Диссертация (1137317), страница 4
Текст из файла (страница 4)
раздел 1.3). Его граница Hg;k1 ,...,kn \ Hg;k1 ,...,knсостоит из стабильных функций на особых кривых, единственные допустимые особенности которых — это точки простого двойного самопересечения.Будем называть пару (g; n) неотрицательных целых чисел стабильной, если либо g = 0, n ≥ 3, либо g ≥ 1, n ≥ 1, либо g ≥ 2.Определение 1.3.
Связная кривая с отмеченными точками называетсястабильной, если− ее единственными особенностями являются двойные точки;− отмеченные точки неособы;− группа автоморфизмов кривой, сохраняющая отмеченные точки,конечна.Отметим, что гладкая кривая рода g с n отмеченными точками стабильная тогда и только тогда, когда пара (g; n) стабильна.Через Mg;n будем обозначать компактификацию Делиня–Мамфордапространства модулей Mg;n . Точками компактификации Делиня – Мамфорда служат классы биголоморфной эквивалентности стабильных кривых рода g c n отмеченными точками.Теорема 1.4 ([26]). Для каждой стабильной пары (g; n) существуетгрубое пространство модулей Mg;n стабильных кривых рода g с n отмеченными точками.
Это пространство модулей является комплексныморбиобразием. Подмногообразие Mg;n ⊂ Mg;n плотно по Зарисскому.Компактифицированное пространство модулей Mg;n обладает универсальной стабильной кривой C g;n → Mg;n , а отмеченные точки образуютn попарно непересекающихся сечений σi : Mg;n → C g;n .Проекция Hg;k1 ,...,kn → Mg;n продолжается до проекции Hg;k1 ,...,kn →Mg;n . Послойная проективизация P Hg;k1 ,...,kn — является компактнымкомплексным орбиобразием. Ниже, допуская некоторую вольность речи,будем называть его подорбиобразия и другие орбиобразия — подмногообразиями и многообразиями.В основном нас будут интересовать подмногообразия в пространствеГурвица, состоящие из функций с вырожденными критическими значениями. Напомним, что критическое значение функции f степени d называется невырожденным, если оно достигается в d − 1 различной точке,одна из которых является критической точкой кратности 2, а остальныеd − 2 точки — некритические, и вырожденным в противном случае.
Поформуле Римана–Гурвица общая мероморфная функция степени d накривой рода g имеет 2d + 2g − 2 невырожденных критических значения.Функции с меньшим количеством критических значений в образе образуют дискриминант в пространстве P Hg;k1 ,...,kn . Каждому критическомузначению в образе можно сопоставить разбиение µ числа d, представляющее собой неупорядоченный набор кратностей прообразов данной точки.Определение 1.5. Замыкание в P Hg;k1 ,...,kn множества функций, имеющих ветвления предписанного типа будем обозначать через σµ1 ;...;µr , гдеиндекс состоит из набора разбиений кратностей прообразов над вырожденными критическими значениями. Эти подмногообразия называютсястратами дискриминанта.1.2Задача ГурвицаОтправной точкой наших исследований стратов дискриминанта пространства Гурвица служит задача перечисления классов изоморфизма разветвленных накрытий двумерной сферы.Определение 1.6.
Пусть C и X — два линейно связных топологических пространства, а f : C → X — непрерывное отображение. Тройка(C, X, f ) называется неразветвленным накрытием пространства X пространством C, если у каждой точки X найдется такая окрестность V , чтопрообраз f −1 (V ) ⊂ C гомеоморфен V × S, где S — дискретное множество. Мощность множества S называется степенью накрытия. Накрытиестепени n называется n-листным.Пусть f : C → X — накрытие, x0 ∈ X.
Каждый непрерывный путьγ : [0, 1] → X, концы которого совпадают с точкой x0 , а внутренние точкиотличны от x0 , определяет перестановку множества f −1 (x0 ). Эта перестановка определяется следующим образом. Выкинув из полного прообраза f −1 (γ) ⊂ C пути γ прообразы f −1 (x0 ) точки x0 , мы разбиваем егона несвязное объединение ориентированных интервалов. Отображениемножества f −1 (x0 ) в себя, переводящее начало каждого интервала в егоконец, является перестановкой этого множества и называется перестановкой монодромии вдоль пути γ.Пусть f : C → CP 1 \ Y — конечнолистное накрытие проективнойпрямой CP 1 с r выколотыми точками y1 , . .
. , yr , Y = {y1 , . . . , yr } ⊂ CP 1 .Проективная прямая CP 1 снабжена ориентацией, согласованной с комплексной структурой, то есть мы знаем, в каком направлении, положительном (против часовой стрелки) или отрицательном (по часовойстрелке) совершается обход вокруг какой-то из точек сферы. Пусть y0 ∈CP 1 \ Y .
Рассмотрим r ориентированных путей ci из y0 в yi , i = 1, . . . , rна CP 1 , таких, что они не пересекаются вне y0 и входят в точку y0 именнов таком порядке при обходе против часовой стрелки. Превратим каждыйпуть ci в петлю γi ∈ π1 (CP 1 \ Y, y0 ) следующим образом: петля γi идетвдоль ci до тех пор, пока не попадет в малую окрестность точки yi , затем она делает полный оборот вокруг yi в положительном направлениии, наконец, возвращается обратно в y0 вдоль ci . Перестановку монодромии вдоль пути γi будем обозначать через gi .
Набор петель γi , i = 1, . . . , rвместе с начальной точкой y0 будем называть базовой звездой.Определение 1.7. Цикловой структурой перестановки g ∈ Sn называется разбиение λ числа n, состоящее из длин независимых циклов перестановки g.Определение 1.8. Группа G = hg1 , . . . , gr i, порожденная перестановками gi , называется группой монодромии накрытия.Определение 1.9.
Последовательность перестановок [g1 , . . . , gr ], gi ∈Sn , такая, что группа hg1 , . . . , gr i транзитивно действует на множествеиз n элементов и такая, что g1 · . . . · gr = id называется r-созвездием.Набор [µ1 , . . . , µr ] разбиений числа n, состоящий из цикловых структурµi перестановок gi называется паспортом созвездия.Два созвездия [g1 , . . . , gr ] и [g10 , . . . , gr0 ] изоморфны, если существуетперестановка h ∈ Sn такая, что gi0 = h−1 gi h при i = 1, . . .
, r.Утверждение 1.10. Набор перестановок [g1 , . . . , gr ], порождающий группу монодромии неразветвленного накрытия проколотой сферы, образует созвездие.Конструкция работает и в обратном направлении.Утверждение 1.11. Для любого созвездия существует соответствующее неразветвленное накрытие проколотой сферы.Нас интересуют классы изоморфизмов накрытий, поэтому сформулируем еще одно важное утверждение.Утверждение 1.12. При фиксированной последовательности образующих γ1 , .
. . , γr ∈ π1 (CP 1 \ Y, y0 ) два неразветвленных накрытия сферыCP 1 \ Y изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны соответствующие созвездия.Всякому конечнократному накрытию проколотой сферы однозначным образом сопоставляется разветвленное накрытие сферы без проколов.
Для этого компактифицируем проколотую сферу CP 1 \ Y , добавиввсе недостающие точки y1 , . . . , yr и для каждой точки yi добавим в Cстолько точек, сколько независимых циклов в перестановке gi . Новыеточки в C и будут прообразами новых точек yi с кратностями, равнымидлинам соответствующих циклов перестановок gi .Определение 1.13. Пусть C — компактная риманова поверхность. Непрерывное отображение f : C → CP 1 называется разветвленным накрытием, если существует такое конечное множество точек Y = {y1 , . . . , yr } ⊂CP 1 , что f получается из неразветвленного накрытия проколотой сферыCP 1 \ Y применением описанной выше конструкции.Два разветвленных накрытия f1 : C1 → S 2 и f2 : C2 → S 2 двумерной сферы называются изоморфными, если существует гомеоморфизмh : C1 → C2 такой, что f1 = f2 · h. Как обсуждалось выше, каждойточке ветвления в образе мы сопоставляем разбиение µ кратностей еепрообразов./ C2uC1f1"CP1|f2Теорема 1.14 (теорема существования Римана).
Пусть в CP 1 зафиксирована некоторая базовая звезда, [y1 , . . . , yr ] ∈ CP 1 — набор ее концевыхточек, тогда для любого созвездия [g1 , . . . , gr ], gi ∈ Sn существует риманова поверхность C и мероморфная функция f : C → CP 1 такая,что y1 , . .
. , yr — критические значения функции f , а g1 , . . . , gr — соответствующие им перестановки монодромии. Разветвленное накрытиеf : C → CP 1 единственно с точностью до изоморфизма.Доказательство можно найти, например, в [12, с. 88].Описанное соответствие связывает задачи перечисления разветвленных накрытий с задачами перечисления созведий или, что тоже самое,задачами перечисления разложений перестановки в произведение перестановок.1.3Компактификации пространств ГурвицаВ этом разделе мы подробно обсудим известные компактификации пространства Гурвица. Вначале рассмотрим пополнение Экедала–Ландо–Шапиро–Вайнштейна [28], оно будет иметь структуру конуса над компактификацией Делиня–Мамфорда Mg;n пространства модулей кривыхрода g с n отмеченными точками. Затем мы рассмотрим пополнение Харриса и Мамфорда [20], в котором запрещено совпадение точек ветвленияи пространство Гурвица оказывается накрытием пространства модулейрациональных кривых с отмеченными точками.1.3.1Конусы главных частейКонус над алгебраическим многообразием (орбиобразием) M — это пучок градуированных C-алгебр над M .
Рангом конуса над многообразием называется размерность слоя. В терминах конусов очень удобно рассматривать пространства мероморфных функций: при фиксированныхкривой и набора точек на ней, пространство мероморфных функций сполюсами заданных порядков в выбранных точках будет не векторнымпространством, а конусом. Конус можно проективизировать — точкамипроективного конуса являются нетривиальные орбиты C∗ действия.Далее, зафиксируем натуральное число k.
Рассмотрим две мероморфные функции f1 и f2 , определенные в окрестности точки 0 и имеющиев этой точке полюс порядка k. Будем говорить, что эти функции имеютодинаковую главную часть в точке 0, если их разность f1 − f2 не имеетполюса в нуле. Главная часть — это класс эквивалентности локальныхфункций по введенному отношению эквивалентности. Выберем в окрестности точки 0 координату x, тогда главную часть можно записать в виде: u k−1u+ . .
. + ak−1 ,(1)xxxгде u 6= 0 ∈ C∗ . Если k > 1, такое представление единственно с точностью до выбора k способами параметра u. Следовательно, пространствовыражений вида (1) является k-кратным накрытием пространства главных частей. Группа монодромии этого накрытия есть группа Z/kZ, еедействие на пространстве выражений вида (1) задается формулой: u k+ a1(u, a1 , a1 , . . . , ak−1 ) 7→ (εk u, εk a1 , ε2k a2 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
