Диссертация (1137317), страница 8
Текст из файла (страница 8)
5Напомним, что факторизация детского рисунка по группе автоморфизмов является детским рисунком (см. утверждение 2.5) и мы называемтакой детский рисунок факторрисунком.За процессом факторизации детского рисунка по группе автоморфизмов удобно следить посредством слейки многоугольника. При факторизации по группе автоморфизмов второго порядка происходит склеивание противоположных сторон двенадцатиугольника.
При этом, каждоеT3ребро «ломается в середине» (потому что стороны мы считаем ориентированными) и его половинки склеиваются в одно ребро. Например, нижеизображен факторрисунок детского рисунка L1.1 :AAB1BB2AAB3B3B2AAрис. 6Это двукрашенный детский рисунок на кривой рода 1. Отметим, чтоэто и есть детский рисунок T1 .Далее, заметим, что существует алгебраическое накрытиеgp1.1 : Xi.j → Xi.j(7)степени 2, разветвленное над четырьмя точками. Здесь Xi.j — криваяgрисунка Li.j и Xi.j — кривая детского рисунка Ti рода 1.На рисунке 6 A, B, B1 и центр грани шестиугольника C — это точкиветвления накрытия p1.1 . Аналогично строятся факторрисунки (совпадающие с T1 , T2 , T3 ) остальных девяти детских рисунков Li.j , см.
теорему2.9, с группой автоморфизмов второго порядка.Таким образом, десять детских рисунков Li.j естественным образомделятся на три группы (в одну группу попадают детские рисунки с одинаковым фактором). Результаты сгруппированы в три пункта теоремы:Теорема 2.20. 1. Пара Белого детского рисунка L1.1 это функция Белого1 4 5 3 3 21 6 3 5 9 4z − z + zf =− z + z − z +1+y848884на кривой, являющейся прообразом кривой:y 2 = (z + 1)(z 3 − 3z 2 − 4)при разветвленном накрытии степени 2w2 = z − 3.Пары Белого детских рисунков L1.2 , L1.3 , L1.4 это выраженная той жеформулой функция Белого на на кривой, являющейся прообразом кривойy 2 = (z + 1)(z 3 − 3z 2 − 4)при разветвленном накрытии степени 2w2 = ui , i = 2, 3, 4; u2,3,4 = (z − 3)(z + 1)(z − α), где α3 − 3α2 − 4 = 0.2.
Пары Белого детских рисунков L2.1 , L2.2 , L2.3 , L2.4 это функция Белого135 6 81 5 135 4 9 439f = −1 −z + z −z − z y − z2y + z3y848848на кривой, являющейся прообразом кривойy 2 = 225z 4 − 90z 3 + 69z 2 + 108z + 60,при разветвленном накрытии степени 2w2 = (±y +15 2 915z − z + )(z − α),424где 5α2 − 6α + 5 = 0.3. Пары Белого детских рисунков L3.1 и L3.2 это парыфункция f = z 3на кривой, являющейся прообразом кривойzy 2 = (z 2 + z + 1),3при разветвленном накрытии степени 2w2 = (y + z)(z − 1); ифункция f = z 3на кривой, являющейся прообразом кривойy 2 = −z(z 2 + z + 1),при разветвленном накрытии степени 2w2 = (y + z)(z − 1).Оставшаяся часть этой главы посвящена доказательству теоремы.Мы вычислим пары Белого детских рисунков T1 , T2 и T3 и восстановим пары Белого детских рисунков Li.j .Утверждение 2.21. Существует отображение кривой рода 1 на кри4t1вую рода 0, являющееся композицией p2 ◦ h ◦ g, где h(t) = (t+1)2 , g(t) = t ,и p2 — это двулистное накрытие, разветвленное в четырех точках.Доказательство.Отображение кривых g соответствует переходу к объединению детского рисунка с двойственным к нему.
В частности, для T1 полученныйдетский рисунок изображен на рисунке 7.B2AACB3B3B1BB2AAрис. 7 (Tb1 )Отображение h соответствует переходу к двойственному детскому рисунку ST1 , так как нули Tb1 переходят в точки бесконечность ST1 и наоборот.Заметим, что его группа автоморфизмов равна Z2 , следовательно,можно рассмотреть факторрисунок:D3D2B2D4BD5D1рис. 8Отображение факторизации – это двулистное накрытие, разветвленное в точках D1 , D2 , D3 и D5 , это и есть p2 .IСледствие 2.22.
Функция Белого fi детского рисунка Ti есть композиция h ◦ g ◦ fsi , где fsi — это функция Белого детского рисунка STi .Замечание 2.23. Формула для функции Белого fi.j детского рисункаLi.j во всех девяти случаях совпадает с формулой для fi .Перейдем к вычислению пар Белого полученных детских рисунков.Вычисление пар Белого детских рисунков с факторрисункомT1 .Определение 2.24. Многочлен с не более чем двумя критическими значениями называется многочленом Шабата или обобщенным многочленом Чебышева.В том случае, когда гиперкарта оказывается деревом, функция Белого соответствующего детского рисунка является обобщенным многочленом Чебышева.
Более того:Теорема 2.25 ([12]). Существует биекция между множеством комбинаторных двукрашенных плоских деревьев и множеством классов эквивалентности обобщенных многочленов Чебышева.Утверждение 2.26. z 4 (z − 3)2 — обобщенный многочлен Чебышева дерева на рисунке 8.Утверждение 2.27. Пара Белого детского рисунка ST1 — это функцияБелого1fs1 = 1 − z 4 (z − 3)2162432на кривой y = z − 2z − 3z − 4z − 4.Формулы совпадают с результатами в [23].Доказательство.Формула для функции Белого сразу получается из условия на критические значения функции Белого.
Далее, z 4 (z − 3)2 − 16 = (z − 2)2 P4 (z),где значение 2 как раз соответствует вершине D4 валентности 2. ОтсюдаP4 (z) = z 4 − 2z 3 − 3z 2 − 4z − 4 = y 2IУтверждение 2.28.139f1 = − z 6 + z 5 − z 4 + 1 + y8481 4 5 3 3 2z − z + z884Доказательство.Обозначим за fTb1 функцию Белого детского рисунка Tb1 (см. рис.
7),11тогда из (7) и утверждения 2.21 получаем, что fTb1 = (f14f+1)2 = f .s1Таким образом, получаем уравнение на f1 :(f1 + 1)2 = 4f1 fs1 .Решая его относительно f1 , получаем функцию:1 6 3 5 9 41 4 5 3 3 2f1 = − z + z − z + 1 + yz − z + z848884IДалее, рассмотрим накрытие p1.1 (см. (7)) в случае детского рисункаP1.1 , оно имеет вид (z, w) → z; w2 7→ u.
Дивизор функции f равен(u) = A + C + B + B1 + 2D.(8)Функция u определена с точностью до умножения на квадрат, а deg(D) =−2. Дивизор D может быть представлен в виде(D) = −2A − 2C + T + X,(9)где y(T ) = 0, z(T ) = −1, а X — некоторая точка. Заметим, что точкиветвления A и C находятся в бесконечности, а B и B2 в z = 3.Утверждение 2.29. Либо w2 = u1 = z − 3, либоw2 = ui = (z − 3)(z + 1)(z − α), гдеα3 − 3α2 − 4 = 0, i = 2, 3, 4.Доказательство.Используя (8) и (9), можем представить дивизор функции u в виде(u) = −3A − 3C + B1 + B2 + 2T + 2X. Далее, (z − 3) =Cи B + B1 − A − f=(z + 1) = 2T − A − C, следовательно можем записать:(z − 3)(z + 1)−A − C + 2X. Но такие функции есть просто z − zj , где zj кореньуравнения z 4 − 2z 3 − 3z 2 − 4z − 4 = 0. Получаем либо u1 = z − 3, либоu2,3,4 = (z − 3)(z + 1)(z − α), где α3 − 3α2 − 4 = 0.IОпределение 2.30.
Универсальной группой вращений ребер ER назовем свободную группу Z ∗ Z с двумя образующими a и b.Определим действие универсальной группы вращений ребер на множестве ребер E(D) детского рисунка D следующим образом: ∀ e ∈ E(D) a(e)— это следующее ребро при повороте против часовой стрелки вокругбелой вершины, b(e) — при повороте вокруг черной вершины соответственно. Таким образом задан гомоморфизм πD : ER → Aut(E(D)), гдеAut(E(D)) — множество всех перестановок ребер детского рисунка D.Группа перестановок πD (ER) ребер детского рисунка D называетсягруппой вращений ребер детского рисунка D и обозначается ER(D).Получены четыре кривые рода 3, которые соответствуют четыремдетским рисункам L1.1 , L1.2 , L1.3 , L1.4 . Заметим, что у детских рисунковL1.2 , L1.3 , L1.4 одинаковый порядок группы вращений ребер, равный 1152,и следовательно (см.
[1]), они лежат в одной орбите действия группыГалуа Gal(Q/Q) и им соответствуют решения u2,3,4 . Таким образом, доказан первый пункт теоремы 2.20.Вычисление пар Белого детских рисунков с факторрисункомT2 .Далее, рассмотрим детские рисунки L2.1 , L2.2 , L2.3 , L2.4 и их факторрисунок T2 .Отображение факторизации с факторрисунком T2 также можно понимать как алгебраическое накрытие p2.1 степени 2 : (z, w) → z; w2 7→ u,разветвленное в точках A, C, B1 , B2 , где C это бесконечно удаленнаяточка.Применив (7) и утверждение 2.21, получим детский рисунок ST2B4D3D2B3B3B1B2B2B4B4D2D3рис.
9 (ST2 )и после факторизации по автоморфизму второго порядка, детскийрисунок рода 0B3B1D3D2B2рис. 10Это отображение факторизации можно понимать как алгебраическоенакрытие степени 2, разветвленное в точках B1 , B2 , D2 , D3 . Несложныевычисления доставляют обобщенный многочлен Чебышева полученногодерева: P (z) = z 4 (z − (a + i))(z − (a − i)) = z 4 ((z − a)2 + 1). Коэффициентымногочлена должны быть рациональны и единственное a, удовлетворяющее такому условию — это a = ± 34 .Утверждение 2.31. Пара Белого детского рисунка ST2 это функцияfs2 = −27 4 2z (5z − 6z + 5)16на кривойy 2 = 225z 4 − 90z 3 + 69z 2 + 108z + 60.Доказательство.Формула для функции Белого сразу получается из условия на критические значения функции Белого.fs2 − 1 = −1(15z 2 + 12z + 4)(3z 2 − 3z + 2)2 ⇒16y 2 = 3(5z 2 − 6z + 5)(15z 2 + 12z + 4).IАналогично предыдущему случаю, получаем уравнение на функциюБелого f2 детского рисунка T2 : f22 + 2f2 (1 − 2fs2 ) + 1.
Решением уравнения является функцияf2 = −1 −135 6 81 5 135 4 9 439z + z −z − z y − z 2 y + z 3 y.848848Как уже отмечалось, накрытие p2.1 имеет вид w2 = u, где функция uопределена с точностью до умножения на квадрат. Дивизор функции uравен (u) = A + C + B1 + B2 + 2D, где deg(D) = −2, причем дивизор Dможно представить в виде (D) = −2A − 2C + B1 + X.Введем функцию g, такую, что дивизор (g) удовлетворяет условию(u) = (z − z(B1 ))(g). Тогда g = y + kQ(z), где Q(z) = (z − z(B1 ))(z −z(B2 )). Найдем k из условия равенства нулю дискриминанта уравнения(y + kQ(z))(−y + kQ(z)) = 0.3k=± .4Соответственно, g1 = y + 15z 2 − 29 z + 15, g2 = y − 15z 2 + 92 − 15.
Таким4444образом получается 4 варианта для функции u : u1,2,3,4 = g1,2 α1,2 , гдеα1,2 корни уравнения 5x2 − 6x + 5 = 0, что доказывает пункт 2 теоремы2.20.Вычисление пар Белого детских рисунков с факторрисункомT3 .Перейдем к детским рисункам L3.1 , L3.2 и их факторрисунку T3 .Заметим, что сам T3 обладает Z2 -симметрией, и следовательно, по темже причинам что и в предыдущих случаях, можем рассмотреть факторизацию по группе автоморфизмов Z/2Z. Это алгебраическое накрытиестепени 2, разветвленное в точках A, B1 , B2 и в точке C (центр граниквадрата, см. рис. 5).
Факторрисунком является «еж» с тремя ребрами.Его обобщенным многочленом Чебышева является многочлен P (z) = z 3 .Как уже отмечалось, алгебраическое накрытие степени 2, разветвленное в точках A, C, B1 и B2 (см. рис. 5), при котором L3.1 (либо L3.2 )накрывает T3 , имеет вид (z, w) → z; w2 7→ u, где дивизор функции uравен (u) = A + C + B1 + B2 + 2D. Кратности точек A, C, B1 , B2 равны 1, deg(D) = −2. Можно считать, что D = X − 3C, тогда (u) =A + B1 + B2 + 2X − 5C. Из топологических соображений видно, что(z − 1) = B1 + B2 − 2C.u.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
