Диссертация (1137317), страница 2
Текст из файла (страница 2)
С этой точки зрения большой интерес представляет то, что получающиеся производящие функции являются решениями интегрируемых иерархий. Явно такого рода утверждение впервыебыло доказано А. Окуньковым в 2000 году в [41]: он показал, что производящая функция для двойных чисел Гурвица (так мы называем числаГурвица с двумя непростыми точками ветвления) является решениемиерархии решетки Тоды.После работы Окунькова появилось много естественных примеровкомбинаторных объектов, производящие функции которых являются решениями интегрируемых иерархий.В частности, производящим функциям, перечисляющим разветвленные накрытия, и связанным с ними интегрируемым иерархиям посвящены многочисленные работы Гульдена и Джексона, например, [31].
Ихподход состоит в том, чтобы используя рекуррентные соотношения начисла Гурвица показать, что производящая функция, их перечисляющая, удовлетворяет соотношениям Плюккера и, тем самым, является τ функцией.В разделе 3.2 мы представляем новый метод получения производящейфункции чисел Буске-Мелу–Шеффера bg,ν,r и ее разложения по родам.Цель работыЦель работы состоит в описании стратов пространства Гурвица мероморфных функций на комплексных кривых и вычислении чисел Гурвица.
В диссертации вычислены конкретные пары Белого, соответствующие стратам размерности 0, описаны конкретные страты размерности1 — мегакарты — в пространствах Гурвица функций малых родов и малых степеней, получены новые формулы для чисел Гурвица и развитыновые методы их получения.Основные результаты диссертации1. Вычислены все пары Белого шестиреберных детских рисунков рода3 с единственной вершиной и нетривиальной группой автоморфизмов.2. Получены комбинаторные описания детских рисунков, отвечающих мегакартам функций небольших степеней на кривых малыхродов.3.
Получено новое доказательство частного случая формулы для чисел Буске-Мелу–Шеффера.Научная новизнаРезультаты глав 2 и 3.1 являются новыми. В главе 3.2 получен новый эффективный метод получения производящих рядов, перечисляющих числа Гурвица.Основные методы исследованияВ диссертации используются различные комбинаторные, алгебраические и алгебро-геометрические методы.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут представлять интерес для специалистов в областиалгебраической геометрии, комбинаторики, теории графов.Апробация работыРезультаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:− Семинар «Характеристические классы и теория пересечений» подруководством д.ф.-м.н.
профессора С. К. Ландо и д.ф.-м.н. профессора М. Э. Казаряна (НИУ ВШЭ, 2011-2014 гг., неоднократно).− Семинар «Графы на поверхностях и алгебраические кривые над конечными полями» под руководством д.ф.-м.н. профессора Г. Б. Шабата (мех-мат МГУ, 2008-2009 гг., неоднократно).− Семинар «Маломерная математика» под руководством д.ф.-м.н.С. В.
Дужина (Санкт-Петербург, 2014 г.)Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:− Международная алгебраическая конференция посвященная 100-летиюсо дня рождения А. Г. Куроша (Москва, 28 мая - 3 июня 2008 г.)− Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, апрель2009 г.)− Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, апрель2011 г.)− Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2013»(Новосибирск, 18-31 августа 2013 г.)− Международная конференция «Примитивные формы и связанныеобъекты» (Япония, Токио, 10-14 февраля 2014 г.)− Школа-конференция «Модули кривых» (США, Стони-Брук, 7-18 июля2014 г.)− Международная конференция «Вложенные графы» (Санкт-Петербург,27-31 октября 2014 г.)− Школа-конференция «Неделя молодых ученых» (Франция, Марсель, 8-14 февраля 2015 г.)ПубликацииРезультаты диссертации опубликованы в 4 работах автора (4 из которых входят в перечень ВАК), список которых приведен в конце введения.Структура диссертацииДиссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав исписка литературы.
Главы разбиты на разделы и параграфы. Полныйобъем диссертации — 79 страниц, библиография включает 47 наименований.Краткое содержание работыВведение к диссертации состоит из обзора литературы и краткого обзоратекущего положения исследований тем, затронутых в диссертации.Содержание главы 1В первой главе определяются пространства Гурвица и их стратификация. Формулируется задача Гурвица, описываются известные компактификации пространств Гурвица.Определение 1. Рассмотрим пространство мероморфных функцийX → CP 1 на кривых рода g, у которых кратности прообразов точки∞ равны k1 , . .
. , kn , а конечные критические значения простые. Множество таких функций образует пространство комплексной размерностиk1 + . . . + kn + n + 2g − 2. Мы можем пронумеровать полюса (прообразы точки ∞) n! способами, что определяет накрытие кратности n! надпространством мероморфных функций. На тотальном пространстве этого накрытия действует аддитивная группа C, прибавлением к функцииконстанты.
Выбором этой константы можно добиться того, что суммаконечных критических значений функции будет равняться нулю, поэтому пространство орбит отождествляется с пространством мероморфныхфункций с нулевой суммой конечных критических значений. Это пространство мы будем обозначать через Hg;k1 ,...,kn и называть пространством Гурвица.Определение 2. Через Hg;k1 ,...,kn мы будем обозначать пополнение пространства Hg;k1 ,...,kn состоящее из стабильных мероморфных функций нанодальных кривых рода g с полюсами порядков k1 , . . .
, kn . Его граница Hg;k1 ,...,kn \ Hg;k1 ,...,kn состоит из стабильных функций на, быть может,особых кривых, единственные допустимые особенности которых — этоточки простого двойного самопересечения.Естественная проекция Hg;k1 ,...,kn → Mg;n продолжается до проекцииHg;k1 ,...,kn → Mg;n . Послойная проективизация P Hg;k1 ,...,kn является компактным комплексным орбиобразием.По формуле Римана–Гурвица общая мероморфная функция из пространства Hg;k1 ,...,kn имеет k1 + . . .
+ kn + n + 2g − 2 невырожденных критических значения — их количество равно размерности пространства.Функции с меньшим количеством критических значений в образе образуют дискриминант в пространстве P Hg;k1 ,...,kn .Определение 3. Замыкание в P Hg;k1 ,...,kn множества функций, имеющих ветвления предписанного типа будем обозначать через σµ1 ;...;µr , гдеиндекс состоит из набора разбиений кратностей прообразов над вырожденными критическими значениями. Эти подмногообразия называютсястратами дискриминанта.Содержание главы 2Мероморфных функций с одним критическим значением не бывает,а мероморфные функции с двумя критическими значениями исчерпываются функциями z n : CP 1 → CP 1 .Раздел 2.1 посвящен мероморфным функциям на кривых рода g с неболее чем тремя критическими значениями.
Такие функции называютсяфункциями Белого и образуют страты размерности 0 в пространствахГурвица.Определение 4. Пара Белого — это пара (X, f ), состоящая из алгебраической кривой X и функции Белого f : X → CP 1 .Определение 5. Вложенный граф, вершины которого окрашены в двацвета так, что каждое ребро соединяет вершины противоположных цветов, называется гиперкартой.Выбором координаты на прямой-образе можно добиться того, чтобы критические значения функции Белого имели координаты 0, 1 и ∞.При таком выборе прообраз f −1 ([0, 1]) отрезка [0, 1] задает гиперкартуна кривой X — прообразы точки 0 служат белыми вершинами, прообразы точки 1 — черными, а ребра являются замыканиями компонентсвязности прообраза f −1 ((0, 1)) открытого интервала (0, 1). Следуя [32],гиперкарту как представление пары Белого будем называть детским рисунком.Во второй главе вычислены пары Белого всех шестиреберных детскихрисунков с нетривиальной группой автоморфизмов рода 3 с единственной вершиной.Теорема 6.
Пара Белого детского рисунка с симметрией порядка 12это функция Белого f = x6 на кривой y 2 = x(x6 − 1).Теорема 7. Все пары Белого детских рисунков рода 3 с 6 ребрами, группа автоморфизмов которых имеет порядок 3, это:1. функция Белого√f=3+2 2√ x,3на плоской кривойz 6 + z 3 x2 (3 +√3) − z 3 x(1 +√3) =√ !3(x5 − 3x4 + 3x3 − x2 ),1+2записанной в координатах (x : 1 : z).2. функция Белого√f=3−2 2√ x,3на плоской кривой63 2z + z x (3 −√33) − z x(1 −√3) =√ !31−(x5 − 3x4 + 3x3 − x2 ),2записанной в координатах (x : 1 : z).Пары Белого детских рисунков с симметрией порядка 2 описаны вследующей теореме:Теорема 8.
Все пары Белого детских рисунков рода 3 с 6 ребрами, группа автоморфизмов которых имеет порядок 2, это:1. Функция Белого1 4 5 3 3 21 6 3 5 9 4z − z + zf =− z + z − z +1+y848884на кривой, являющейся прообразом гиперэллиптической кривойy 2 = (z + 1)(z 3 − 3z 2 − 4)при разветвленном накрытии степени 2w2 = z − 3.2. Ещё три пары Белого — это выраженная той же формулой функцияБелого на кривой, являющейся прообразом гиперэллиптической кривойy 2 = (z + 1)(z 3 − 3z 2 − 4)при разветвленном накрытии степени 2w2 = ui , i = 2, 3, 4; u2,3,4 = (z − 3)(z + 1)(z − α),где α3 − 3α2 − 4 = 0.3. Четыре пары Белого с функциейf = −1 −135 6 81 5 135 4 9 439z + z −z − z y − z2y + z3y848848на кривой, являющейся прообразом гиперэллиптической кривойy 2 = 225z 4 − 90z 3 + 69z 2 + 108z + 60,при разветвленном накрытии степени 2w2 = (±y +15 2 915z − z + )(z − α),424где 5α2 − 6α + 5 = 0.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
