Крищенко А.П. Линейные пространства. Линейные операторы (1988) (1135790), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тедейй ЯО. Спбствелпые векторы самосопрякенного оператора, отвечающие различным собственныи значениям, ортогональны. чй Пусть А — самссопрнкенный оператор, Л , Л вЂ” его дье рааличных собственных значения, е Я ,,г - соответствующие нм собственные векторы. Тогда ГА ху Яг) = ГЛХ тр' дг) =ЛХГху, Хо), Так кек А — саиосопрнкекный оператор, то ГАх~, х,) =ГХХ, А,х;), Поэтому Г~обх -хг)= Г"%' А-хо)=Г.рог, Л.
х'. )= Л2Г.хй,х ), пычитан иа Г21) сгстнокенио Г22) получим лбгх ос )-л Гбху т,)-рч Откупа ГЛ -Л )~х,.х. )=Гт . Л тек как Лу г Л,, то, следователь- Р р' г ВО. Гоой, т,)= рП . йни 'рррррррр.- б р,...,р конного оператора А , действующего в и -ыорйом евклйдозоы пространстве Г , попарно рааличны, то в Е существует ортонории ровенный базис, в ноторои матрица этого опереторе (23) Этот пааво состоит ва единичных собственнмх векторов, соответствующих Лг ° ° ° р ий Поскольку собственныо аначеник попарно рааличны, то поставив в соответствие какдоиу из них по собственному вектору, получим снстсму попарно ортогональвых векторов. Ортогснальнаг систеиа векторов лынейно независима. Указанная систеиа венторов состоит из и элемевтовр так как собственных значений гт .
Следоватеб.знс, зта система векторов квлпетсн Ор~огональным бззисоы в рч -мерном евклидозои пространстве Е . Нормировав каидый век~ор этого бааиса, получии ортоыормйровенный базис из собственных векторов. П базисе иа собствекввг векторов матрица Опера~ора А имеет вид (25). ив Ыоако показать, что если какое-то собственное аначенне саиосопрнквнного оператора имеет кра ность к Гкак корень херактеркстического „равнения стого от~Оратора), "О этому корню всегда мокко сопоставить к линейно независииых собственных венторов, поэтому верна теорема. р ° р ет ортонорыкрованный базис, состоячнй из собственных векторов.
Иатрица оператора в атом базисе имеет вид среди Л могут быть н совпадающие. б Показать сниостоптельно РРРРР«ВЫ. Р Р О ..., р 25 если очо удоь«7етэсрчет «слезки О- Г 7 Г,'Войдтда оутогоналъных из7якц 1,,х'Гб О = Л 7' мэу Так кек О О=- Е, то с(с 2(ОО)=«, т о, хабО "Ф«2О=«7 «сй'гО) = «7, ~всО- ™ 2, О "' =. О « . а уянокни равенство О'О= Г справа нэ О ., 77с«7учни ОВООО-« ~О-«к дв Ог О- Ув 5,0ОT=г, .ча «иконки равенство О =О слева нз О , получая ОО ':ОО' ес«7В ортогональная матрица О якает порядок ~ , то ео столбцы (строяк) конно рассматривать ккк коордикаты Воктороэ Вз «т -ыарного еэклидоза пространства.
тогда соотяоаоеве с«О« --~. Ч ОО 7 ~ 7 ) некио кктарпратвровегь тзя: срэогональяая матрица состоят нз ортонорынронанных столоцов чстрск). Ппвнеэ. Матрица (с«г«р7 - «277 с«1 ~««Ч Р« СаГФ« является ортогональыоя. Где появлявтся ортогональвне изтряцыу Пусть сс - езклидояо прос~ранстзо, э -" ( гв«,..., е ) и Р~ * ( б7' ... „ б" ) - дяв ортсяорнврованвых базиса н ~ .
Пбоэ77эчни чареэ с«" Матрикр пеуехадн от Р к е ' . по определенна столб- цы матрицы С 7 ОООтсят Ыз Мсордкквт Вектороз НоВОго базиса ач ' от77О- сительно старого базвса б' , что конно записать в энде 6~ =((ах') „ (ВВ )-). тегда еу "О'=е „ т.а.
с.« - ортогональная "~Р' иотрипз, что польяостьв соответствует эчзазнвоиу ныне. ятен, матрица перехода от одного ортонорнкрова77нсто базиса к другону является ортогональной в лабун ортогональную матрицу ионно рас- сматривать квя матрицу такого перехода. о«ч,„,„, п,к, ~,, 7„„7„7„,.7„, 7„„,, езклидозои пространстве к другому сртонорыироэ«пнОИУ базису этого пространства наэыввенся ортогональным праобрезовзянач. Прнвееп, Паворат нв угол 7«7 явпяатся Ортогональным пресора- зованнем. Кто квтрнца приведена з предыдущем пркмере. Пусть А - свносопряканныя оператор В езклидовок пространст- ве, м — эго матрица в некотором ортоаорынрованвои базисе ах Обоэнкчяи через бг ортоноринровзнныя базис нз собственных Вектороз 26 счератора «7, чапек (/ - катр«чу перехода от су к .".
' . 2«вне ."У - орто7 Опэк«чая Нзтпкцэ к, а«одоьэтсльос, 72''= 7/ . Постону, нетркца «б' оператора л В бзэ«СЗ "-' р««яа «7'-"= 27 А 7.7 --. О ',Ж 7Л но «2 - дязгээаль«ен катрина,,т' , . 7 л7 «У следстзэе чдля кктр77В) 7 длч лысов скцчиетсй«77«ок мэтр«77В,Ф сувес«зуат такая ортогскехьна77 иэтрвца (7, длн ко«срок ь",4 7. „.,7, -'- чдх, гае 7ч — дкзго«:лькэп кэхр«7цэ к на ее 77В777оячл«стоят ссботвенкыэ чис778 яэтрнцы 4 Дз Выаеазловенного следует, чгс для 77сстр«епня чатэ«цч с« оадо: 17' нзйтя ообстван«ье чэсла иатрнцы . я ~ собсгьэчк77В знечен«я); 2) н«ктн созе«Веня~э «актеры, огне«а«7«7«е сосстьепэын чнслкн, поставка э соответствие каядОНу собстьеняоыу зкччакк«7 таКВВ количество собст«екяы7.
Вчк оров глкнсако ьеьЬВ«сниых канд«,ооой), ко«орса равно кээтнсстз собстьончого зяачэн«к хек косая хзр«к- тертстк еского «рчвкеякк чзгряцы 3) сргсворнкровать полу«екнув систему нз «ч собственных Взк- тороз матрацы:«2 (,7Ч - кькдратяая катрина порядка ~7 ч) выписать катрину 7 , столбцы котороя - коорлкнеты вая- даннод скатаны ортонорнироэанных ообстаакны« Вектороэ иатркцы,7Э.
~~рняиа2. найти ортогональное пресбразовевва, приводящее чат- 7«г А:~г Г -Ф ч днегональвоку виду: Ф-к Р С«7ЕСйа- Лгу=~ г ~ -+ ~=- л: 'г л-г«л.«О, -««бс Л л -«гл «г«л-«() .--0 =э л Л вЂ” угд г«Л-Уб =(77-«)(Л~-«72Л««О) ч« Л -'чЛ «О=Π— л =у, л. = '«) . Рассыотрни значения л«г=У (,)-г-) =О б р С ~«'~л, ~.ху-~, х. «г 3 ха=с«7х' '«Л« — ««Х «««Х =О Ху=«7, Л =. «, Х 22 ' 2 ~ линейно неаезвснаы, но не бобстзе«кые зе«торы о . ~~ »). б =~ » ' язлнвтся, зссбке говоря ОР' Ртогсненьнннн, та« кзк состВетстяувт Одс я том» КЕ Л» .
~ 1. бртонсранруаа ВХТ РВОСЯОтрвн ЗНВЧВВВВ сосгавнк нагряну »»оо 3/У У проверке: (2 «» у= (ст (.г = су 'ну»у»о» й „?~ ~ Л ф Л оооо*ванные закторы, и трехнернсн сл»чаа при ср«зу попарно ортогональныа а удоонее каходить и следующем псрядз' » »» ке: ~-'г Л» = » =2 е» =„( су»» ' .х 1»,/ тогда В ксчастВО бр мокко взнть В Р» 3 « ВКтО ВК л бт. , ГдЕ н векторное произзадение. 5. Кыййрйфяцйнй фбрнк 5«. Вяз««яю м,'ия«и Р (2О) незывнетса ЬЪратвчной фарибй гз переменных. йа ~ДРатичнуи форау (24) ионна записать в вида Х7 «»Х (25) .А =-»а ..), - сннаетрическея где.х.=(тб х", ), .= ' ..) матрице порядка «т , кот ан о Оран назмзнется матряцей квадратичной 2й .Х= (ф ПРИВОДИТ КВВДРатИЧНУП фОРНУ (25) н вяну У ф2 лф фЬ = ~ Л~ = Л сф ",,) (некоторма иа л Оног«ут быть равны» нулю).
ч с (22) форин (2В). йвадратнчяун форму (2В) конно Рассматривать нан чнслсзую функцию г (,х') веятсрнегс аргумен~а тсб», (,~, - линейное гростравство), которая з неяотороа баввса в «соря«наткой форне «ВПясчваатсн З Внлел«бх » = ..ч. ~ б.л- . Ранг матрацы «й яз 025) «азмвзетсн Ров«он квадратичной форин и ОбсзнечВВТОВ "й» чд Ой * ьсли тсг"ир т = гы (числу порея~нных), ТО нза»прети«пан Ч»УРаз ЪОВВЗЬВ»са ЙВВЫРЪндеязсй, з ЕОВИ тпцс то выровненной.
ййнней. Квздр«тинная форме греХ ПОРсчзн«ых бг «бь н тннает в качества своей яатрзгк ;у су л ), уск нак кс тф.м=2-л, лй =- «с» в б» ) фбофд Вта квадратичная фОрна валяется в«осененной. в«матин, что х' «Ф.х„л = »;ху, т.г, -жу) «2,0 с») 2 б) бф ~Ось» ~.2. ~мзвяяяя ям«чщ я «ця йусть и линейном пространстве А даны дзз Оазиса ь.' я В' '. рессаотрня квадратичнуп йорку.т ~А,х , где,,г.
- «ссрдвввгы Векторе,х з банное Е' , пусть б7 — м«граце пар«хода от йг к Тогда Коорднйаты не~тор~ .Х Н Старом Озанса Н ясном базисе сннаекн соотноаеняен .т.' = Р.х' х= фу~, х = Ру (26 ) Поатоиу квадратичная форне относительно новых координат (новых переменных) э«знается в виде,д- гт х =( с«ф ) я ффф= ф "су;я с«'», бладозатедьно, матрица квадратнчвой фоумн (2й) прв замене параиеянмх (26) преобразуетсн по формуле с й с г «й У , гда,~9 - матраца квадратичной ф~ркы Отнссятельно новых переменных.
фак кек ха~а У' ш уУ Я У'. жгуЯ;ВяффРТО раыг квадратичной формй не зависят от табора иоорднзат (перамеянях). Матрипа квадратичной форин Я нвлнетсн с««метрической, поатоиу, как уке бнло показано, существует тзкзн ортогональная матрица бг , длн которой бу »фбу= «ь .»ф - диагональная катрана с г собстванныкн чвслаив матрица лф на двегоналв, бледовательао, ВО- иена пареаеннмх 0 (ВИВЛЗКЙК ИЭЬЬГ ГИЧНЫГ фэпки ВЙДа ех» х;; "... СЧ .у.., тхьбФ' ( = ..„,т (йр) (без попбряых произведений) наэывВйтся квадратнчеыни фОрыаии канонического вида, прм сток ~Временные х ,..., ~ нвзылавтон КВНОННЧЕСКаЫ ПЕРВИВННЫЫИ.
РЕЕЙ'Ча. ЕфООЫУЛЙРОВВТЬ НЙГОРВГК Какокденвя ЕВЯОИЙЧЯСНЯХ Переиенных к кввонического ькдэ кввлрзткчзой форин (ИФ). Итак, для лЙбот, хаадраьаЧНой форин (ИК) суяестВУет ВВИВНЕ переыенныл (йр) с Ортогонабьбох ыатряоеэ рг, которая срнвоеит (Уч) и кнноначескоыу виду (ИЭ), йэено Отыетить, что если ивадрьткчная форыа зкданв на Квклвдовои прострькотвз, 8 66 коордвнатнак запноь принеланк в кооодкяатнх относнтзльно ортонорыйроваяного ОВВнса, то сукесгвует такой другой оргоноркнровВЯЕЫЯ бнэвс, отиосктально которого квадратичная (срыв Ввпиветсн в каноннчОскоы Вида (йп). Ятот ОВВЙс состоит из ВекторОВ„ ксйрднваты КОторых в старои базнсв ООвнадвпт сО столбпаын матрнны Ег, т.е. этот бизео состонт из оргонорывровзнкой сйстеыы собственных вакторов иатрнкы А квадоатнчной форин.
ныйзчэ. Сформулируйте алгсрити построения зтсгс баэно6 В сс ответстнупяей еиу знисвы пеаеиеаяых, приксдяте прнывры. Если квадратичнвы форне от гт сераыенных Йыеат нвнонкческмй ьнд (йп), то среди с.', когут быть раьвыа нула. Оставив в (29) только неравные нулэ слагаеиыа к паревиеноваз пареыенныв (аслн нувно), получим следувяий квнояический вид квэдратвчной фарии: ьь МК Гбх~=геу~:Й" 'С(т-К: Х, ( О(тгу, ) = '-' уб (у ' 11, ) Где Сч Ф О, 6 = 1,..., Е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
