Крищенко А.П. Линейные пространства. Линейные операторы (1988) (1135790), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Л , и вычтем ив всследыаго равенства» /'у7 'г ОГВГлг л г)су~... + Ос утГл л у»,~)с Д Это равенства Справедлмэо льФ, магда Ос ГЛ -Лм )=Губ д.= У,, у, ' (1б) А бб',"Ут УГ тая наи по прадэолонаиэаМ маиематйчеанощ йвдуппия векторы с ° ° б С уу лнвеино наэевиоимы По твы пеп У» ы Л у умгпРп то ив (16) следует, чтосы„, с~..., - ОГ„, и.
Но тогда (1ь) фанта»асин имеет вэФх гс -"Г)б е тан ипы с, у гФО б тс Убт б,у' учу* у =() . следовательно, эсе нсвбурвпваыты э (15) раппы нулю, что прстивОрачат првиатому ппадиайонепяю В ТВОППРВ ф, Дда тата »таба матрнна Аб Ливадыата Оааратара А в базиса б ( К, ..
.,гу ) бмлв дмагональиод , необходимо и достеточао, чтобы бвавсвме вемторы бг были собствеывннв эенто- реми. лвяапного оператора А ° и даменам дестаточяость утверндевия, Пусть су - собственные А~ » Р Р.ф, Р,~ Л~8„~б~, ~;„.~0~~=8Ц 'о/ 1б т.е. Валяется диагональвси, поыанеы необтодивость утэарядааия, Пусть матраца Я лиыепногс оператора А в баэиое Гу является диагональной, т.е. Выест энд (1У). говда Ад =ЮГ ТЮ )=6(А( у Ц= 7 что и означает, что эск»ары б' ...„7 яэляютси собственпынп соотватстэующннм собстванпны апаченнян Л, „... Л у» ' бббббубб.б У У~ УУ б ратора, дедствуюаего в гт -марион лияеднои пространстве, инсат ~, попарно раппвчных действительных парвед, то в атом линспыон прас»рвнс"ве существует безас, в котором иатрнца оператора является диаговальнод.
ущ Танин бавдссм являатся система ив г» собственных повторов, Отвечающих уыавевйнн попарно Рбвдичпым норман )»Гб ° ° ° б Л хареэтериотвчеоиого уравнения. Прв этсы матрица линейного ойаратара булат Ийеть энд (17).ПВ Ыббббббб У У» Уб- бб УЮ У Ю У"б" (ее алеман*ы - дадстэптельпые числа), харектервстачесное уреиненве котарап имеет д паперно рапличных деустватальных иорнеп , то суааотвуат Ваэырояденвея матрицы .уу парадна гу„ для истории Ф Л./- Ваф Пнбераы Лнванное просбРанстло Ь , ОЫ~ У,=учу ЫЕЫОВОРВД баево в пев б" ( ф ,...,Р ) и зададим лныедыыи оператор Аб бэ.'ы, у.) тая„ чтобы в безнос бг его матрица А - .д, . Тогда существует баяна, э котором ме»"раца у% етого оператора диагональна.
Этот базис состоит эа аобствеяннх веятороэ, а гп =Л . 0бовыачиэ че реэ Рметрппу герехода к новому базису, получен, что Р .ут.у"= =Л б т.а. у.'»-уГ„~ р.. А»уе,„ тапузс»*, тр»зугсльыакз, Йоотрсавного нн,л' Ву . й зт««м случь6 в'„.- ЫВ тсоРВЫВ Гнбюгорз П:й«~уй -.))„КЦ ))»урл ,Г«-ьс»'»'".Г»»»«Г»-О»'» Огв юса«Й»»»»«снм-и« ' '" «Вяхи В,с -ысряом лиясйыоы аростравстзс зсс базисы раз».справны. Е ВВКЛВДОВОЫ ПРОСтрввотэа срасстзугт ОсООВННО удоб«ьа бзсиоз 1сртонорыврозозн««6), Онн играют ту ва роль, что н дснартов прямоугольный базис э Вьвлитнчсоясй гсоаатрви. н«»»«»*»» .
»»»»» за ВВВЫЗВВтси ортОГОИВЛЬНОй, ВСЛВ Лобмв Два ЗснтОра яа Втсп Систаыы 0»тгсгснальну. КВОгаыв 1К Оотсгсвзльнан Рвстсыа Вавтороз ВВВВЙВО ВВВВЗВОВВй Пусть ф ., „ Е - ортогональная систсва зактороз. Покавам„ что рвзанство »ы„ б», 6., 6 «м ,Г =~ сч ед« зозноино линь в олучоа умвонви разавОтзО слалзрво яб В", . учмтыэыз свойства свалярвого прояззадаина в ортогональность снст иы вскто»- роз, получяы соотвоасина сг ( В», Р. ) О.
А тнв яан ( сч , »:,) = 1 1* 1 <'' '' =))Р ))«Все, тоФ ~ О, что долина быть гарбо для воах . $в 4 с Отматнм, ЧВО Волн гт влвнантОЗ Обравувт ортотснальВУЮ сиотчму зактсрсз, тс Вти, В вактсроз Оорвауют базис„ причам ОртсгОяал1 лмй базис Ввилвдоэа орое равстзн, аслв зто пространство »т -ысрно. Ос»»я«««$. »» тонормироваввын, осли Вдаманты ого попарно ортогональяы В Вь норыы (д»чипы) разны Вднцица. Прям ры. 1.
а = а, О, -1), б' Д, О, 1), е - 1О, 1, О)- Ортбгсяальнмй баамс 3 лр . 2 . Г » Т« ~г - ортояоривроэавнын базис в пространстве, таооацз 16. 3 гт -МВРВОМ сзилндсыоы ОЫОстранотвс Суцаотзуат ортонорнзрованвый базис Пусть„-,..., Г:" - ВВЯОтоРый базис. Построим по атому базису ортонормврсзанный бавнс В',..., ~ . нагон псстросиив зтого бззвон по базису .~,..., Г вззываатса процессом ортогоннлизацвз онс«' мм векторов +',..., Г . Половим :,:=Ю))~))» Р~=ф /))~ Ц, гда ~г =.~» ~Уг,«»г»с», » щ КЯ 16О ~), ГЛ ~„~' -У„,бы)Е,—, -С~'„Е,)ВЧ 20 йохо, что й е ))= 1 . рассмотрвы ~ч .
Осот вектор линайао зависит От »". » »« » В Значи н От » » У »Вн ЫВК У г лмнсйиО у г'- всоазясвиы, то я . » ».,- Воснольыу сактнчссвн нвлватся ия нвтривизльвой лвяайвой нойбв««внвай 1КОВЕ«рипнаят прв ~'„ стлвчсн от нуля). ТВП ВВН.О, ВЧ,1.=~ ~- »',Г;: «». ю « — .~,. ) «т,;, ), ГГ тс ы» Орт»)гоыгзпзя бг, слвдозвг.ельно н г Вт., р,)-' «. Йрсдполониы, «та Й«а С'и ..,,, ВЗ Уис ДОВВВВПО, Чтс ОВИ ПОПВРВО ОРтоГОПВЛЬНЫ ВП~", ы= т', /с 1, ° »г»7 ° ПОкаизм, что вактсо с» ортого г .»«. Р,..., б»цг а нарыв равна 1.
Послед.аа 6 д О: ~~~-,.))=11ф .. ПУ,.У))=Ц „у))/ф „,'П" У с)»»г ='*А~»»г Ы»». г с«г)с«»' 1""»«:у' 'сг)е» " Ы»»~г е»«)»г «т, тс»0 ., Лввайи0 ВЫРВИЫстсп ЧВР66 /» „° ° °, и ~ М,0 , тая цак р~,,,...„ ~ лвнайно яазввисяыы, а воз« «нцмсвт прз ~»„„, разан 1. Крове того,' прв г.' »У , ОРтОГОзадсп Ст,..., ~ . СЛСДОВВВВЛЬИО, И ЗВКВОР Е ="а' 1)~,„- ))ортога««алан В~,...„бз . Ем 8 Овййстйа Остйы1»ры 6002«ВННОгО базиса пуоть ~ =. ( Вт,,..., «г ) - ортснормирозвяный базис в л -ыоряои Вввлиловсы простравстэс. ».л', ур=.ч 1~~ ~; » ч' 2.
матРнчная СОРЫВ Занион снв»«ПРМОГО Проиавадаавзв оолв » ;-» ~~ ~» тО Пл;Л=.л;у, .т„о =~~~=..д;„...,,ж ) (~' ~ 3Лх)).= 'Ь,х:) = /~-р«., „д-л' «у»' В, Если т:=-:~' сг "... » ~ »» то Гж, Р,)=.д.. с =У, „,, В. г, у "' »т»т 1» 5,4, АС эзя ВО'ми Озвнвоб и Ост 6н т 0 Пусть М' -»«О„.ы««роыаяиса ПРостран»ство.
Когда любому лянайяом« опарзтору,ч » и' -я" мозно сопоставить число, которое ныамваатся нормой ливсйнаго опаратара, обозначеатсн)),ц Ц н по опраьаленив О«-~гу )).х)) 1»О) норты осаратора вмаст слсдуюцна свойства: 21 йс«лб ньНЛФ -"»!!4»МЬ»»4»И'»»У)!) *' „, °, » з ввуе рьс ынтргнаекс»й корм Т. » кл . л " у' '' '»' у),»нбчве»;скпв — »» К»~ =' »эор»Ч«!; :".Еда»«З, »Т»эназатз, Ч.а дья пасса назар«»твой В»»трваи. - С«,, ~ ынтрнн»»» 'й „»Т ч. ддндр»йи и.
Ратай. Р ннк»;»ибьси»»у«жтрибтнр »» В - ' "»ь'»з'»:"»'"' " "'ьа» »эарч»нленвэ» бператср (атс»брэ»к"»»ве' '4 * — Е .рявеаввк для 4 ° сс»лн:»лп """"''-' 'ф " (4г:~)=-,м,4 л», дз этого анап»талвнвя етс нс слейует „что.4 суяествует тля ,4 . Пс»этаку, предпол»саик, чта 4 ' сулестзует (это будет доказа- на чуть павка» и новакам, что тогда А« — лвнеанын оператор, ч,е. ,4 (скЯ»г3у;) =а(А "ф ф 4 ,—.".: (л 4 "'»сф,,вс,») =(4х', с(~, эсту.»=-о»(4=., ~,),.
'„-~(4ху...»=с«(:.~4» .,» ~ВЫ,А ' уз)=-(л:, с(:1'»',,», т('-,.»ТА ~,)=»"ж МА "~,.-,эА',»,» нескольку равенство(л",А (ссЯ "4у' »»=(л;~л ) «з у»«г гэразадлиза длн заел лчто по алелатзвв 5 нэ ак. ак скал рвано паовэввденвя 4«(сс»»у»=с«4 « . »э 4«, Есв» древне чвк довези еть су«застлала ве А«, ас»ак»эи, что справедливо лема: если квадратные матрицы с»т, М порядка л таковы, что чаи Назьыеы д- ( — с' -я строка, = у ау' -я строка, су » г г» о 'гагдв ив х »« »,в »«» с прн »Чс=(ггг»' ) » »«» — (»» '') с » /, получасы 'г» -, с, о«ку»»е ~-,»М .
ввкв «''-'с( ' Теорем 17. Й)сть ~' - евклидова пространство, Ае~(Е, я ) и з (= Тикси»»сван еэ - артаворынроленныд базис. тогда для А сувесгвует сопрякеяный оператор А «в его квтрица Л « в ортоноркировпннаи базисе еч резва -ж „ где г$ - матрица лввеиного опервто- 7 Рэ,4 н этою ке базисе. ак нв равенств (Аяа»с»»(м.т),у-,х сэр, (Ах; (л) А«, )в.х.г»к»у следует„что для лв клас; б с«,Х7АТ =Ы4 ас». Тогда а ланке «4 ~ и . дозвону по теореме сукествует А ", к а сга катрзца =гу = "~ . В' Свойства сапрчиенннк оперзторон (доказать самостоятельно): Т) .= ~ ", г)бм УУ)~=:А»У; У)(Д4» = ЛА '; ч)(4«) =А б \ (44»~' =сэ',А.
»т вщ»вв,»»»»ч»ув б»»ределенна. дня«нный оператор А, денствувкнй в езклвдовам »»рост»н»ьств«» „нпэ»ыьасч»ся саыасоарякеннык «вли сс»ыыатрнческим), если А«= 4. г «=, Тэараив УО. Й»напяык опаратор, даистнувщий и авклкдавам нас»стрэпстне» ньянетон сампсон»раке»!ныы тогда в толька тогд«, вагди н зыбок ар«о»~»орынроьенноы базисе его матрица ониветричеакая. м Кслв А - аеыосспрвкеняый оператор„ то,4 « А , ио тогда з лысов ба:нсе ( ортонсрмнронанпои)м ' «т " и„ одновраыенно, .4 = 4 , т.о. Нслн вн н ортаноры1 роганнои базиса матрица Я лвненвого о.мратор.
А с»»ыавстрнческая, то сопрнвеннын оаервтор,4 « выест в э.эы бэзксс катунск »а = т '= эу, сладовательно, А иА « ииают од- ну н ту ка ивгрицу, т.а..4 « А .Вив ЭВВВча вПлв тсгп, чтобы НРОВВВВДВние Ад Дьйх «Выссспрбпиеп ных опоратооов было Оаыссопргкенныы оператором, необходимо и ДОСТЬТОЧПО, Чтобы зги Олервтолр коиыгтирсззпри." або . Ср4 РР Рх " Р Р " ' Р ' пб венного операторе пзхпютса дейстзательиымн Вислами. ЧИПУСТЬ 4 - СЗМССОПРВИСВНЫП ОнепатСРр Дзйотв)ыивй В бт -МВР- ном Ввклндсвом'прост)рснстве, оТ - его матрице з иркотороы ортонор- иированном базисе, Л - карекь характернстического уразпвнил о Ыбп ~4-ЛЯо0 ° ПРЕДПОЛОКНМ, ~то Л - КОВПЛЗКСНОЕ ЧКСРРС.
РВС- ро скоррни систему из и линейных однородных троваеннйр с л нейзврест- пыыи Г хг, » ° °,,х' ) .х' ". Гой-л е ) х = й. так кек опрр сел. Вв Вь атой системы равен нулю, то существует ее ненулевое ревекке .х „,Гой-Л ~-) - Г). ИВВРИОВЯ - Л х - ноыплекснан ~из-аа Л . ), поэтому равенне .х , всобщо говоря, ннляетси токе комплекснрез, Обозначки через ч" ,т -мерный Столбец, комплексно сопрякенньй о т. к -с, умновым ревенствоГ«й-Л Е)х.
срслеле на л' о А" Гой-Л х) Г)р т.е..т«ТХ =,хч г~ Л . Поскольку ~ о Гх-о ~„.о)г, е .т- Гя о ч-о)т , где р обозначает КСВПЛЕКСНОВ СОПрНКЕННЕ, ТО 3Х с = Т -'~-О ~-РИ язпяЕТОЧ действительным числом, тан как яо х-о - ,пстзительвые числа. РВССМОТРКМ бб)=.Щ" Я .Х . ЯСНО, Что СО -С =Р.Х Гй,тр)-ОСОЯХ' =.Х,бо:Г. С другой стороны,'сЗ = А~,х = =о;я-.Р =.х'Л -.о' , о= о' о-- о" Поэтоиу срт = со , т.е.
х.' е.х — действительное число. Но о о тогда 7 -г ртжд~~о Г ух~- -~ =о о Гт,так как хоВГ)) о угро- о о . к к~ и Ло дейст\Йтельноь числО. ййв„ Слепдстввиит Т) Волк ргй — сныыотркческая иатрипа, то все корнг, ео харектервствчаского уравнения сбббГ 4- ЛЕ)= д явлвютсв двйст- витвлъныыи числамк; 2) саыосопраченный оператор, дейстпуюккй з /т -мерном Ввкчмдсвсм пространстве, имеет рч собственных знВчеВвй, если кзкдпе иа них срцггать столько рчз, кекова его кратность как корня характеристического уравненик этого оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
