Диссертация (1137317), страница 5
Текст из файла (страница 5)
, εk−1k ak−1 ),(2)где ε — это корень k-ой степени из единицы.Группа C∗ действует на пространстве главных частей умножением наконстанту. Это действие поднимается, с точностью до описанного вышедействия Z/kZ, до действия C∗ на пространстве выражений вида (1):λ u kx+ a1 u k−1xu+ . . . + ak−1=x νu k νu k−1νu+ νa1+ . . . + ν k−1 ak−1 ,=xxxгде ν = λ1/k . Поэтому веса переменных u и ai равны:w(u) =1,kw(ai ) =i, i = 1 .
. . k − 1.kМономы целого веса в алгебре многочленов от переменных u и aiинварианты относительно действия (2). Веса координат задают на этойалгебре целочисленную градуировку. Соответствующий конус мы будемобозначать через P k .Открытое всюду плотное подмножество u 6= 0 в конусе P k отвечаетмножеству главных часей с полюсами порядка k. Его дополнение Ak−1 ⊂P k является спектром факторалгебры Z/kZ-инвариантных многочленовпо модулю идеала многочленов, делящихся на u.Старшие члены обобщенных частей порядка k находятся во взаимнооднозначном соответствии с точками k-ой тензорной степени касательной прямой к C в точке 0. А именно, пусть L — кокасательная прямаяк C в нуле.
Представим точку p ∈ P k \ Ak−1 в виде (1) и сопоставимей главную часть ux с полюсом первого порядка в начале координат. Этаглавная часть задает касательный вектор в точке 0 как следующий линейный функционал на L:uw 7→ Resx=0 w.xk-ая тензорная степень построенного касательного вектора лежит в (L∨ )⊗k .Обозначим этот элемент через φ(p) ∈ (L∨ )⊗k . Отображение φ продолжается на все P k , если положить его равным нулю на Ak−1 .Лемма 1.15. Значение отображения φ на главной части определяетсястаршим членом этой главной части. Кратность отображения φ наего множестве нулей Ak−1 равна k.Второе утверждение леммы означает, что при ограничении отображения φ на кривую общего положения в P k , трансверсально пересекающуюAk−1 , ровно k прообразов отображения φ сливаются при стремлении образа к 0.Доказательство.
Координата на прямой задает естественную координату на L. При фиксированной координате x образ отображения φ естьuk , т.е. как раз значение старшего члена главной части. Причем этомногочлен веса 1, обращающийся в ноль на Ak−1 . Посчитаем количество его прообразов, склеивающихся в общей точке a = (a1 , . . . , an ) ∈Ak−1 при стремлении образа к 0.
Это главные части с координатами(u, a1 , . . . , ak−1 ), (u, νa1 , . . . , ν k−1 ak−1 ), (u, ν 2 a1 , . . . , ν 2(k−1) ak−1 ), . . . ,(u, ν k−1 a1 , . . . , ν (k−1)(k−1) ak−1 ) различные в общей точке. IПостроим конусы главных частей над пространством модулей Mg;n .Рассмотрим стабильную кривую с n отмеченными точками: (X; x1 , . . . , xn )∈ Mg;n . Сопоставим i-ой отмеченной точке конус главных частей с полюсами порядка ki в точке xi и конус главных частей с нулевыми старшимикоэффициентами и полюсами порядка ki в точке xi . Объединение такихконусов дает конусы Pi и Ai над Mg;n . Аналогично мы рассматриваемвектороное расслоение Ãi над Mg;n . ОбозначимP = P1 ⊕ · · · ⊕ Pn ; A = A1 ⊕ · · · ⊕ An ; Ã = Ã1 ⊕ · · · ⊕ Ãn .Описанный морфизм φ определяет n морфизмов конусов ϕi : Pi → (L∨i )⊗ki .Прямая сумма этих морфизмов определяет морфизм ϕ : P → L, гдеL = (L∨1 )⊗k1 ⊕ · · · ⊕ (L∨n )⊗kn .Определение 1.16.
Пусть P — конус над Mg;n , образованный главными частями порядка ki в i-ой отмеченной точке. Замыкание в P множества наборов главных частей, соответствующих мероморфным функциям на гладких кривых, называется пополненным пространством Гурвица и обозначается Hg;k1 ,...,kn .Пополненное пространство Гурвица имеет структуру подконуса в P,так как инвариантно относительно умножения на комплексные числа иобладает естественной структурой комплексного орбиобразия.1.3.2Допустимые накрытияВ этом параграфе мы приводим описание пополнения пространства Гурвица допустимыми накрытиями, дальнейшее изложение следует [20] и[33].Определение 1.17. Через Hg;d мы будем обозначать здесь пространствомероморфных функций f : X → CP 1 степени d на гладких кривых родаg, имеющих b = 2d + 2g − 2 различных критических значений p1 , .
. . , pb .Ниже мы будем использовать термины накрытия и точки ветвления,вместо мероморфных функций и критических значений. Запретим точкам ветвления сливаться и дополним пространство Гурвица Hg;d накрытиями стабильного предела (B, p1 , . . . , pb ), т.е. накрытиями стабильныхкривых.Пусть имеется семейство разветвленных накрытий {Ct → CP 1 }, т.е.семейство гладких кривых C ∗ над проколотой сферой вместе с отображением f : C ∗ → CP 1 таким, что ограничение f |Ct имеет простое ветвление в точках p1 (t), .
. . , pb (t). Дополним семейство накрытием стабильногопредела (B, p1 , . . . , pb ) семейства {CP 1 ; (p1 , . . . pb )} с простым ветвлениемнад точками p1 , . . . pb .Тополгически довольно просто последить что происходит с различными точками pi (t), i = 1, . . . , b при стремлении гладкой кривой (CP 1 ;p1 (t), . .
. pb (t)) к стабильной кривой (B; p1 , . . . , pb ). Предположим, что естьсемейство разветвленных накрытий Ct → CP 1 слоев общего положениясемейства гладких кривых. Добавим к нему следующее разветвленноенакрытие C0 → B специального слоя. Двойная точка специального слояB стабильных кривых с b отмеченными точками появляется при стягивании петли, тогда прообраз этой петли в пространствах накрытий будетсостоять из нескольких петель, каждая из которых стягивается в двойную точку кривой C0 . Кривую C0 можно описать явно.Определение 1.18. Пусть (B; p1 , .
. . , pb ) — стабильная кривая рода 0 сb отмеченными точками и пусть q1 , . . . , qk — двойные точки кривой B.Допустимым накрытием кривой B называются нодальная кривая C ирегулярное отбражение f : C → B такие, что− f −1 (Breg ) = Creg , и ограничение отображения π на это открытоемножество является неразветвленным накрытием за исключениемпростых ветвлений в точках pi ;− f −1 (Bsing ) = Csing , причем для каждой двойной точки q кривой Bи каждой двойной точки r кривой C, лежащей над ней, две компоненты кривой C около точки r отображаются в компоненты кривойB около точки q с одним и тем же показателем ветвления.Аналогично определяется семейство допустимых накрытий стабильных кривых рода 0 с b отмеченными точками.Следующая теорема завершает наше изучение пополнения пространства Hg;d допустимыми накрытиями.Теорема 1.19 ([33]).
Для допустимых накрытий существует грубоепространство модулей Hg;d такое, что существует коммутативнаядиаграмма/Hg;dMg;n/Hg;dMg;n2Детские рисунки ГротендикаВ этой главе мы рассматриваем страты минимальных размерностей впространствах Гурвица — мероморфные функции на кривых рода g сне более чем тремя критическими значениями (детские рисунки) и с неболее чем четырьмя критическими значениями (мегакарты). В первомразделе мы вводим необходимые определения и обозначения, во второмразделе мы приводим вычисление пар Белого всех детских рисунков рода3 с шестью ребрами, единственной вершиной и нетривиальной группойавтоморфизмов, в третьем разделе мы изучаем топологические и комбинаторные свойства пространства мероморфных функций с не более чемчетырьмя критическими значениями2.1Функции и пары БелогоОпределение 2.1.
Мероморфная функция f : X → CP 1 называетсяфункцией Белого, если у нее не более трех критических значений.В 1979 году Г.В. Белый доказал следующую замечательную теорему[9]:Теорема 2.2. Полная гладкая комплексная алгебраическая кривая определена над полем Q тогда и только тогда, когда на кривой существуетфункция Белого.Определение 2.3. Пара Белого — это пара (X, f ), состоящая из алгебраической кривой X и функции Белого f .В дальнейшем мы будем считать, что множество критических значений функции Белого содержится в множестве {0, 1, ∞}.Рассмотрим отрезок [0; 1] ⊂ CP 1 , покрасим точку 0 в черный цвет, 1 —в белый, и возьмем прообраз f −1 ([0; 1]) ⊂ X.
Черные вершины — прообразы нуля, белые — единицы, их валентности равны кратностям соответствующих критических точек. Каждая грань полученного вложенногографа содержит ровно один полюс, т.е. прообраз бесконечности. Заметим, что с перестановочной точки зрения мы имеем дело с 3-созвездием.Следуя [12] будем называть 3-созведие гиперкартой. Приведем эквивалентное определение на языке вложенных графов:Определение 2.4. Вложенный граф, вершины которого окрашены вдва цвета так, что каждое ребро соединяет вершины различных цветов,называется гиперкартой.Следуя [32], гиперкарту, понимаемую как представление пары Белого, будем называть детским рисунком.В теории детских рисунков возникает множество интересных задач,связанных с орбитами действия группы Галуа поля определения функции Белого на множестве рисунков.
Другой класс задач связан с явнымвычислением пар Белого по представляющим их детским рисункам. Свычислительной точки зрения эта проблема далека от полного разрешения.В следующем разделе приведено полное решение задачи нахожденияпар Белого для симметричных шестиреберных детских рисунков родатри с единственной вершиной.2.22.2.1Шестиреберные рисунки рода три с единственной вершинойМорфизм факторизацииГлавным действующим лицом нескольких ближайших параграфов будут шестиреберные детские рисунки рода три с единственной вершиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
