Диссертация (1137121), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Необходимым условием минимума в точке x0 являетсяуравнение f ( x0 )  0 .Т.е. f ( x0 ) /  xi  0, (i  1, ..., n) .Тогда знак разности f ( x0  h)  f ( x0 ) определяется членом1 / 2hT G ( x0 )h .Если матрица G(x0) положительно определена, то этот член положителендля всех h. Следовательно, необходимым и достаточным условием минимумаявляются:f ( x0 )  0; G( x0 ) – положительно определена.Необходимым и достаточным условием максимума являются:f ( xm )  0; G( xm ) – отрицательно определена.Одним из методов нахождения минимума функции n-переменных являютсяметоды прямого поиска. Методы прямого поиска являются методами, в которыхиспользуются только значения функции.Рассмотрим функцию двух переменных.

Пусть минимум функции лежит вточке ( x1* , x2* ) . Простейшим методом поиска является метод покоординатного101спуска. Из точки А произведём поиск минимума вдоль направления оси x1 и,таким образом, находим точку В, в которой касательная к линии постоянногоуровня параллельна оси x1. Затем, производя поиск параллельно оси x2, получаемточку D, и т.д. Таким образом, мы приходим к оптимальной точке. Очевиднымобразом это идею можно применить для функции n переменных.Теоретически данный метод эффективен в случае единственного минимумафункции.

Но на практике он оказывается слишком медленным. Поэтому былиразработаны более сложные методы, использующие больше информации наосновании уже полученных значений функции [39, 40].В методе наискорейшего спуска желательно использовать рассмотренноесвойство направления градиента. Поэтому, если мы находимся в точке xi нанекотором шаге от процесса оптимизации, то поиск минимума функцииосуществляетсявдольнаправленияf ( xi ) .Данныйметодявляетсяитерационным.

На шаге i точка минимума аппроксимируется точкой xi.Следующей аппроксимацией является точкаxi1  xi  i f ( xi ) ,где λi - значение λ, минимизирующее функцию (i )  f xi  f ( xi ) .Значение λi может быть найдено с помощью одного из методов одномерногопоиска (например, методом квадратичной интерполяции).Технологическая линия в микроэлектронном производстве, реализующимтехнологическийпроцессультрафиолетовойлитографии,представленапоследовательным модульным набором литографических установок. Доступноболее чем одно техническое решение каждого модуля, но, из-за жесткихограничений по стоимости (а такой случай не должен исключаться израссмотрения), и/или некритического характера части или всего оборудования,сохранение многократных технических решений модулей нежелательно.

Модель,102разработанная для этой ситуации, позволяет сформировать оптимальный составнабора модулей для однотипного оборудования, оптимизируя надёжность, присуществующих стоимостных ограничениях, благодаря которым полная стоимостьразработки остаётся приемлемой, а проект осуществимым [40]:nmax R   Ri .(2.6.1)i 1В соответствии с ограничениямиmi X ij  1;i  1,..., n ;(2.6.2)n mi  X ij Cij  B;(2.6.3)i 1 j 1X ij  0,1 ; i  1,..., n ;j  1,..., mi , (ii ) ,причёмmiRi   X ij Rij .(2.6.4)j 1Целевая функция модели L-1 отражает последовательное выполнениемодулей. Совокупность ограничений (2.6.2) гарантирует, что одно техническоерешение литографического оборудования обязательно выбрано для каждогомодуля.

Ограничения (2.6.3) гарантируют, что общие затраты не превысятпороговое значение.Вторая,рассматриваемаяситуациясоответствуетслучаю,когдаоборудование ультрафиолетовой литографии выполняет одну, но наиболееважную функцию, отказ которой может привести к очень серьезным негативнымпоследствиям.введениявНадёжность однотипного оборудования достигается путёмсистемуизбыточныхтехническихрешенийдлякаждогопроизводственного модуля. Соответственно, ограничения на стоимость системы,103выполняющей такие функции, должны быть достаточными, чтобы допуститьизбыточность модулей.Цель модели L-1 – определить оптимальный состав производственныхмодулей с учётом избыточности технических решений, максимизируя надёжностьоборудования, не нарушая рамки стоимостных ограничений.Итак, сформулируем задачу, аналогичную описанной выше, но разрешивизбыточностьтехническогорешенияпроизводственныхмодулейлитографического оборудования [40]:nmax R   Ri .(2.6.5)i 1В соответствии с ограничениямиX ij  0,1 ; i  1,..., n ;j  1,..., m (ij ) ,гдеmi X ij  1;i  1, n ;j 1n mi  X ij Cij  B;(2.6.6)i 1 j 1miRi  1   (1  Rij )X ij.j 1Надёжность i-го модуля определяется как вероятность того, что по крайнеймере одно из mi технологических установок функционирует штатно, асовокупность ограничений гарантирует, что для каждого i-го модуля выбрано покрайней мере одно наилучшее техническое решение.

Один из вариантов решенияданной задачи – использование алгоритма динамического программирования.Рассмотрим литографическое оборудование, состоящее из несколькихфункциональных блоков, каждый из которых выполняет некоторую функцию.Каждый блок содержит ряд модулей. Функциональные блоки могутвызываться соответствующими функциями оборудования, а модули – любым104блоком. Цель этой модели состоит в определении оптимального набора модулейдля функциональных блоков без использования избыточности таким образом,чтобы надёжность оборудования была максимальна при заданных ограниченияхпо стоимости.Через Sk обозначим набор модулей, соответствующих функциональномублоку k.

Для каждого модуля i  S k имеются mi доступных технических решений.Обратим внимание на то, что один и тот же модуль может вызыватьсяразличными функциональными блоками. Пронумеруем все вызываемые модуличислами от 1 до n. Задача может быть сформулирована следующим образом [39]:Kmax R   Fkk 1 Ri,iS kпри ограниченияхmi X ij  1; i  1,..., n ;j 1n mi  X ij Cij  B ;(2.6.7)i 1 j 1X ij  0,1 ;j  1,..., mi ; i  1,..., n .Здесь Ri задаётся выражениемmiRi   X ij Rij .j 1Полученная постановка задачи может быть решена методом, подобнымтому, который использовался для задачи (см.

выражение 2.6.1) с незначительнойкоррекцией./105Отличие рассматриваемой задачи заключается в том, что избыточностьтеперь разрешена, и возможен выбор более чем одной версии для каждого модулялитографического оборудования.Сформулируем задачу:Kmax R   Fkk 1 Ri,iS kпри ограниченияхmi X ij  1; i  1,..., n ;j 1n mi  X ij Cij  B ;(2.6.8)i 1 j 1X ij  0,1 ;j  1,..., mi ; i  1,..., n .Здесь Ri задаётся выражениемmiRi  1   (1  Rij )X ij.j 1Из-за наличия ограничений, так как мы имеем дело с K > 1 функциямилитографического оборудования, ни один из методов, предложенных ранее, неможет быть «напрямую» использован для решения этой задачи. Кроме того,целевая функция – нелинейная, и решать эту задачу непосредственно, например,как задачу целочисленного программирования, невозможно.Перепишем целевую функцию в линейном виде.

Обратим внимание на то,что выражение (1  Rij )X ijв (2.6.6) может быть записано как [39]:1  X ij Rij ; X ij  [0,1] ,так как, если X ij  0 , то (1  Rij )X ij 1 . Если X ij  1 , то (1  Rij )X ij 1  Rij .Следовательно, (2.6.6) можно переписать в виде:106miRi  1   (1  Rij X ij ) ,j 1и целевую функцию можно представить какmiKRi  max  Fk  [1   (1  Rij X ij )] .k 1iSj 1Полученная целевая функция все ещё не линейна, т.к.

включаетпроизведение бинарных переменных. Однако, выразив произведение n бинарныхпеременных Zi какnZi; Z i  0,1 ,i 1определяемny   Zi ;y  0,1 ,i 1двумя линейными функциями:Z1  Z1  ...  Z n  y  n  1 ;1 / nZ1  1 / nZ 2  ...  1 / nZ n  y  0 .Разделение на надёжностные оптимизационные модели для оборудования вультрафиолетовой литографической технологии позволяет более адекватновыбирать соответствующую математическую модель для реализации наилучшихвариантов при разработке литографических процессов.107Выводы по главе 21.Разработанаструктураинформационнойтехнологиивультрафиолетовой литографии, в основе которой лежат методы и программнотехническиесредства,объединенныевтехнологическуюцепочку,обеспечивающую сбор, обработку, хранение, распределение и отображениеинформации.2.процессаОпределена структура процесса проектирования технологическогоультрафиолетовойлитографии:согласованиеТЗ,техническоепредложение, эскизное проектирование, рабочее проектирование, изготовлениеопытных образцов, их испытание, разработка ТЗ для производства и авторскийнадзор.3.Предложеннаяметодикасниженияминимальногохарактеристического размера элемента позволяющая повысить техническиепараметрымикроэлектронныхизделий,формируемыхлитографическимспособом.4.Рассмотрена математическая модель формирования изображения вультрафиолетовойлитографическойсистеме,позволяющаяучитыватьхарактеристики произвольного фазосдвигающего шаблона.5.Разработаналгоритмпоискаоптимальнойреализациилитографической системы, учитывающий ограничения, накладываемые науправляющие воздействия и основанный на многокритериальном выбореоборудования ультрафиолетовой литографии.108ГЛАВА 3.МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХРЕШЕНИЙПРИПРОЕКТИРОВАНИИПРОЦЕССАУЛЬТРАФИОЛЕТОВОЙ ЛИТОГРАФИИ.3.1 Модельмногокритериальноговыборанаилучшихтехнологических решений для ультрафиолетовой литографии.Переходя к этапу проектирования, называемому принятием решения,разработчикрасполагаетнесколькимивариантамитехническогорешенияреализации технологического процесса ультрафиолетовой литографии.Представимотображениемножествавариантовтехническихитехнологических решений для ультрафиолетовой литографии на множествооценок, тогда выбор оптимального варианта имеет вид:( :→ )→(3.1.1)Для принятия оптимального решения в ультрафиолетовой литографическойтехнологии приходится сравнивать варианты по множеству признаков, причём поодним критериям лучшими оказываются одни варианты, а по другим другие.Важность используемых критериев также различна.

Характеристики

Список файлов диссертации