Копаев А.В., Маркелов Г.Е., Тесалина А.А. Определенный интеграл (2002) (1135777), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

28).3 2yy = x −1ACB–1 012xРис. 283 Дуга ABC состоит из отрезков AB и BC. Находим массу дуги ABC как сумму масс отрезков AB и BC. Тогда, используя формулу (25), получаем12m = ∫ l ( x) 1 + ( y′( x)) dx + ∫ l ( x) 1 + ( y′( x)) 2 dy =2−1112xx2x3=∫2 dx + ∫2 dx = 23−1 3 21 3 242212x3+ 2 =1.3 1−1Координаты центра масс дуги ABC находим следующим образом:1xC =211l ( x) x 1 + ( y′( x)) 2 dx + ∫ l ( x) x 1 + ( y′( x)) 2 dx =∫m −1m11122x3x3x4x412 dx + ∫2 dx ==∫+=1 ,12 −1 12 14−1 3 21 3 21yC =211l ( x) y ( x) 1 + ( y′( x)) 2 dx + ∫ l ( x) y( x) 1 + ( y′( x)) 2 dx =∫m −1m11=x −1∫3−122x22 dx + ∫1x −13 21x212 dx = ∫ −( x − 1) x 2 dx +3 −112211  x4 x3 1  x 4 x3 252+ ∫ ( x − 1) x dx = −  −  +  −  =.4313  4 3  −1 3  4 3  1 36Пример 27.

Найти координаты центра масс дуги окружности радиусом r с центром в начале координат. Дуга расположена в первом и четвертом квадрантах и имеет постоянную линейную плотность l (рис. 29).yAB0xCРис. 29433 Дугу окружности ABC можно задать в декартовойпрямоугольной системе координат уравнением x = r 2 − y 2 ,где − r ≤ y ≤ r . Используя формулу (28), получаемrrm = ∫ l 1 + ( x′( y ))2 dy = 2∫ l 1 +−r0r= 2rl ∫0dyr2dy =r 2 − y2r= 2rl arcsin( y / r ) 0 = πrl.r 2 − y2По формулам (29) и (30) находим координаты центра массдуги ABC:rxC =r12lr2222′lx(y)1+(x(y))dy=r+y1+dy =m −∫rm ∫0r 2 − y2rr2rl2rl2r 2l 2r,=dy=y==m ∫0m 0mπrr1lr2yC = ∫ l y 1 + ( x′( y ))2 dy = ∫ y 1 + 2dy =m −rm −rr − y2r=rly dy= 0.∫m −r r 2 − y2При вычислении последнего интеграла следует учитывать,что подынтегральная функция является нечетной и это позволяет применить соответствующее свойство определенногоинтеграла.Если дугу окружности задать параметрическими уравнениями44 x = r cos t ; y = r sin t ,− π/2 ≤ t ≤ π/2 ,то, вычисляя массу дуги по формуле (31), получаемπ/2m=∫l ( x′(t )) 2 + ( y′(t ))2 dt = l−π / 2π/2∫(r cos t ) 2 + (r sin t ) 2 dt =−π/ 2π/2=∫−π / 2π/2rl dt = rl t − π / 2 = πrl .Координаты центра масс этой дуги определяем по формулам (32) и (33):π/21xC =l x(t ) ( x′(t ))2 + ( y′(t ))2 dt =∫m −π / 2π/2=π/2lr 2l22rcost(rcost)+(rsint)dt=cos t dt =m − π∫/ 2m − π∫/ 2π /2r 2l2r=sin t=,mπ−π / 2π /2π/2lr 2l22yC =r cos t (r cos t ) + (r sin t ) dt =cos t dt =m − π∫/ 2m −π∫/ 2π/2=π/2lr 2l22rsint(rcost)+(rsint)dt=sin t dt = 0 .m − π∫/ 2m − π∫/ 2Последнее равенство следует из свойства определенного интеграла, у которого подынтегральная функция является нечетной.

4453.2. Вычисление моментов инерциидуги плоской кривойПусть дуга плоской кривой задана в декартовой прямоугольной системе координат функцией y = y ( x) и находитсямежду двумя точками с абсциссами, равными x1 и x2 соответственно, где x1 < x2 , а функция y = y ( x) имеет непрерывнуюпроизводную на отрезке [ x1 , x2 ] . Линейная плотность дуги наэтом отрезке задана непрерывной функцией l ( x) . Тогда моменты инерции Jx и Jy относительно осей Ox и Oy соответственно вычисляются по следующим формулам:xJx =Jy =2∫ l ( x) ( y ( x))x1x2∫ l ( x) x221 + ( y′( x))2 dx ,1 + ( y′( x)) 2 dx .(34)(35)x1Если же плоская кривая задана уравнением x = x( y ) идуга этой кривой находится между двумя точками с ординатами, равными y1 и y2 соответственно, где y1 < y2 , а функцияx = x( y ) имеет непрерывную производную на отрезке[ y1 , y2 ] , то моменты инерции Jx и Jy относительно осей Ox иOy соответственно вычисляются по формуламyJx =Jy =2∫ l ( y) yy1y21 + ( x′( y )) 2 dy ,∫ l ( y ) ( x( y))y146221 + ( x′( y )) 2 dy ,(36)(37)где l ( y ) — линейная плотность дуги, которая является непрерывной функцией на отрезке [ y1 , y2 ] .Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями x = x(t ); y = y (t ),t1 < t < t2 ,где x(t ) и y (t ) — функции, имеющие непрерывные производные на отрезке [t1 , t2 ] , то моменты инерции Jx и Jy относительно осей Ox и Oy соответственно вычисляются по следующим формулам:t2J x = ∫ l (t ) ( y (t )) 2 ( x′(t )) 2 + ( y′(t )) 2 dt ,(38)J y = ∫ l (t ) ( x(t ))2 ( x′(t ))2 + ( y′(t ))2 dt ,(39)t1t2t1где t1 и t2 — пределы интегрирования, соответствующие значениям параметра t на концах дуги; l ( y ) — линейная плотность дуги, которая является непрерывной функцией на отрезке [t1 , t2 ] .Замечание.

Момент инерции дуги кривой относительнокакой-либо оси зависит не только от линейной плотностидуги и ее формы, но и от положения дуги по отношению кэтой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме о переносеосей инерции) момент инерции дуги кривой J относительнопроизвольной оси равен сумме момента инерции этой дуги JCотносительно оси, проходящей через центр инерции дугикривой параллельно рассматриваемой оси, и произведениямассы дуги m и квадрата расстояния d между осями, т.е.J = J C + md 2 .47Пример 28. Дуга кривой задана уравнением y = x − 1 ,где −1 ≤ x ≤ 2 . Вычислить моменты инерции Jx и Jy дуги относительно координатных осей Ox и Oy, если линейная1плотность дуги постоянна и равна l =.3 23 Дуга ABC (см.

рис. 28) состоит из отрезков AB и BC.Находим моменты инерции дуги относительно координатных осей как сумму моментов инерции отрезков AB и BC относительно тех же координатных осей. Тогда, применяяформулы (34) и (35), получаем12J x = ∫ l ( y ( x)) 2 1 + ( y′( x)) 2 dx + ∫ l ( y ( x)) 2 1 + ( y′( x)) 2 dx =−1112( x − 1) 2( x − 1) 2=∫2 dx + ∫2 dx = 1 ,1 3 2−1 3 21Jy = ∫ l x−1221 + ( y′( x)) dx + ∫ l x 2 1 + ( y′( x))2 dx =21122xx2x3=∫2 dx + ∫2 dx =91 3 2−1 3 212x3+=1.

49 1−1Пример 29. Найти моменты инерции Jx и Jy дуги окружности относительно координатных осей Ox и Oy. Окружность имеет радиус r и центр в начале координат. Дуга окружности расположена в первом и четвертом квадрантах.Линейная плотность дуги задана уравнением l ( y ) = r 2 − y 2 ,где − r ≤ y ≤ r .3 Дугу окружности ABC (см. рис. 29) можно задать вдекартовой прямоугольной системе координат уравнениемx = r 2 − y 2 , где − r ≤ y ≤ r . Используя формулы (36) и (37),получаем48rJ x = ∫ l ( y) y21 + ( x′( y )) dy =2−rr∫y2 r2 − y2 1+−rry2dy =r 2 − y2= r ∫ y 2 dy =−rrJ y = ∫ l ( y ) ( x( y ))21 + ( x′( y )) dy =2−rr∫ (r23− y2 )2 1+−rrr 32y= r4 ,3 −r 3y2dy =r 2 − y2ry3 4= r ∫ ( r − y ) dy =  r 3 y − r  = r 4 .3  −r 3−rr22Если дугу окружности задать параметрическими уравнениями x = r cos t ; y = r sin t ,−π / 2 ≤ t ≤ π / 2 ,то моменты инерции Jx и Jy относительно осей Ox и Oy находим по формулам (38) и (39):π/2Jx =∫l (t ) y (t ) 2 ( x′(t )) 2 + ( y′(t )) 2 dt =−π / 2π/2=∫r 2 − (r sin t ) 2 (r sin t ) 2 (r cos t ) 2 + (r sin t ) 2 dt =−π / 2π/2π/2(sin t )3= r ∫ cos t sin t dt = r ∫ sin t d (sin t ) = r3−π / 2−π / 24242π/2=4−π / 22 4r ;349π/2Jy =∫l (t ) x(t )2 ( x′(t ))2 + ( y′(t ))2 dt =−π / 2π/2=∫r 2 − (r sin t ) 2 (r cos t ) 2 (r cos t ) 2 + (r sin t ) 2 dt =−π/ 2π/2r4= r ∫ cos t dt =4−π / 243π/2∫(3cos t + cos 3t ) dt =−π / 2π/2143=  r 4 sin t + r 4 sin(3t ) = r4 .

4124 −π/ 2 34. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ1. Вычислить площадь S фигуры, которая ограничена параболой y 2 = 4 x , осью Ox и прямыми x = 4 , x = 9 .1Ответ: S = 25 .32. Вычислить площадь S фигуры, расположенной междуосями Ox и Oy, цепной линией y = a (e x / a + e − x / a ) / 2 и прямойx=a.Ответ: S = a 2 ( e2 − 1) / 2e .3. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной линиейy = ln x , осью Ox и прямыми x = 1, x = a , где a ≥ 1 .Ответ: S = a (ln a − 1) + 1 .4.

Вычислить площадь S фигуры, ограниченной линиямиy = 2x , y = 2 и x = 0 .1Ответ: S = 2 −.ln 2505. Вычислить площадь S фигуры, которая ограниченалинией, заданной параметрическими уравнениями x = t 2 − 1, y = t 3 − t .8Ответ: S = .156. Вычислить площадь S одного лепестка лемнискатыБернулли ρ 2 = 9 cos 2φ.9Ответ: S = .27. Вычислить площадь S части плоскости, которая расположена внутри кардиоиды ρ = 4(1 − cos φ) , левее прямойρ = −3 / cos φ .Ответ: S = 8π + 9 3 .8. Вычислить площадь S части плоскости, расположенной внутри кардиоиды ρ = 4(1 − cos φ) , правее прямойρ = −3 / cos φ .Ответ: S = 16π − 9 3 .9. Вычислить площадь S части плоскости, расположенной внутри окружности ρ = 3 3 sin φ и вне кардиоидыρ = 3(1 + cos φ) .27 3.410. Вычислить площадь S части плоскости, расположенной внутри кардиоиды ρ = 3(1 + cos φ) и вне окружностиОтвет: S =ρ = 3 3 sin φ .Ответ: S =27(π + 3) .45111. Вычислить площадь S части плоскости, ограниченной окружностью ρ = 6sin φ и прямой ρ = 6 /(cos φ + sin φ)(меньшую часть).9Ответ: S = (π − 2) .412.

Вычислить площадь S части плоскости, ограниченной кардиоидой ρ = 3(1 + cos φ) и прямой ρ = 6 /(cos φ + sin φ)(меньшую часть).27π.Ответ: S =813. Вычислить объем V тела, образуемого вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y = 3sin x ,y = sin x , где 0 ≤ x ≤ π.Ответ: V = 2π 2 .14. Вычислить объем V тела, образуемого вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = 2 x − x 2 ,y = −x + 2 .πОтвет: V = .515. Вычислить объем V тела, образуемого вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y = ln x ,y = 4 − ln x , y = 0 .1Ответ: V = π(e4 − 1) 2 .216.

Вычислить объем V тела, образуемого вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = 1 − x 2 , x = 0 ,x = 2 − y , x = 1.Ответ: V = 5π .17. Вычислить объем V тела, образуемого вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = x 3 и y = x 2 .522π.3518.

Вычислить объем V тела, образуемого вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y = arccos( x / 5) ,y = arccos( x / 3) и y = 0 .Ответ: V = 4π 2 .19. Вычислить длину l дуги эвольвенты окружности, которая задана параметрическими уравнениямиОтвет: V = x = a(cos t + t sin t ), y = a(sin t − t cos t ),где 0 ≤ t ≤ π .Ответ: l = a π 2 / 2 .20. Вычислить длину l дуги гипоциклоиды с тремя заостреньями, которая задана параметрическими уравнениями x = 2a cos t + a cos 2t , y = 2a sin t − a sin 2t .Ответ: l = 16 a .21. Вычислить длину l дуги эпициклоиды с двумя заостреньями, которая задана параметрическими уравнениями x = a (3 cos t − cos 3t ), y = a (3 sin t − sin 3t ).Ответ: l = 24 a.22.

Характеристики

Список файлов книги