  0, 1    0 , получаеммеру, сосредоточенную на подмножестве подстановок, имеющих лишь A циклы.Рассматривается такая A -подстановка, что длины всех её циклов кратнычислу d  2 , то есть A  kd , k  1,2,....

Получены явные формулы как длясовместной производящей функции пары C A n , C A n , где в данном случаеC A n  –число циклов, кратныхd , в случайной подстановке, а C A  n  –числоостальных её циклов, так и для производящей функции общего числа цикловслучайной A -подстановки.

В последнем случае (при  2  0,1    0 ) формула(12) принимает вид:H nA   n! / d n / d ,n / d !(14)если n кратно d , и H nA    0 в противном случае.Для частного случая, когда d  2 ,подстановкидля общего числа циклов случайнойполучено разложение на сумму независимых бернуллиевскихслагаемых.В рамках данной модели также изучаются A -подстановки, где множествоA образуют решения уравненияs d  e, s  S n ,где d  натуральное число, а e  единичная подстановка, эти решенияназываются d -инволюциями: A  i : i| d , d  2 , i| d означает, что i делит d .Производящая функция числа циклов в такой случайной A -подстановкеимеет вид 12 Fn t ; A t n d 1 jan ,d t j n / dan ,d  d j j! n  jd ! n( d 1 ) jj n / d(15). d j j! n  jd !Для случая, когда длины циклов ограничены некоторым числом (подмножествоA имеет вид A r   i : i  r, r  2 ) формула (12) принимает вид H nA r     n! z 1  z n 2  n! z 1  z nРассмотренныепримерыrzi exp 1   2   i 1 i 1z exp  2  1  .i r i iдемонстрируют(16) какдостаточнуюуниверсальность предложенной методики, так и присущие ей сложности:точные решения в обсуждаемой проблематике имеют форму громоздкихкомбинаторных выражений, из которых проблематично извлечь конкретнуюинформацию (хотя бы, например, вычислить средние и дисперсии величинC A n  и C A n  ).Поэтому дальнейшее продвижение в этой тематике можно осуществитьлишь на пути асимптотического анализа, предполагая, что степень подстановкистремится к бесконечности, как это обычно делается в теории случайныхподстановок в классической (равновероятной) модели.Этот подход применяется в §3 при исследовании числа конгруэнтныхциклов в подстановке, т.е.

когда подмножества A j имеют видA j = {k : k = ld  j , l  0}для некоторых целых d  2 и 1  j  d , где устанавливается следующийключевой результат.Теорема 7. Если n   , а параметры  1 ,  ,  d фиксированы, токомпоненты вектора (8) асимптотически независимы и асимптотически 13 j jнормальны с параметрами соответственно  ln n , ln n  , j = 1 ,  , d , приddэтом параметры нормальных распределений являются асимптотическимизначениями соответствующих средних и дисперсий компонент A -структуры,и эта асимптотика равномерна по  = (1 ,, d ) в любой конечной областиизменения параметра.Этот результат позволяет решить и соответствующие статистическиезадачи оценивания параметров и проверки гипотез в рамках рассматриваемоймодели.Содержание главы 3В § 1полученные в главе 2 результаты применяются дляасимтотического оценивания параметров модели.Вводятся нормированные статистикиdC A~jCA =, j = 1,, d ,jln nи для них доказываются следующие утверждения.~~Теорема 8.

Если n   , то статистика C A (статистика  j (C A ( n)) )jjявляется асимптотически несмещённой и асимптотически эффективнойоценкой для параметра  j (для гладкой параметрической функции  j ( j ) ), ипараметры 1 ,…,  d оцениваются независимо друг от друга.Теорема9.Асимптотический  доверительныйпараметра  j имеет вид~~ C A ( n )  z dC A /ln n  ,j j 14 интервалдлягде z определяется уравнением  ( z ) =1 , и  (z ) − стандартная2нормальная функция распределения.Аналогичное утверждение имеет место и для параметрических функций j ( j ) .В §2 рассматривается многовыборочный случай, когда наблюдаетсяN  2 независимых подстановок при одном и том же (но неизвестном)(i )(i )(i )значении параметра  = (1 , d ) , и C A(i ) (n) = (C A (n), C A (n),C A (n)) есть1реализация A -структуры2для i -й подстановки,C(n) = (C A (n),, C A (n))1ddi = 1,  , N .Получена асимптотически несмещённая оценка для  j с асимптотической~дисперсией, в N раз меньшей, чем у оценки C A (n) в одновыборочном случае: j~T j ( N , n) = dT j ( N , n)/ln n , 1 N (i )где T ( N , n) = C A (n) = (T1 ( N , n),, Td ( N , n)).N j =1Такимобразом,притакомобъединенииинформацииточностьоценивания возрастает.

Характеристики

Список файлов диссертации