Диссертация (1137317), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

; r) =11r(r − 1)(r − 2)(r − 3)p21 + r(r − 1)(r − 2)p2 +48121r(r − 1)(r − 2)(4r3 − 21r2 + 35r − 20)p31 +7211r(2r − 3)(r − 2)(r − 1)2 p2 p1 + r(3r − 5)(r − 1)(3r − 2)p3 +624154r(r − 1)(r − 2)(13r − 99r + 297r3 − 445r2 + 337r − 105)p41 +961r(r − 1)2 (r − 2)(26r3 − 103r2 + 135r − 60)p2 p21 +241r(r − 1)2 (4r − 5)(4r2 − 10r + 5)p22 +241r(r − 1)2 (3r − 5)(3r − 4)(3r − 2)p3 p1 +161r(r − 1)(4r − 3)(2r − 1)(2r − 3)p4 + . . .

.123.2.2Интегрируемые иерархииПроизводящие ряды, перечисляющие накрытия, часто являются решениями интегрируемых иерархий, см., например, [41]. Производящая функция S является специализацией функции из работы [31] и поэтому является решением иерархии КП.В частности, она удовлетворяет первому из бесконечной серии уравнений иерархии КП:∂ 2S1 ∂ 2S1 ∂ 4S∂ 2S− 2 =−.∂p1 ∂p3∂p22 ∂p2112 ∂p41Обозначим через Y (ν) произведение по содержаниям диаграммы Юнга, соответствующейQ разбиению ν числа n для неизвестных yc , c = .

. . , −2, −1,0, 1, 2, . . . : Y (ν) =yc(k) .k∈νОбозначим через F производящую функциюF (. . . , y−2 , y−1 , y0 , y1 , y2 , . . . ; p1 , p2 , . . .) = log∞ XYXn=0dimνpνyc(k)n!ν`n k∈ν!.Следующее утверждение является немедленным следствием теорем 2.3и 3.1 из [31]:Утверждение 3.8. Производящая функция F является решением иерархии КП.Рассмотрим возмущенную иерархию КП, полученную из иерархииpiКП заменой переменных pi = i+1 , где ~ — формальный параметр и~i = 0, 1, 2, . .

. . Например, первое уравнение возмущенной иерархии имеетвид1 ∂ 2S~2 ∂ 4 S∂ 2S∂ 2S−.− 2 =∂p1 ∂p3∂p22 ∂p2112 ∂p41Следствие 3.9. Функция S(~, p1 , p2 , . . . ; r) является решение возмущенной иерархии КП.Доказательство. Функция S получается из функции F подстановкойpiyc = (1 + c~)r и pi = i+1 .~Вычисления с использованием теоремы 3.7 позволяют выдвинуть гипотезу о виде формулы Буске-Мелу–Шеффера в случае род g = 1Гипотеза 3.10.

Число Буске-Мелу-Шеффера для накрытий двумернойсферы тором имеет вид:b1,ν,rtY= P2t−1 (r, ν)r (rνi − 2)(νi −1) .(22)i=1Здесь P2t−1 многочлен степени 2t − 1 и (rνi − 2)νi −1 = (rνi − 2)(rνi −3) . . . (rνi − νi ) — нисходящий факториал.Нам не удалось ни доказать эту гипотезу, ни сформулировать гипотезу о явном виде многочленов Pk (r, ν).3.2.3Групповая алгебра CSnКак мы неоднократно упоминали, числа bg,ν,r перечисляют разложенияперестановки σ0 ∈ Sn данного циклического типа ν в произведение rперестановок при условии, что группа порожденная этим набором из rперестановок, действует транзитивно на множестве из n элементов. Роднакрывающей поверхности определяется по формуле Римана–Гурвица.Определение 3.11.

Групповая алгебра KG конечной группы G — это|G|-мерное векторное пространство над полем K порожденное элементами G. Произведение в KG индуцировано групповой операцией группы G.Нас будет интересовать только случай K = C.Все факты про групповую алгебру симметрической группы, собранные ниже, стандартны, их доказательства можно найти, например, в книгах [10] и [15].Каждое линейное представление R : G → GL(V ) группы G в векторном пространстве V над C можно естественным образом продолжить долинейногопредставленияалгебры CG в том же пространстве формулойPPR(ag g) =ag R(g). Отметим, что обратное тоже верно и поэтомуg∈Gg∈Gсуществует естественная биекция между представлениями группы G иее групповой алгебры CG.Пусть T — регулярное представление алгебры CG, т.е. представлениеалгебры CG на себе, определенное по правилу T (a)x = ax, ∀a, x ∈ CG.Стандартным образом определим скалярное произведение в CG:(a, b) = tr T (ab) = tr T (a)T (b).(23)Через Cν обозначим элемент групповой алгебры CS|ν| , равный суммевсех перестановок циклического типа ν.

Элементы Cν образуют базисцентра групповой алгебры CS|ν| .Пусть C[G] — пространство функций на группе G. Следующая формула продолжает каждую функцию ϕ : C[G] до линейной функции нагрупповой алгебре CG:XXag ϕ(g), ϕ ∈ C[G].(24)ag g) =ϕ(g∈Gg∈GРавенство (24) доставляет естественную биекцию между C[G] и двойственным пространством CG∗ к пространству CG.Биекция между пространством CG и его двойственным g 7→ ϕg осуществляется с помощью скалярного произведения (23):(|G|, gh = eϕg (h) = (g, h) =∀g, h ∈ CG.(25)0, gh 6= eСледующее равенство переносит скалярное произведение на пространство C[G]:(ϕ1 , ϕ2 ) =1 Xϕ1 (g)ϕ2 (g −1 ).|G| g∈G(26)Пусть R : G → GL(V ) — произвольное линейное представление группы G.Определение 3.12.

Функция χ ∈ C[G], определяемая равенством χ(g) =tr R(g), g ∈ G, называется характером представления R.Через χν будем обозначать характер неприводимого представлениягруппы Sn , отвечающий разбиению ν ` n. Характеры χν являются идемпотентами:dimν ν µδ χ .n! µРассмотрим отображение ψ из группы Sn в пространство квазиоднородных многочленов степени n от переменных pi , ψ : σ 7→ pν1 · . . . · pνt , гдепеременная pi берется с весом i.Определим характеристическое отображение ch из центра групповой алгебры ZCSn∗ в пространство квазиоднородных многочленов степени n от переменных pi следующим равенством:χµ χν =ch(f ) =1 Xf (g)ψ(g).n! g∈GОпределение 3.13. Пусть ν — разбиение длины менее чем l + 1, тогдаопределим функцию Шура sν (x1 , x2 , .

. . , xl ), отвечающую разбиению ν,как отношение двух определителей:ν +l−jsν (x1 , x2 , . . . , xl ) =det(xi j)1≤i,j≤l.l−jdet(xi )1≤i<j≤l(27)Поскольку функции Шура являются симметрическими функциямипеременных x1 , . . . , xl , их можнопредставить как многочлены от стеPliпенных переменных pi =j=1 xj , i = 1, . .

. , l. Так, функция Шураsk (p1 , pразбиения — это коэффициент при tk в ря2 , . . .) одночастичного∞ p∞PPi iде expt =sk tk . Функция Шура произвольного разбиения ν —ii=1i=0это определитель следующей матрицы, составленной из функций Шураодночастичных разбиений:sν (p1 , p2 , . . .) = det(sνi −i+j )1≤i,j≤l(ν) .Утверждение 3.14 ([15],1.7.3). Отображение ch доставляет биекциюмежду центром групповой алгебры ZCSn∗ и пространством квазиоднородных многочленов степени n: ch(χν ) = sν .В дополнение отметим, что существует естественная биекция междуZCSn и ZCSn∗ . При этом элемент Cν = Cν1 ,...,νt ∈ ZCSn переходит в моном|Cν |pν1 . .

. pνt , где через |Cν | мы обозначаем количество перестановок изSn в классе сопряженности перестановки с циклическим типом ν.3.2.4Операторы на центре групповой алгебры ZCSnВ этом параграфе мы докажем теорему 3.7.Любой элемент a ∈ ZCSn можно разложить по базисам Cν и χν :a=X (a, Cν )ν`n|Cν |n!Cν =X(a, χν )χν .ν`nВоспользовавшись тем, что характеры χν являются идемпотентами,получаем:Xa·b=(a, χν )(b, χν )χν , ∀ a, b ∈ ZCSn .ν`nСопоставим элементу a ∈ ZCSn оператор на центре групповой алгебры ZCSn , действующий умножением на a.

Тогда характеры χν являются собственными векторами такого оператора с собственными числами(a, χν ).Определим оператор B : ZCSn → ZCSn формулойX~|ν|−l(ν) Cν .B=ν`nДругими словами, B — это нормированная сумма всех элементов группыSn , здесь ~ — это формальная переменная.Напомним, что сейчас мы перечисляем наборы из m перестановок,которые в произведении дают перестановку циклического типа ν. Разложим оператор B по собственному базису из характеров и заметим, чтособственное значение, соответствующее собственному вектору χν , это вточности искомое количество.Через Bν обозначим собственное значение оператора B на собственном векторе χν . Для вычисления Bν мы будем использовать следующееутверждение:Лемма 3.15 ([36],4.1.2).

Функция Γ ∈ C[Sn ], Γ : σν 7→ ~l(ν) , где ~ —формальный параметр и σν — произвольная перестановка циклическоготипа ν, имеет следующее представление в базисе из характеров:X Y ~ + c(k)χν ;Γ(·) =h(k)ν`n k∈νздесь k пробегает все множество клеток диаграммы Юнга, соответствующей разбиению ν, c(k) — содержание клетки k, h(k) — длина крюка клетки k.Для полноты картины воспроизведем здесь доказательство этого утверждения.Доказательство. По определению (см. [15], 1.7), для произвольнойфункP −1ции f ∈ C[ZSn ] верно следующее равенство ch(f ) =zν f (σν )pν , гдеν`nzν = 1ν1 2ν2 .

. . ν1 !ν2 ! . . ..PРассмотрим производящую функциюch(Γ)un для чисел ch(Γ). Поn≥1определнию функций ch и zν получим:1+Xch(Γ)un =Xn=ν1 +2ν2n≥1~ν1 +ν2 +... uν1 +2ν2 +... ν1 ν2p p ...ν1 2ν2 . . . ν !ν ! . . . 1 2112+...Перепишем последнюю сумму более подробно:Xn=ν1 +2ν2∞ X∞Y~ν1 +ν2 +... uν1 +2ν2 +...

ν1 ν2~k unk kpp...=p .ν1 2ν2 . . . ν !ν ! . . . 1 2k k! n1n12+...n=1 k=0Далее заметим, что справа стоит экспонента:∞ X∞Y~k unkn=1 k=0nk k!pknu2 p2 u3 p3++ ... .= exp ~ up1 +23Подставим в нее выражение переменных pi через переменные xi (см.(3.2.1)):∞ Xu2 p2 u3 p3(ux2 )2 (ux3 )3exp ~ up1 +++ . . . = exp ~ux1 +++ ... .2323i=1Последнюю сумму можно переписать в виде:∞ X(ux2 )2 (ux3 )3exp ~ux1 +++ .

. . = exp23i=1~∞X!ln(1 − uxi )=i=1∞Y=(1 − uxi )−~ .i=1Поэтому остается доказать, что∞YX Y ~ + c(k)· sν (x1 , x2 , . . .).(1 − xi )−~ =h(k)i=1ν`n k∈ν(28)Правая часть равенства (28) — это многочлен от ~, поэтому достаточно доказать равенство для натуральных значений ~. Докажем следующееравенство для N ∈ N:∞YX Y N + c(k)(1 − xi )−N =· sν (x1 , x2 , . . .).h(k)i=1ν`n k∈ν(29)Воспользуемся двумя утверждениями из [15]. Во-первых,∞ Y∞YX(1 − uj xi )−1 =sν (u1 , u2 , . . .)sν (x1 , x2 , . .

.).(30)νj=1 i=1Связь между левой и правой частями равенства (30) следует из свойствполных симметрических многочленов. Полные симметрические многочлены hr определяются равенством:X X ντ (1) ντ (2)ντ (l(ν))hr (x1 , x2 , . . .) =x1 x2 . . . xl(ν),|ν|=rτгде второе суммирование производится по всем перестановкам τ частейразбиения ν.Производящая функцияH(t)Qдля многочленов hr может быть запиPсана в виде H(t) =hr tr =(1 − xi t)−1 . Отметим, что мы можемr≥0i≥1представить каждый сомножитель в правой части как сумму бесконечной геометрической прогрессии. Детали доказательства формулы (30)можно найти в [15], раздел 1.4.Далее, используя [15], Ч. 1.3, пример 4 получаем:Y N + c(k)= sν (1, . . .

, 1) .| {z }h(k)k∈ν(31)NНапомним (определение 3.13), что функция Шура sν (x1 , x2 , . . .) — этоотношение двух определителей. Сделаем замену xi = q i−1 , тогда обаопределителя станут определителями Вандермонда иsν (1, q, q 2 , . . .) = q n(ν)Y 1 − q n+c(x)x∈ν1 − q h(x),(32)где через n мы обозначаем общее количество частей в разбиении ν,nPn(ν) = (i − 1)νi .i=1kQДалее, при подстановке t = 1 выражение(1 − ti )i=1становится рав(1 − t)kным k!. Следовательно, (31) следует из (32) после подстановки q = 1.Равенство (29) становится очевидным, если положить u1 = .

. . = uN =1, uN +1 = . . . = 0 в (30) и использовать (31). Лемма доказана. IСледствие 3.16. Собственное значение Bν оператора B на собственном векторе χν равноBν =dimν Y(1 + c(k)~).n! k∈νДоказательство. Рассмотрим функцию Γ̃ : σν 7→ ~n−l(ν) . Разложим Γ̃по базису из характеров, воспользовавшись леммой 3.15:Γ̃(·) =Xν`n~nYk∈ν1+ c(k)X ~n Y 1 + c(k)~ν~χ =χν =nh(k)~ k∈ν h(k)ν`nX dimν Y(1 + c(k)~)χν .=n! k∈νν`nДля вывода последнего равенства мы воспользовались хорошо известной формулой крюков:dimν = Qn!.h(k)k∈νСледствие доказано. IДоказательство теоремы 3.7.Рассмотрим производящий ряд∞ XYXdimν(1 + c(k)~)rs~ν (~, p1 , p2 , .

Характеристики

Список файлов диссертации