Диссертация (1137317), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Тогда (g) = A + 2X − 3C. Исходя из общейВведем функцию g = z−1теории можно записать g в виде: g = y + P (z), где deg(P ) = 1. То естьg = y + kz + l. Значение g в точке A равно 0, но и z(A) = y(A) = 0,следовательно l = 0. Найдем k; для этого потребуем равенства нулюдискриминанта уравнения (y + kz)(−y + kz) = 0. Вычисляяполучаем,√что либо k = ±3, либо k = ±i. Таким образом, g1 = y + z 3, g2 = y + iz.И получились следующие кривые рода 3:√w2 = (y+z 3)(z−1), y 2 = z(z 2 +z+1) и w2 = (y+iz)(z−1), y 2 = z(z 2 +z+1).√Заметим, что если в первой кривой сделать замену y = Y 3, w = w,а во второй y = iY, w = w, то получится в точности формулировкатретьего пункта теоремы 2.20.2.3Накрытия с четырьмя точками ветвленияПерейдем к рассмотрению стратов размерности 1 в пространствах рациональных функций.
Они состоят из функций с четырьмя критическимизначениями. Разными авторами [29], [47] было замечено, что на всякойнеприводимой компоненте такого страта естественным образом строитсяпара Белого. Как показано в [27], любая пара Белого реализуется такимобразом.В настоящем разделе мы приводим результаты вычислений детскихрисунков, отвечающим стратам размерности 1 в пространствах рациональных функций степеней меньших 6 на кривых родов 0, 1, 2. В вычислениях мы следуем алгоритму, предложенному А.Звонкиным [47]. Алгоритм реализован в системе Maple.В частности, мы покажем, что мегакартам с функциями малых степеней на кривых малых родов отвечают детские рисунки рода 0, перечислим мегакарты родов меньших 4 с функциями степеней меньших 5 идадим некоторые вычислительные результаты.2.3.1Действие группы кос ГурвицаОпределение 2.32.
Фундаментальная группа пространства конфигураций из k попарно различных точек на CP 1 называется группой косГурвица и обозначается Hk . Группа кос Гурвица похожа на введеннуютри десятилетия спустя группу кос Артина, представляющую собой фундаментальную группу пространства конфигураций из k попарно различных точек в C1 .Она была введена Гурвицем в [34]. Эта группа допускает следующеезадание образующими и соотношениями.Утверждение 2.33. Группа Hk задается k−1 образующими σ1 , . . . , σk−1и соотношениями• σi σj = σj σi при |i − j| ≥ 2;• σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 при i = 1, . .
. , k − 2;2• σ1 σ2 . . . σk−2 σk−1σk−2 . . . σ2 σ1 = id.Группа кос Гурвица Hk действует на k-созвездиях следующим образом:−1σi : [g1 , . . . , gi−1 , gi , gi+1 , gi+2 , . . . , gk ] 7→ [g1 , . . . , gi−1 , gi+1 , gi+1gi gi+1 , gi+2 , . . . , gk ].Определение 2.34. Два разветвленных накрытия f1 : C1 → CP 1 иf2 : C2 → CP 1 называются гибко эквивалентными, если найдутся такиедва гомеоморфизма u : C1 → C2 и v : CP 1 → CP 1 , что коммутативнадиаграммаC1 u / C2f1CP 1f2v/CP 1Теорема 2.35. Два разветвленных накрытия сферы гибко эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им созвездия принадлежат одной орбите действия группы кос Гурвица.Доказательство можно найти, например, в [12, с.
319].2.3.2МегакартыВычисление пар Белого, в том числе, отвечающих стратам размерности 1, представляет собой вычислительно трудоемкое занятие. В большинстве случаев их удается вычислить лишь в комбинаторных терминах — описать соответствующий паре детский рисунок (в терминологииГротендика [32]). Определить же точку в пространстве модулей, отвечающую кривой определения данной пары Белого, а также найти явноевыражение для функции Белого, удается редко.Рассмотрим 4-созвездие S = [g1 , g2 , g3 , g4 ] и соответствующее ему разветвленное накрытие сферы с четырьмя точками ветвления y1 , y2 , y3 , y4 ∈CP 1 . Любые три из этих точек можно дробно-линейным преобразованием перевести в точки 0, 1 и ∞, тогда четвертое критическое значениеможет принимать любое значение из C, отличное от 0, 1, ∞.
Пусть четырьмя точками ветвления будут точки 0, y, 1, ∞.Зафиксируем паспорт π и рассмотрим множество всех пар Hπ ={(S, y)}, где S — созвездие с паспортом π и y ∈ CP 1 \{0, 1, ∞}. Нетруднопроверить [47], что верно следующее утверждение:Утверждение 2.36. Множество Hπ обладает структурой некомпактной и, возможно, несвязной римановой поверхности.Утверждение 2.37. Функция β : (S, y) 7→ y является функцией Белогона компактификации каждой компоненты связности Hπ .Это утверждение очевидно следует из данных определений, потомучто функция β неразветвлена вне множества {0, 1, ∞}.Найдем тройку перестановок, описывающую детский рисунок, который задается функцией Белого β.
Для этого нужно определить монодромию соответствующего накрытия. Зафиксируем точку y0 ∈ CP 1 \{0, 1, ∞} и рассмотрим петли вокруг точек 0, 1 и ∞ с началом и концомв точке y0 , которые описывает параметр y. Выразим их через образующие группы кос Гурвица H4 :• петля, обходящая вокруг нуля, равна Σ = σ12 ;• петля, обходящая вокруг единицы, равна A = σ22 ;• петля, обходящая вокруг бесконечности, равна Φ = σ2−1 σ32 σ2 .Утверждение 2.38.
Перестановки Σ, A и Φ задают детский рисунок.Доказательство. Проверим, что ΣAΦ = id в H4 :σ1−1 ΣAΦσ1 = σ1−1 σ12 σ22 σ2−1 σ32 σ2 σ1 = σ1 σ2 σ32 σ2 σ1 = id.Теорема 2.13 означает, что классы гибкой эквивалентности разветвленных накрытий с 4 точками ветвления совпадают с орбитами действиягруппы hΣ, A, Φi на множестве 4-созвездий с заданным паспортом. Мощность каждой из таких орбит равна количеству листов накрытия, задающего компактификацию каждой компоненты связности Hπ , то есть вточности степени функции Белого. С другой стороны, суммарная мощность всех орбит равна количеству классов изоморфизма 4-созвездий.Следствие 2.39. Результатом действия группы hΣ, A, Φi на множестве 4-созвездий с заданным паспортом является детский рисунок(или несвязное объединение нескольких детских рисунков) с функциейБелого β : (S, y) 7→ y.
Его ребра взаимно-однозначно соответствуютклассам изоморфизма 4-созвездий, а циклический порядок ребер вокругчерных, белых вершин и граней — орбитам действия на этих классахперестановок Σ, A и Φ соответственно.Определение 2.40. Мегакарта — это множество E, элементами которого являются неизоморфные классы 4-созвездий, а само оно является орбитой действия подгруппы P группы H4 . P = hΣ, A, Φi, гдеΣ = σ12 , A = σ22 , Φ = σ2−1 σ32 σ2 , σ1 , σ2 , σ3 — образующие группы косГурвица H4 .Заметим, что вершины (черные и белые) и центры граней мегакартыотвечают совпадениям четвертого критического значения y с точками0, 1 или ∞ соответственно. Таким образом, вершинам и граням мегакарты можно поставить в соответствие детские рисунки, либо несвязноеобъединение детских рисунков (потому что это накрытия с тремя критическими значениями).
Если y совпадает с нулем, то детский рисунокзадается тройкой перестановок [g1 g2 , g3 , g4 ]. Действие элемента Σ = σ12не меняет тройку [g1 g2 , g3 , g4 ], следовательно, у всех ребер, выходящихиз одной черной вершины, тройки [g1 g2 , g3 , g4 ] одинаковые, то есть указанное соответствие корректно и каждой черной вершине соответствуетодин детский рисунок. Аналогично, если y совпадает с единицей, то детский рисунок задается тройкой перестановок [g1 , g2 g3 , g4 ], не меняющейся под действием элемента A = σ22 .
И, наконец, граням соответствуют3-созвездия [g1 , g2 g3 g2−1 , g2 g4 ], не меняющиеся под действием элемента Φ.2.3.3Описание алгоритмаВ этом разделе мы описываем алгоритм перечисления мегакарт. В качестве входных данных программа получает n — степень накрытия ипаспорт 4-созвездия [λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ], где λi — цикловая структура перестановки gi ∈ Sn .На первом шаге алгоритма выясняется, реализуется ли накрытие стакими данными ветвления. Для этого фиксируется перестановка g1 циклического типа λ1 и проверяется, существуют ли перестановки g2 , g3 ∈ Snциклических типов λ2 , λ3 соответственно, такие, что перестановка g1 g2 g3имеет циклический тип λ4 .
Если такие g2 , g3 находятся, то накрытие реализуется. Все пары g2 , g3 , реализующие накрытие заданного типа, записываются в отдельный список L.На втором шаге определяется, какие из полученных созвездий изоморфны. Как уже отмечалось, количество классов изоморфизма 4-созвездий есть общее число ребер в будущем детском рисунке (это множество может разбиваться на несколько детских рисунков — орбит действия группы P). Заметим, что мы работаем с тройками перестановок, ане с четверками и воспользуемся следующим очевидным утверждением.Утверждение 2.41.
Пусть s, g1 , g2 , g3 ∈ Sn . Если sg1 s−1 = g1 , и sg2 g3 s−1= g2 g3 , то sg1 g2 g3 s−1 = g1 g2 g3 .Таким образом, на каждую пару перестановок из списка L необходимо подействовать сопряжениями, то есть элементами из стабилизатораперестановки g1 . Каждой паре перестановок из L присваивается порядковый номер и изоморфным парам присваиваются одинаковые номера. Вдальнейшем будем работать именно с этими номерами. Список номеровбудем также называть L.На третьем шаге определяются орбиты действия группы P на классах изоморфизма накрытий. Для каждого номера из L определяется номер, в который он переходит под действием каждой из трех образующих группы P, для каждого из трех полученных номеров проводитсяаналогичная операция и так до тех пор, пока в процессе не появляется уже встречавшийся номер. Так получаются орбиты каждого номерапри действии P (это также списки номеров из L). После эти множестваобъединяются, если в них есть общие номера.
Напомним, что множествономеров, являющееся орбитой действия элемента Σ — это в точностиодна из перестановок 3-созвездия (или несколько перестановок нескольких 3-созвездий, в случае несвязной мегакарты), которое соответствуетвсей мегакарте. Она задает циклический порядок ребер вокруг черныхвершин мегакарты.
Аналогично, орбита действия элемента A образуетперестановку ребер, задающую циклический порядок вокруг белых вершин, а орбита действия элемента Φ — циклический порядок ребер вокругграней.2.3.4Результаты вычисленийПусть дано разветвленное накрытие f : C → CP 1 , g = g(C) — роднакрывающей поверхности.Теорема 2.42. Детский рисунок, соответствующий мегакартам приg(C) ≤ 2 и deg(f ) ≤ 4 имеет род 0.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
