Копаев А.В., Маркелов Г.Е., Тесалина А.А. Определенный интеграл (2002) (1135777), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если кривая задана уравнением ρ = ρ(φ) ,где φ1 ≤ φ ≤ φ 2 , и функция ρ = ρ(φ) имеет непрерывные производные на отрезке [φ1 , φ 2 ] , то длину дуги этой кривой находим по формуле29φl=2∫ρ 2 + (ρ′(φ))2 dφ, φ1 < φ 2 ,(19)φ1где φ1 и φ 2 — значения полярного угла в крайних точкахдуги.Пример 19. Прямая x = 3 a / 4 делит замкнутую кривую,заданную уравнением ( x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 − 2ax ) − a 2 y 2 = 0 надве части. Найти длины дуг COB и BAC обеих частей этойзамкнутой линии (рис.
23).y(x2 + y2)(x2 + y2 – 2a x) – a y2 = 0Bϕ1 =π3Ox = 3a/4AxCРис. 233 Так как уравнение замкнутой линии содержит суммуквадратов переменных, то следует перейти к полярной системе координат по формулам x = ρ cos φ и y = ρ sin φ . Тогдауравнение прямой имеет вид ρ = 3a /(4 cos φ) , а замкнутаякривая задается уравнениемρ 2 (ρ 2 − 2aρ cos φ) − a 2ρ 2 sin 2 φ = 0 ,т.е. замкнутая кривая является кардиоидой ρ = a (1 + cos ϕ).Пределы интегрирования ϕ1 и ϕ2 находим из системы30ρ = 3a /(4 cos φ);ρ = a (1 + cos φ),где 0 ≤ φ ≤ 2π , откуда получаемcos 2 φ + cos φ − 3 / 4 = 0 ,следовательно, cos φ = 1/ 2 и cos φ = −3 / 2 , где 0 ≤ φ ≤ 2π .Тогда φ1 = π / 3 и φ 2 = 5π / 3 .
Используя формулу (19), получаем длины дуг COB и BAC:lCOB =φ2∫a 2 (1 + 2 cos φ + cos2 φ) + a 2 sin 2 φ dφ =φ1ππ= 2 lBO = 2 a ∫2 (1 + cos φ) dφ = 8 a sinπ3φ= 4a ,2π3φ1lCAB = 2 l AB = 2 ∫ a 2 (1 + 2 cos φ + cos 2 φ) + a 2 sin 2 φ dφ =0π 3π3= 2a ∫02(1 + cos φ) dφ = 8 a sinφ= 4a .20Очевидно, что прямая x = 3a / 4 делит длину дуги кардиоиды пополам. Сумма длин дуг COB и CAB равна 8a ,т.е.равна длине кардиоиды.
4Замечание. При вычислении длин дуг таких кривых, какулитка Паскаля, лемниската Бернулли и некоторых других,приходят к интегралам, которые не выражаются через элементарные функции, к так называемым эллиптическим интегралам. Следует отметить, что вычисление длины дуги таких кривых, как эллипс, гипербола, синусоида, также приводит к эллиптическим интегралам. На практике часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элемен31тарные функции или выражаются очень сложно. Нередкоподынтегральная функция задается таблицей или графиком.В этих случаях интегралы находят приближенными методами.2.4.
Вычисление площади поверхности вращенияВ соответствии с каждым способом задания функциирассмотрим следующие три случая решения задачи нахождения площади поверхности, образованной вращением дугикривой.Кривая задана уравнением как график функции в декартовой прямоугольной системе координат.
Пусть дугакривой задана неотрицательной функцией y = y ( x) на отрезке [ x1 , x2 ] , имеющей на этом отрезке непрерывную производную. Тогда площадь поверхности, образованной вращением этой дуги кривой вокруг оси Ox, определяется поформулеx2SOx = 2π ∫ y ( x) 1 + ( y′( x))2 dx, x1 < x2 .(20)x1Если же дуга кривой задана неотрицательной функциейx = x( y ) на отрезке [ y1 , y2 ] , имеющей на этом отрезке непрерывную производную, то площадь поверхности, образованной вращением этой дуги кривой вокруг оси Oy, определяется по формулеy2SOy = 2π ∫ x( y ) 1 + ( x′( y ))2 dx,y132y1 < y2 .(21)Пример 20. Вычислить площадь поверхности, образуемой вращением вокруг оси Ox одной петли кривой, заданнойуравнением 8 a 2 y 2 = x 2 (a 2 − x 2 ) (рис.
24).8 a 2 y 2 = x 2 (a 2 − x 2 )y–a0OAaxРис. 243 Эта кривая является симметричной относительноосей Оx и Оy, а с осью Оx пересекается в точках x = 0 иx = ± a . Дуга OA задается уравнениемy=x a2 − x2,2 2aгде 0 ≤ x ≤ a . Следовательно,y′ =a2 − 2x22 2a a 2 − x 2и 1 + ( y′x ) 2 =3a 2 − 2 x 22 2a a 2 − x 2.Используя формулу (20), получаемaSOx = 2π ∫0x a 2 − x 2 (3a 2 − 2 x 2 )dx =2 2a 2 2a a 2 − x 2aππa 2= 2 ∫ x (3a 2 − 2 x 2 ) dx =.44a 0433Пример 21. Вычислить площадь поверхности, образуемой вращением вокруг оси Оy петли кривой, которая заданауравнением 9ax 2 = y (3a − y ) 2 (рис. 25).y3aA9a x 2 = y (3a − y )2OxРис. 253 Кривая симметрична относительно оси Оy и имеет сней точки пересечения y1 = 0, y 2 = 3a .
Дуга OA задаетсяуравнениемx=y (3a − y )3 a,где 0 ≤ y ≤ 3a . Следовательно,1 + ( x′y )2 =a+ y.2 ayИспользуя формулу (21), получаем3aSOy = 2π ∫0y (3a − y ) (a + y )3 a2 ay3ady =π=(3a 2 + 2ay − y 2 )dy = 3πa 2 . 4∫3a 034Кривая задана параметрическими уравнениями.Пусть дуга кривой задана параметрическими уравнениями x = x(t ); y = y (t ),t1 ≤ t ≤ t2 ,где x(t ) и y (t ) — функции, которые имеют непрерывныепроизводные на отрезке [t1 , t2 ] .
Тогда площадь поверхности,образованной вращением этой дуги кривой вокруг оси Ox,определяется по формулеt2SOx = 2π ∫ y (t ) ( x′(t )) 2 + ( y′(t )) 2 dt , t1 < t2 , (22)t1где y (t ) является неотрицательной функцией на отрезке[t1 , t2 ] .Если же вращение дуги кривой происходит вокруг осиOy, то площадь образуемой поверхности вычисляется последующей формулеt2SOy = 2π ∫ x(t ) ( x′(t )) 2 + ( y′(t )) 2 dt , t1 < t2 , (23)t1где x(t ) является неотрицательной функцией на отрезке[t1 , t2 ] .Пример 22.
Вычислить площадь поверхности, образуемой вращением вокруг оси Ox дуги эпициклоиды с двумязаостреньями, заданной параметрическими уравнениями(рис. 26) x = a (3cos t − cos 3t );0≤t ≤ π/2. y = a (3sin t − sin 3t ),35y t = π/2 x = a (3cos t − cos 3t ),4a A y = a (3sin t − sin 3t )–2a 0B t =02ax– 4aРис. 263 Сначала находимx′ = 3a (− sin t + sin 3t ) и y′ = 3a (cos t − cos 3t ) ;( xt′ ) 2 + ( yt′ ) 2 = 2 ⋅ 9a 2 (1 − cos 2t ) = 6a sin t .Площадь поверхности, образуемой вращением вокруг осиOx дуги AB, вычисляем по формуле (22):π/2SOx = 2π∫ a (3sin t − sin 3t ) 6a sin t dt =0π/21 − cos 2t1dt − ∫ (cos 2t − cos 4t )dt = 9π 2 a 2 .
4= 12πa 2 3 ∫22 0 0π/2Пример 23. Пусть та же дуга эпициклоиды, что и в примере 22, вращается вокруг оси Oy. Нужно вычислить площадь поверхности вращения.3 Так как вращение дуги кривой происходит вокруг осиOy, то площадь образуемой поверхности определяем поформуле (23):36π/2SOy = 2π ∫ a (3cos t − cos 3t ) 6a sin t dt =0π/2= 12πa 2∫ (3cos t sin t − sin t cos 3t ) dt =0π/2π/2 31= 12πa − cos 2t − ∫ (sin 4t − sin 2t )dt = 24πa 2 .
4 42 002Кривая задана как график функции в полярной системе координат. Пусть дуга кривой задана уравнениемρ = ρ(φ) , где 0 ≤ φ1 ≤ φ ≤ φ 2 ≤ π , и функция ρ = ρ(φ) имеетнепрерывные производные на отрезке [φ1 , φ 2 ] . Тогда площадь поверхности, образованной вращением этой дуги вокруг полярной оси, определяется по формулеφ2S = 2π ∫ ρ(φ) sin φ (ρ(φ)) 2 + (ρ′(φ)) 2 dφ .(24)φ1Пример 24.
Вычислить площади поверхностей, образуемых вращением вокруг полярной оси дуг COB и BACкардиоиды, заданной уравнением ρ = a (1 + cos φ) . Кардиоидаи дуги COB и BAC изображены на рис. 23.3 Используя результаты расчета примера 19, находимпо формуле (24) площади поверхностей, образуемые вращением вокруг полярной оси дуг COB и BAC соответственно:πSCOB = 2π ∫ a(1 + cos φ) sin φ a 2 (1 + cos φ) 2 + a 2 sin 2 φ dφ =π/3π= 2πa 2φφφ∫ 2 cos 2 2sin 2 cos 22 (1 + cos φ) dφ =π/337π= 16π a2∫ cos4π/3φφsin dφ =22π=−32 2φ9 3 2π a cos5=πa ,52 π/35π/3SCAB = 2π ∫ a (1 + cos φ) sin φ a 2 (1 + cos φ) 2 + a 2 sin 2 φ dφ =0π/3=−32 2φπa2π a cos5(32 − 9 3) .
4=5205Задание. Если сложить SCOB и SBAC, то получим площадьповерхности, образуемой при вращении кардиоиды вокругполярной оси. Проверьте это непосредственным вычислением.В заключение рассмотрим пример вычисления площади поверхности, образуемой вращением составной дуги.Пример 25. Дуга BCA состоит из дуги AC параболыy = − x 2 / 2 + 1/ 2 и отрезка BC касательной к параболе в точке пересечения ее с осью Ox (рис. 27).
Дуга BCA вращаетсявокруг оси Oy. Вычислить площадь поверхности вращения.yA–1BC10xy =1– x2y = (1–x )/2Рис. 27383 Уравнение касательной имеет видy − y0 = yC′ ( x − x0 ) ,где y0 = 0 , x0 = 1 и yC′ ( x0 ) = − x0 = −1 . Таким образом, касательная задается уравнением y = − x + 1.Пусть SAC — площадь поверхности, образуемой вращением дуги AC вокруг оси Oy, тогда11S AC = 2π ∫ ( − x / 2 + 1/ 2 ) 1 + x dx = − π ∫ ( x 2 − 1) x 2 + 1 dx .2200Для вычисления последнего интеграла делаем подстановкуx = tg t , тогда dx = cos −2 t dt ительно,π/4S AC = − π∫01 + x 2 = 1/ cos t .
Следова-π/4π/4 sin 2 t1 sin 2 tdt−dt = − π ∫dt + π ∫=53 5cos tcos3 t cos t cos t 00π/4 1 sin t 5 sin t 5= π−++ ln tg(t / 2 + π / 4) =42 4 cos t 8 cos t 80π=2 + 5ln tg ( 3π/8) .8()Пусть SBC — площадь поверхности, образуемой вращением отрезка BC вокруг оси Oy, тогда1S BC = 2π ∫ (− x + 1) 2 dx = π 2 .0Искомую площадь S поверхности вращения находим каксумму площадей SAC и SBCS = S AC + S BC =()π9 2 + 5ln tg(3π / 8) . 48393. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА3.1. Вычисление координат центра массдуги плоской кривойПусть дуга плоской кривой задана в декартовой прямоугольной системе координат функцией y = y ( x) и находитсямежду двумя точками с абсциссами, равными x1 и x2 соответственно, где x1 < x2 , а функция y = y ( x) имеет непрерывнуюпроизводную на отрезке [ x1 , x2 ] .
Если линейная плотностьдуги задана непрерывной функцией l ( x) на отрезке [ x1 , x2 ] ,то масса дуги плоской кривой вычисляется по формулеxm=2∫ l ( x)1 + ( y′( x))2 dx .(25)x1Центром масс (или центром инерции) дуги плоской кривой является точка C с координатами xC и yC, которые определяются по следующим формулам:1xC =myC =x2∫ l ( x) x1 + ( y′( x)) 2 dx ,(26)x1x21l ( x) y ( x) 1 + ( y ′( x)) 2 dx .∫mx(27)1Если же плоская кривая задана уравнением x = x( y ) идуга этой кривой находится между двумя точками с ординатами, равными y1 и y2 соответственно, где y1 < y2 , а функцияx = x( y ) имеет непрерывную производную на отрезке40[ y1 , y2 ] , то масса дуги плоской кривой вычисляется по формулеym=2∫ l ( y)1 + ( x′( y )) 2 dy ,(28)y1где l ( y ) — линейная плотность дуги, которая является непрерывной функцией на отрезке [ y1 , y2 ] .
Тогда координатыцентра масс дуги плоской кривой определяются по формулам1xC =myC =1my2∫ l ( y ) x( y )y1y2∫ l ( y) y1 + ( x′( y )) 2 dy ,1 + ( x′( y )) 2 dy .(29)(30)y1Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями x = x(t ); y = y (t ),t1 < t < t2 ,где x(t ) и y (t ) — функции, имеющие непрерывные производные на отрезке [t1 , t2 ] , то масса дуги плоской кривой вычисляется по формулеt2m = ∫ l (t ) ( x′(t )) 2 + ( y′(t )) 2 dt ,(31)t1где t1 и t2 — пределы интегрирования, соответствующие значениям параметра t на концах дуги; l (t ) — линейная плотность дуги, которая является непрерывной функцией на отрезке [t1 , t2 ] .41Координаты центра масс этой дуги определяются поформуламt1 2xC = ∫ l (t ) x(t ) ( x′(t ))2 + ( y′(t ))2 dt ,mt(32)1l (t ) y (t ) ( x′(t ))2 + ( y′(t ))2 dt .∫mt(33)yC =1t21Пример 26. Найти координаты центра масс дуги кривой,заданной уравнением y = x − 1 , где −1 ≤ x ≤ 2 , при условии,что дуга имеет линейную плотность l ( x) =x2(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
