Копаев А.В., Маркелов Г.Е., Тесалина А.А. Определенный интеграл (2002) (1135777)
Текст из файла
Московский государственный техническийуниверситет им. Н.Э. БауманаА.В. Копаев, Г.Е. Маркелов, А.А. ТесалинаОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛМетодические указания квыполнению домашнего заданияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2002УДК 517ББК 22.161К65Рецензент А.Н. КанатниковК65Копаев А.В., Маркелов Г.Е., Тесалина А.А.Определенный интеграл: Метод. указания квыполнению домашнего задания. — М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. — 70 с., ил.ISBN 5-7038-1984-9Рассмотрены основные понятия, свойства определенногоинтеграла и методы его вычисления. Приведенынеобходимые формулы для вычисления определенногоинтеграла, указания к их применению, а также примерыиспользования этих формул.Для студентов первых курсов технических вузов.Ил.
29.УДК 517ББК 22.161ISBN 5-7038-1984-9 МГТУ им. Н. Э. Баумана, 20021. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯК понятию определенного интеграла приводит рассмотрение многих задач из различных областей науки и техники.Здесь изложены теоретические сведения, включающие основные понятия, свойства определенных интегралов и методы их вычисления.1.1.
Основные понятияПусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] . Рассмотрим для этого отрезка произвольную совокупность точек xi, где i = 0, 1, 2, …, n, таких, чтоa = x0 < x1 < … < xn = b.Они осуществляют разбиение отрезка [a, b] на n элементарных отрезков [xk-1, xk], где k = 1, 2, …, n. Числоnsn = ∑ f (ξk) (xk – xk–1), xk–1 ≤ ξk ≤ xk,(1)k =1называют интегральной суммой относительно данного разбиения, где ξk выбирается на отрезке [ x k −1, x k ] произвольно.Если функция f(x) является непрерывной и неотрицательной на отрезке [a, b] , то каждое слагаемое интегральнойсуммы sn равно площади прямоугольника с основанием длиной ( x k − x k −1) и высотой f(ξk), где k = 0, 1, 2, …, n.
Сумма snравна площади ступенчатой фигуры, полученной объединением прямоугольников (рис. 1).Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке[a, b] , если существует число J, для которого при любомε > 0 найдется δ(ε) > 0, такое, что при любом разбиении, длякоторого3max ( x k − x k −1 ) < δ ,1≤ k ≤ nвыполняется неравенство sn – J < ε независимо ни от способа разбиения на элементарные отрезки, ни от выбора точекξk на этих отрезках. Число J называют определенным интегралом функции f(x) в пределах от a до b и обозначаютb∫ f ( x ) dx , где a и b — нижний и верхний пределы интегриро-aвания соответственно; f(x) — подынтегральная функция; x —переменная интегрирования.yy = f(x)CDA ξ1 ξ20 a = x0 x1 x2ξn Bxn-1 xn = bxРис. 1Этому определению равносильно следующее.
Пусть определенная на отрезке [a, b] функция f(x) такова, что существует конечный предел последовательности интегральныхсумм {sn} при условии, что наибольшая из длин элементарных отрезков разбиения ∆ стремится к нулю. Причем этотпредел не зависит ни от способа разбиения на элементарныеотрезки, ни от выбора точек ξk на этих отрезках. Тогда функция f(x) является интегрируемой на отрезке [a, b] , а сам предел интегрирования называют определенным интегралом отa до b функции f(x), т.е.4b∫ f ( x ) dx = lim{s n} .a∆→ 0(2)Так, к функциям, интегрируемым на отрезке [a, b] , относятся:1) функции, непрерывные на отрезке [a, b] ;2) функции, монотонные и ограниченные на отрезке[a, b] .Из определения определенного интеграла следует, чтодля неотрицательной непрерывной функции f(x) на отрезке[a, b] , определенный интеграл является пределом последовательности площадей соответствующих ступенчатых фигур,равным площади криволинейной трапеции, которая ограничена графиком функции f(x), осью Ox и прямыми x = a ,x = b .
Например, интеграл от a до b функции f(x), заданнойграфиком на рис. 1, равен площади криволинейной трапецииSACDB.В общем случае определенный интеграл можно представить как алгебраическую сумму взятых с соответствующимизнаками площадей фигур, ограниченных графиком функцииf(x), осью Ox и прямыми x = a, x = b. Знак определяют в зависимости от расположения фигуры относительно оси Ox. Еслифигура расположена выше или ниже оси, то соответственновыбирают знак плюс или минус. Например, определенныйинтеграл от функции f(x), заданной графиком на рис. 2, вычисляется следующим образом:b∫ f ( x ) dx = S ADC + (− S CBF ) ,aгде SADC и SCBF — соответственно площади фигур ADC и CBFна рис. 2.5yy = f(x)DA ξ1 ξ20 a = x0 x1 x2Cxn–1 xn = bξn B xFРис. 21.2. Свойства определенных интеграловПри вычислении определенных интегралов наиболеечасто используются следующие свойства.b1) Если существует ∫ f ( x ) dx , то существуетabbaa∫ c f ( x) dx = c ∫ f ( x) dx ,где c — произвольная постоянная.bbaa2) Если существуют ∫ ψ( x) dx и ∫ φ( x) dx , то существуетbbbaaa∫ (ψ( x ) + φ( x)) dx = ∫ ψ( x ) dx + ∫ φ( x ) dx .6cbac3) Если существуют ∫ f ( x ) dx и ∫ f ( x ) dx , то существуетbcbaac∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx .b4) Если существует ∫ f ( x ) dx , то существуетaabba∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x) dx .5) Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и является четной функцией, тоaa−a0∫ f ( x) dx = 2 ∫ f ( x) dx .aЕсли f(x) является нечетной функцией, то ∫ f ( x) dx = 0 .−a1.3.
Методы интегрированияВычисление определенных интегралов с помощьюформулы Ньютона — Лейбница. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) — одна из первообразных наэтом отрезке, тогда справедлива следующая формула:b∫ f ( x) dx = F ( x)ba= F (b) − F (a) .(3)aФормула (3) называется формулой Ньютона — Лейбница.73Пример 1. Вычислить определенный интеграл∫ x dx .223 Первообразной функции f(x) = x2 для любых значенийx является функция F(x) = x3/3. Тогда, применяя формулуНьютона — Лейбница, получаем3333 23 27 − 81x3xdx==− ==6 .4∫23 2 3 3332Интегрирование определенных интегралов по частям.Если функции u(x) и v(x) имеют на [a, b] непрерывные производные, тоb∫ u( x) dv( x) = u( x) v( x)abab− ∫ v( x) du ( x) .(4)aУравнение (4) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Эта формула используетсяв тех случаях, когда подынтегральное выражение можнопредставить в виде u(x) dv(x) так, что интеграл в правой части(4) при надлежащем выборе u(x) и dv(x) становится прощеисходного. Формула (4) может применяться неоднократно.Замечание. За u(x) удобно принимать множитель, который упрощается при дифференцировании. Например, еслипод знаком интеграла стоит произведение многочлена и показательной или тригонометрической функции, то за u(x)следует выбрать многочлен, а оставшееся выражение — заdv(x). Если подынтегральная функция содержит сомножитель— логарифмическую или обратную тригонометрическуюфункции, — то его следует обозначить u(x), так как в результате дифференцирования он упрощается.8eПример 2. Вычислить интеграл ∫ 2 x ln x dx .13 Положим u ( x) = ln( x) и dν ( x) = 2 x dx = d ( x 2 ) , тогда1du ( x) = dx и v( x) = x 2 . Применим формулу интегрированияxпо частям для заданного определенного интеграла:e∫ 2 x ln x dx = x2eeln x − ∫ x dx = e 2 − (e2 − 1) / 2 = (e 2 + 1) / 2 .
4111Интегрирование подстановкой. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] . Если функция x = φ(t ) имеет наотрезке [t1 , t2 ] непрерывную производную и a = φ(t1 ) ,b = φ(t2 ) , тоb∫at2f ( x ) dx = ∫ f (φ(t )) φ′(t )dt .(5)t1Уравнение (5) называется формулой замены переменной вопределенном интеграле, или формулой интегрированияподстановкой.2Пример 3. Вычислить интеграл∫ xex2dx , используя фор-1мулу интегрирования подстановкой.3 Применим подстановку x = φ(t ) , где φ(t ) = tи1 ≤ x ≤ 2 , тогда 1 ≤ t ≤ 4 .
Функция φ(t ) = t имеет непрерыв-нуюпроизводнуюнаотрезке[1, 4]иφ(1) = 1 = 1 ,φ(4) = 4 = 2 . Тогда по формуле (5) получаем224xt∫ xe dx = ∫ te1112 t4dt =41 t1e dt = et = (e 4 − e) / 2 . 4∫212 19Замечание. Равенство (5) можно использовать следующим образом. Так, если функция z = ψ(t ) имеет на отрезке[a, b] непрерывную производную и ψ(a ) = z1 , ψ(b) = z2 , тоbz2az1∫ f (ψ( x)) ψ′( x)dx = ∫ f ( z ) dz .2Пример 4. Вычислить интеграл∫ xex2(6)dx , используя фор-1мулу (6).3 Функция ψ( x) = x 2 имеет непрерывную производнуюна отрезке [1, 2] и z1 = ψ(1) = 1 , z2 = ψ(2) = 4 . Тогда по формуле (6) получаем22441 x2 2 ′1 z1 z4∫1 xe dx = 2 ∫1 e ( x ) dx = 2 ∫1 e dz = 2 e 1 = (e − e) / 2 .
4x22. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА2.1. Вычисление площади фигурыВычисление площади фигуры, заданной в прямоугольной декартовой системе координат. Пусть фигура на рис.3 ограничена графиками непрерывных функций y = f1 ( x) иy = f 2 ( x ) , где f1 ( x) ≤ f 2 ( x) для x ∈ [a, b] , и двумя прямымиx = a , x = b . Тогда площадь этой фигуры определяется поформулеbS ADCB = ∫ ( f 2 ( x) − f1 ( x)) dx .(7)ayDCABy = f2(x)0abxy = f1(x)Рис. 3В частном случае, если фигура ограничена графикаминепрерывных функций y = 0 и y = f1 ( x) на отрезке [a, b] идвумя прямыми x = a , x = b (рис. 4), то ее площадь вычисляем по формулеbS ABCD = − ∫ f1 ( x) dx .(8)a11yAa0BbCDxy = f1(x)Рис. 4Пример 5. Вычислить площадь фигур, ограниченныхграфиком функции y = e x − 3 , линией x = 2 и осями координат (рис.
5).Dyx=2x=0C2BOAxy = ex–3Рис. 5Пределы интегрирования находятся как абсциссы точек пересечения кривой y = e x − 3 с осью Оx и линиямиx = 0 , x = 2 . Тогда искомая площадь фигур3ln 3S = S AOB + S BDC =∫0122−(e x − 3) dx +∫ (eln 3x− 3) dx = e2 + 6 ln 3 − 11 .4Пример 6. Вычислить площадь фигур, ограниченныхграфиком функции x = − y 2 + 4 y − 3 , линией y = 5 и осямикоординат (рис.
6).yy=5EFDСx = − y2 + 4 y − 3y=0BAOxРис. 63 Так как основания криволинейных трапеций OAB,CBD, DEF расположены на оси Oy, то интегрирование выполняется по переменной y, а пределы интегрирования находятся как ординаты точек пересечения кривойx = − y 2 + 4 y − 3 с осью Oy. Тогда искомая площадь фигур1S = SOAB + SCBD + S DEF = − ∫ (− y 2 + 4 y − 3) dy +03513+ ∫ (− y 2 + 4 y − 3) dy − ∫ (− y 2 + 4 y − 3) dy = 9 . 413Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченнойграфикомфункцииy = x 2 / 2 − 3x + 5 / 2илиниейx − 2 y + 5 = 0 (рис.
7).yy=Bx25− 3x +22x − 2y − 5 = 0A07xРис. 73 Решая систему уравнений x 2 / 2 − 3 x + 5 / 2 − y = 0; x − 2 y + 5 = 0,находим пределы интегрирования a = 0 , b = 7 . Тогда поформуле (7) получаем7S = ∫ [( x + 5) / 2 − ( x 2 / 2 − 3x + 5 / 2)] dx = 280147.412Пример 8. Вычислить площадь S фигуры, ограниченнойосью Oy, параболой y = − x 2 − 2 x + 3 и касательной к параболе в точке M(2, –5) (рис. 8).yy = −6 x + 7y = − x2 − 2x + 302–5xMРис.
83 Уравнение касательной имеет видy − y0 = yM′ ( x − x0 ) ,где y0 = −5 , x0 = 2 и yM′ = −2 x0 − 2 = −6 . Тогда касательнаязадается уравнением y = −6 x + 7. Применяя формулу (7), получаем2200S = ∫ [(−6 x + 7) − (− x 2 − 2 x + 3)] dx = ∫ ( x 2 − 4 x + 4) dx =8.43Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t ); y = y (t ),15а также прямыми x = a , x = b и осью абсцисс, то площадьэтой фигуры вычисляют по формулеt2S=∫ y(t ) x′(t ) dt ,t1где t1 и t2 находят из уравнений a = x(t1 ) , b = x(t2 ) .Пример 9. Вычислить площадь S петли кривой (рис. 9),заданной в параметрической форме x = t 2 ,3 y = t − t .yt >0 x = t 2 ;3 y = t − tt = ±1t =0xt<0Рис. 93 Полагая y равным нулю во втором уравнении системы, получаем t − t 3 = 0 .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
