Диссертация (1137317), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Две пары Белого с функциейf = z3на кривой, являющейся прообразом гиперэллиптической кривойzy 2 = (z 2 + z + 1),3при разветвленном накрытии степени 2w2 = (y + z)(z − 1);и на кривой, являющейся прообразом гиперэллиптической кривойy 2 = −z(z 2 + z + 1),при разветвленном накрытии степени 2w2 = (y + z)(z − 1).Раздел 2.2 посвящен стратам размерности 1 в пространстве Гурвица.Определение 9. Фундаментальная группа пространства конфигурацийиз k попарно различных точек на CP 1 называется группой кос Гурвицаи обозначается Hk .Группа кос Гурвица Hk имеет стандартный набор образующих σ1 , . .

. ,σk−1 : образующая σi соответствует элементарной положительной косе,меняющей местами i-ую и (i + 1)-ую точки.Определение 10. Последовательность перестановок [g1 , . . . , gr ], gi ∈Sn , такая, что порожденная ими подгруппа hg1 , . . . , gr i ⊂ Sn транзитивно действует на множестве из n элементов и такая, что g1 · . . . · gr = idназывается r-созвездием.

Набор [µ1 , . . . , µr ] разбиений числа n, состоящий из цикловых структур µi перестановок gi , называется паспортомсозвездия.Каждой гиперкарте естественно сопоставляется 3-созвездие:− множество, на котором действует группа, это множество ребер гиперкарты;− перестановка g1 поворачивает ребра вокруг вершин первого цвета;− перестановка g2 поворачивает ребра вокруг вершин второго цвета;− перестановка g3 переводит каждое ребро в следующее в соответствии с ориентации ребро той же грани, причем ребро считаетсяпринадлежащим данной грани, если при обходе этой грани в положительном направлении мы проходим ребро от вершины первогоцвета к вершине второго цвета.Наоборот, как нетрудно видеть, каждому 3-созвездию естественно сопоставляется гиперкарта, так что указанное соответствие взаимно-однозначно.В свою очередь, мегакарты являются гиперкартами специального вида.Определение 11.

Мегакарта — это множество E, элементами которогоявляются классы изоморфизма 4-созвездий, а само оно является орбитойдействия подгруппы P группы H4 , P = hΣ, A, Φi, где Σ = σ12 , A =σ22 , Φ = σ2−1 σ32 σ2 , σ1 , σ2 , σ3 — стандартные образующие группы косГурвица H4 .Оказывается [47], на каждой связной компоненте компактификациипространства пар {(S, y)}, где S — 4-созвездие с фиксированным паспортом, а точка y ∈ CP 1 \ {0, 1, ∞}, существует функция Белого. Крометого, соответствующий детский рисунок однозначно определяется перестановками Σ, A и Φ.Теорема 12. Детский рисунок, соответствующий мегакартам приg(C) ≤ 2 и deg(f ) ≤ 4, имеет род 0.Теорема 13. Всего существует 57 связных мегакарт с g(C) = 2 иdeg(f ) = 5 при 16 различных паспортах и 21 связная мегакарта сg(C) = 3 и deg(f ) = 5 при 5 различных паспортах.

Максимальное количество ребер среди соответствующих детских рисунков равно 40.Содержание главы 3Третья глава посвящена изучению различных стратов в пространствах Гурвица, вычислению чисел Гурвица и производящих рядов длячисел Гурвица. Обозначим через bσ0 (r) количество разложений перестановки σ0 ∈ Sn в произведение r перестановок (некоторые из которыхмогут быть тождественными), удовлетворяющих следующим условиям:− группа, порожденная этим набором из r перестановок, действуеттранзитивно на множестве из n элементов;− соответствующее разветвленное накрытие имеет род 0.Будем называть числа bσ0 (r) числами Буске-Мелу–Шеффера [24]. Черезbn (r) обозначим число Буске-Мелу–Шеффера в случае, когда перестановка σ0 — это полный цикл длины n.В разделе 3.1 приведено новое доказательство формулы для чиселbn (r):Теорема 14.1rnbn (r) =.n n−1Доказательство теоремы 14 основано на формуле Гульдена и Джексона [30] о числе упорядоченных разложений циклической перестановки в произведение r перестановок фиксированных циклических типов инепосредственно использует геометрическую природу стратов пространства Гурвица.

Нужно отметить, что это доказательство, с небольшимивычислительными усложнениями, может быть полностью реализовано сиспользованием формул для степеней ограничения отображения Ляшко–Лойенги на страты дискриминанта пространства Гурвица. Все это говорит о геометрической природе полученного доказательства и позволяетрассчитывать на его обобщения на случаи более глубоких вырожденийфункций и случаи положительных родов.В разделе 3.2 исследуются производящие ряды для чисел Буске-Мелу–Шеффера. Развит метод эффективного получения производящего рядадля чисел Буске-Мелу–Шеффера и его разложения по родам.

Доказано,что такие ряды являются решениями иерархии Кадомцева–Петвиашвили.Я хочу поблагодарить моего учителя Сергея Александровича Дориченко, без участия которого, пожалуй, я бы не стал заниматься математикой. Георгия Борисовича Шабата, который был моим первым научным руководителем — на мех-мате МГУ. Соруководителя семинара«Характеристические классы и теория пересечений» на математическомфакультете ВШЭ Максима Эдуардовича Казаряна. И, конечно, моегонаучного руководителя Сергея Константиновича Ландо, чье внимание ипомощь в течение последних четырех лет трудно переоценить. Эту работу я хотел бы посвятить памяти моего отца.Список публикаций по теме диссертации1. Б. С. Бычков, Е.

М. Епифанов, В. А. Дремов. Вычисления пар Белого шестиреберных рисунков рода 3 с группами автоморфизмов порядков 12 и 3, Фундаментальная и прикладная математика, Т.13,В.6, С.137-148 (2007); 0,6 п. л. (вклад автора — 0,2 п. л.)2. Б. С. Бычков, Е. М. Епифанов, В. А. Дремов. Вычисления пар Белого шестиреберных рисунков рода 3 с группой автоморфизмов порядка 2, Фундаментальная и прикладная математика, Т.18, В.6,С.77-89 (2013); 0,6 п. л. (вклад автора — 0,3 п.

л.)3. Б. С. Бычков Вычисление мегакарт, Сиб. Эл. Матем. Изв., Т.10, С.170-179 (2013); 0,4 п. л.4. Б. С. Бычков О разложении циклической перестановки в произведение данного числа перестановок, Функц. анализ и его прил., Т.49,В.2, С. 1-6 (2015); 0,3 п. л.1Пространство ГурвицаВ этой главе мы дадим определение пространства Гурвица и его возможных пополнений, сформулируем возникающие при этом и интересующиенас, задачи. В разделе 1.1 описана компактификация Делиня–Мамфордапространства модулей комлексных кривых рода g с n отмечеными точками, определено пространство Гурвица и его стратификация. В разделе1.2 описана связь задач перечисления разветвленных накрытия с задачами перечисления разложения перестановки в произведение перестановок. В разделе 1.3 приведены известные компактификации пространствГурвица.1.1Пространства Гурвица и их стратификацияГлавным действующим лицом наших исследований служит пространство мероморфных функций f : X → CP 1 на алгебраической кривой Xрода g или, другими словами, пространство разветвленных накрытийf : X → CP 1 двумерной компактной ориентированной поверхностью Xрода g двумерную сферу.

Пусть f — мероморфная функция степени d,тогда кратности прообразов каждого критического значения функции fопределяют разбиения числа d. Критическое значение называется простым или невырожденным, если разбиение принимает вид 1d−2 21 . Приступим к рассмотрению случая, когда все, кроме одного, критическиезначения функции f — простые.Определение 1.1. Пусть k1 , . .

. , kn — кратности прообразов над точкой∞ (мы будем называть эти прообразы полюсами) мероморфной функциина кривой рода g и остальные критические значения простые. Множество таких функций образует пространство комплексной размерностиk1 + . . . + kn + n + 2g − 2. Мы можем пронумеровать полюса n! способами, что определяет накрытие кратности n! над пространством мероморфных функций. На тотальном пространстве этого накрытия действует аддитивная группа C, прибавлением к функции константы. Выборомэтой константы можно добиться того, что сумма конечных критическихзначений функции будет равняться нулю, поэтому пространство орбитотождествляется с пространством мероморфных функций с нулевой суммой конечных критических значений. Это пространство мы и будем обозначать через Hg;k1 ,...,kn и называть пространством Гурвица.С топологической точки зрения каждая такая мероморфная функциястепени d = k1 + .

. . + kn является разветвленным d-листным накрытиемдвумерной сферы поверхностью рода g.Согласно [28] это пространство является гладким комплексным орбиобразием (при g = 0 или достаточно больших d даже комплексныммногообразием).Определение 1.2. Гладкое d-мерное орбиобразие — это хаусдорфовотопологическое пространство M , наделенное атласом hUα , Vα , Gα , φα i, где− семейство Uα — это открытое покрытие пространства M , дающеебазис топологии на M ;− семейство Vα представляет собой набор открытых подмножеств пространства Cd ;− каждое множество Gα — это конечная группа диффеоморфизмовподмножества Vα ;− φα : Vα → Uα — это непрерывное отображение, слои которого являются орбитами действия группы Gα .Атлас должен удовлетворять условию согласованности: если Uα ⊂Uβ , то существует такой гомоморфизм hαβ : Gα → Gβ и такое гладкоевложение φαβ : Vα → Vβ , что− для всех g ∈ Gα и x ∈ Vα : φαβ (gx) = hαβ (g)φαβ (x);− для всех x ∈ Vα : φβ φαβ (x) = φα (x).Две пары (топологическое пространство и атлас) эквивалентны, еслисуществует гомоморфизм топологических пространств, согласованный сдействиями групп, на соответствующих открытых областях комплексных пространств.Пусть далее Mg;n — пространство модулей комплексных кривых родаg с n отмеченными точками, тогда пространство Hg;k1 ,...,kn расслоено надMg;n : каждой функции можно сопоставить кривую ее определения с nотмеченными точками.Hg;k1 ,...,kn — пополнение пространства Hg;k1 ,...,kn состоящее из стабильных мероморфных функций [28], [14] (подробнее о компактификациипространств Гурвица см.

Характеристики

Список файлов диссертации