Копаев А.В., Маркелов Г.Е., Тесалина А.А. Определенный интеграл (2002) (1135777), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Затем находим корни этого уравнения t1 = 0 , t2 = ±1 . Выбирая в качестве пределов интегрирования t1 = 0 и t2 = 1 , вычисляем искомую площадь как удвоенную площадь ее верхней половины, т.е.1114 20 − 12 84S = 2∫ (t − t )2t dt = 4∫ (t − t ) dt = t 3 − t 5 == .45 0151530031624Задание.
Получите уравнение кривой в неявном виде инайдите площадь петли.Вычисление площади фигуры, заданной в полярнойсистеме координат. Пусть на рис. 10 задан криволинейныйсектор OAB, т.е. фигура, ограниченная двумя лучами OA, OBи графиком непрерывной функции ρ = ρ(φ) , где ϕ и ρ — полярные координаты. Тогда площадь этого криволинейногосектора вычисляют по формулеφSOAB1 2= ∫ [ρ(φ)]2 dφ .2φ(9)1Пример 10.
Вычислить площадь SOAB криволинейногосектора (рис. 11), который ограничен первым витком спирали Архимеда ρ = 6φ и двумя лучами: φ = π / 6 , φ = π / 3 .ρ = 6ϕABABϕ1ϕ1 = π /6ϕ2ρOРис. 10ϕ2 = π /3ρOРис. 113 По формуле (9) получаемπ/3SOAB17= ∫ (6φ) 2 dφ = π 3 . 42 π/63617Пример 11. Вычислить площадь фигуры, которая расположена внутри окружности ρ = 3 3 sin φ и одновременновнутри кардиоиды ρ = 3(1 + cos φ) (рис. 12).S2S1π/3ρ = 3 3 sinφρOρ = 3(1 + cos φ)Рис.
123 Искомую площадь S найдем как сумму площадей S1 иS2. Для этого сначала находим пределы интегрирования, решая систему уравненийρ = 3 3 sin φ;ρ = 3(1 + cos φ),где 0 ≤ φ ≤ π . Следовательно, 3 3 sin φ = 3(1 + cos φ) ;2 3 sin(φ / 2) cos(φ / 2) = 2 cos 2 (φ / 2) ;[ 3 sin(φ / 2) − cos(φ / 2)]cos(φ / 2) = 0 ,где 0 ≤ φ ≤ π . Из уравнения3 sin(φ / 2) − cos(φ / 2) = 0 полу-чаем tg (φ / 2) = 1 3 , следовательно, φ1 = π / 3 .
Из уравненияcos(φ / 2) = 0 находим φ 2 = π . ТогдаS1 =1812ππ/3∫0(3 3 sin φ) 2 dφ и S2 =21[3(1 + cos φ)] dφ .∫2 π/3Таким образом, искомая площадьS = S1 + S 2 =1=2π/3∫0π12727 sin φ dφ + ∫ 9 (1 + cos φ) 2 dφ =(π − 3) . 42 π/3422.2. Вычисление объема тела вращенияЕсли криволинейная трапеция, ограниченная графикомнепрерывной и положительной функции y = f(x) на отрезке[x1 , x2 ] , осью Оx и двумя прямыми x = x1, x = x2 (рис. 13),вращается вокруг оси Оx или вокруг оси Оy, то объемы телвращения выражаются соответственно следующими формулами:x2VOx = π ∫ [ f ( x)]2 dx ,(10)x1x2VOy = 2π ∫ x f ( x) dx .(11)x1yy = f(x)VOy0x1x2xVOxzРис.
1319Если же криволинейная трапеция, ограниченная двумяпрямыми x = x1, x = x2 и двумя линиями y = f1 ( x) , y = f 2 ( x ) ,причем f1 ( x) ≤ f 2 ( x) (рис. 14), вращается вокруг оси Оx иливокруг оси Оy, то объемы тел вращения выражаются соответственно следующими формулами:x2VOx = π ∫ [ f 22 ( x) − f12 ( x)] dx ,(12)VOy = 2π ∫ x[ f 2 ( x) − f1 ( x)] dx .(13)x1x2x1yy = f1(x)y = f2(x)z0x2x1xVOxyy = f2(x)VOyy = f1(x)z0x1Рис. 1420x2xЕсли же криволинейная трапеция, ограниченная двумяпрямыми y = y1 и y = y2 и двумя кривыми x = φ1 ( y ) иx = φ 2 ( y ) , причем φ1 ( y ) ≤ φ 2 ( y ) (рис. 15), вращается вокругоси Оx или вокруг оси Оy, то объемы тел вращения выражаются соответственно следующими формулами:y2VOx = 2π ∫ y [φ 2 ( y ) − φ1 ( y)] dy ,(14)y1y2VOy = π ∫ [φ 22 ( y ) − φ12 ( y )] dy .(15)y1yx = ϕ1(y)x = ϕ2(y)y2y1z0xVOxx = ϕ1(y)yy2VOyx = ϕ2(y)y1z0xРис.
1521Пример 12. Вычислить объем тела, образуемого вращением фигуры, ограниченной кривой y = e 2 x − 2 и прямымиx = 1 , y = 0 , вокруг оси Оx (рис. 16).3 Зная уравнения линий, которые ограничивают криволинейную трапецию, находим пределы интегрированияx1 = ln 2 и x2 = 1 .Используя формулу (10), получаемx21 e4VOx = π ∫ [ f ( x)]2 dx = π ∫ (e 2 x − 2) 2 dx = π − 2e 2 + 7 − 2 ln 2 .4ln 24x12Пример 13. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривой2 y 2 − 12 y + 9 x = 0 и прямой x = 0 (рис.17).yy = e2x – 2y2 y 2 – 12 y + 9 x = 06x=10ln 221Рис. 16x0xx=0Рис.
173 Точки пересечения параболы с осью Оу дают пределы интегрирования y1 = 0 и y2 = 6. Так как интегрированиепроводится по переменной y, то представим уравнение пара-22болы в виде x = 2 (6 y − y 2 ) / 9 . Тогда по формуле (15) получаем6VOy = π ∫ [2(6 y − y 2 ) / 9]2 dy = 64π / 5 . 40Задание. Решите этот пример, используя формулу (13), иубедитесь в совпадении ответов.Пример 14.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры (рис. 18), ограниченной кривыми y = arccos x , y = arccos ( x / 3) и прямой y = 0 .yy = arccos xπ /2y = arccos (x/3)y=0031xРис. 183 Для нахождения объема применим формулу (15). Дляэтого запишем уравнения кривых в виде x1 = cos y иx2 = 3cos y , тогда получимπ/2VOy = π∫0π/2[ x22 ( y ) − x12 ( y )] dy = 8π∫ cos2y dy = 2π 2 .
40Пример 15. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры (рис. 19), ограниченной кривой y = x 2 + 1 и прямыми y = x , x = 0 и x = 1 .23yy = x2+12y=x1x=010xРис. 193 Искомый объем находим по формуле (13). Интегрирование осуществляется по переменной x в пределах отy1 = 0 до y2 = 0 , следовательно1100VOy = 2π ∫ x [ y2 ( x) − y1 ( x)] dx = 2π ∫ x[( x 2 + 1) − x] dx =5π. 462.3. Вычисление длины дуги плоской кривойВ соответствии с каждым способом задания функциирассмотрим следующие три случая решения задачи нахождения длины дуги кривой.Кривая задана уравнением как график функции в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть дугакривой находится между двумя точками с абсциссами, равными x1 и x2 соответственно, где x1 < x2 , и задана как графикфункции y = y ( x) , которая имеет непрерывную производ-24ную на отрезке [ x1 , x2 ] .
Тогда длина этой дуги определяетсяпо формулеxl=2∫1 + ( y′( x))2 dx .(16)x1Если же кривая задана уравнением x = x( y ) и дуга этойкривой находится между двумя точками с ординатами, равными y1 и y2 соответственно, где y1 < y2 , и функция x = x( y )имеет непрерывную производную на отрезке [ y1 , y2 ] , тодлина дуги определяется по формулеl=y2∫1 + ( x′( y )) 2 dy .(17)y1Пример 16. Найти длину дуги параболы 2 y = x 2 − 2между точками пересечения кривой с осью Ox (рис. 20).yy = x2/2 – 1AC0xBРис.
20253 Учитывая свойство симметрии дуги относительнооси Oy, находим по формуле (16)221 + ( y′( x)) 2 dx = 2 ∫ 1 + x 2 dx .l ABC = 2lBC = 2 ∫00Пусть u ( x ) = 1 + x 2 и v( x) = x , тогда, используя формулу интегрирования по частям (4), получаем(2∫1 + x 2 dx = x 1 + x 20(= x 1+ x2))2202x2∫−1 + x202−0(∫(1 + x 2 ) − 11 + x20= x 1+ x2dx =)20dx =2−∫21 + x dx +20dx∫1 + x20.Отсюда2∫0(11 + x dx = x 1 + x 222)201+ ln x + 1 + x 222.0Тогда2(l ABC = 2 ∫ 1 + x 2 dx = x 1 + x 20)20(+ ln x + 1 + x 2)2=0= 6 + ln( 2 + 3) .
4Пример 17. Найти длину дуги параболы, заданной уравнением x = − y 2 + 2 y + 3 и расположенной между точкамипересечения параболы с осью Oy (рис. 21).26yCx = − y2 + 2y + 30xBAРис. 213 Дуга AC находится между двумя точками с ординатами, равными y1 = −1 и y2 = 3 соответственно, тогда поформуле (17) получаем3l ABC =∫−131 + ( x′( y ))2 dy = 2 ∫ 1/ 4 + ( y − 1)2 dy .−1Применяя подстановку y = t + 1 , находим221 21 2+ t dt = 4∫+ t dt .440l AC = 2 ∫−2Пусть u (t ) = t 2 + 1/ 4 и v(t ) = t , тогда, используя формулу интегрирования по частям (4), имеем2∫0(1 4 + t dt = t 1 4 + t22)202−∫0t21 4 + t2dt =27(= t 1 4+t(2)202−∫= t 1 4+t(1 4 + t 2 ) − 1 41 4 + t202)202−∫0dt =21dt1 4 + t dt + ∫.4 0 1 4 + t22Отсюда(2∫1t 1 4 + t221 4 + t 2 dx =0)21+ ln t + 1 4 + t 2802.0Тогда(2l ABC = 2∫ 1 4 + t dt = t 1 4 + t202)2(1+ ln t + 1 4 + t 240)2=01 4 + 171= 2 17 + ln= 2 17 + ln 4 + 17 .
44 4 − 172()Кривая задана параметрическими уравнениями. Есликривая задана параметрическими уравнениями x = x(t ); y = y (t ),то длина дуги l этой кривой определяется по формулеtl=2∫( x′(t )) 2 + ( y′(t )) 2 dt , t1 < t2 ,(18)t1где t1 и t2 — пределы интегрирования, которые соответствуют значениям параметра t на концах дуги.Пример 18. Найти длину дуги трактрисы (рис. 22), заданной параметрическими уравнениями28 x = 2 ln tg(t/2) + 2 cos t ; y = 2sin t ,где π / 2 ≤ t ≤ 3π / 4 .yA x = 2 ln tg(t / 2) + 2 cos t , y = 2sin tB0 t = π/2t = 3π / 4xРис.
223 Так как x′ = 2 (1/ sin t − sin t ) и y′ = 2 cos t , то( x′) + ( y′) 2 = 2 2 ctg 2t . Следовательно, по формуле (18) получаем23π / 4lBC = 2∫π/23π / 4ctg t dt = 2∫π/2− ctg t dt = −2 ln sin t3π / 4π/2= ln 2 . 4Замечание. Подынтегральная функция ctg t принимаетотрицательные значения при π / 2 ≤ t ≤ 3π / 4 , поэтомуctg t = −ctg t на отрезке [π / 2, 3 π / 4] .Кривая задана как график функции в полярной системе координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
