Копаев А.В., Маркелов Г.Е., Тесалина А.А. Определенный интеграл (2002) (1135777), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Дуга окружности x 2 + ( y − 2) 2 = 9 , для которой y ≥ 0 ,вращается около оси Ox. Вычислить площадь поверхностивращения.ch(2 x)ch 6, для которой y ≤, вращает6. Дуга кривой y =22ся около оси Ox. Вычислить площадь поверхности вращения.7. Вычислить длину дуги кривой y = 1/ cos(2 x ) , расположенной между точками с абсциссами x1 = 0 и x2 = π / 8 .8. Вычислить площадь поверхности тора, полученного привращении окружности x 2 + ( y − 4) 2 = 1 около оси Ox.9.
Вычислить длину дуги линии y = (arcsin e3 x ) 3 между1 31 8точками с абсциссами x1 = ln , x2 = ln .6 46 9210. Вычислить длину дуги кривой y = 4 x3 , лежащей внутриокружности x 2 + y 2 = 3 x / 2 .11. Фигура вращается около оси Оx. Она ограничена осьюОx, параболой y = 4 − x , где x ≥ 0, y ≥ 0 , и касательной кней в точке пересечения параболы с осью Оy. Вычислитьплощадь поверхности тела вращения.12. Вычислить длину дуги кривой y = (arcsin e 2 x ) 2 , распо1 3ложенной между точками с абсциссами x1 = ln и x2 = 0 .4 413. Дуга кривой y = 1/ sin 2φ , расположенной между точкамис абсциссами x1 = π / 6 , x2 = π / 4 , вращается вокруг оси Оx.Вычислить площадь поверхности вращения.4.6214. Фигура, ограниченная линиями y = x3, x = 1 и y = 0 ,вращается вокруг оси Оx.
Вычислить площадь поверхностивращения.15. Дуга кривой y = x 3 3 , на которой x ≤ 4 , вращается вокруг оси Оx. Вычислить площадь поверхности вращения.16. Фигура, ограниченная осью Оx, кривой ρ = cos φ ,y = ( x + 2)3 и касательной к этой кривой в точке пересеченияее с осью Оy, вращается около оси Оx. Вычислить площадьповерхности тела вращения.17. Вычислить длину дуги кривой y = 2 ln(2 − ( x − 3)2 ) , которая лежит выше оси Оx.18. Вычислить длину дуги кривой y = (3 − x) x 3 , расположенной между точками пересечения ее с осью Оx.19.
Вычислить длину дуги кривой y = 6 / sin( x / 3) , расположенной между точками с абсциссами x1 = π / 2 и x2 = 2π .20. Вычислить длину дуги кардиоиды ρ = 1 − cos φ , котораялежит внутри окружности ρ = cos φ , и длину дуги окружности, лежащей внутри данной кардиоиды.21. Вычислить длину части кривой y = 6 / cos( x / 3) , на которой y ≤ 12 .22. Дуга кривой y = e −2 x + 1 2 , расположенная между точками с абсциссами x1 = 0 и x2 = ln 4 , вращается около осиОx. Вычислить площадь поверхности вращения.23.
Дуга окружности x 2 + ( y − 12) 2 = 169 , на которой y ≥ 0 ,вращается около оси Оx. Вычислить площадь поверхностивращения.24. Вычислить длину дуги кривой y = 4 ln sin( x / 4) , расположенной между точками с абсциссами x1 = 2π и x2 = 8π / 3 .6325. Вычислить длину дуги кривой y = ( x − 12) x 6 , расположенной между точками пересечения ее с осью Оx.26. Дуга кривой y = ( x − 12) x 6 , расположенной междуточками пересечения ее с осью Оx, вращается около оси Оx.Вычислить площадь поверхности вращения.27. Вычислить длину дуги кривой y = e 2 x между точками сабсциссами x1 = 0 и x2 = ln 51/ 4 .28.
Дуга кривой y 2 = 6( x + 4) , на которой x ≤ 0 , вращаетсяоколо оси Оx. Вычислить площадь поверхности вращения.29. Вычислить длину дуги кривой y = 1/ sin 2 x , лежащеймежду точками с абсциссами x1 = π / 6 и x2 = π / 3 .30. Вычислить длину дуги логарифмической спиралиρ = 4e2φ , расположенной между двумя окружностями ρ = 12 иρ = 20 .Задача 5. Найти координаты центра масс дуги плоскойкривой и вычислить моменты инерции относительно заданных осей.1. Дуга кривой y = 2 x лежит внутри окружностиx 2 + y 2 = 5 и имеет постоянную линейную плотность. Найтикоординаты центра масс дуги кривой.2. Дуга кривой y = 2 x лежит внутри окружностиx 2 + y 2 = 5 и имеет постоянную линейную плотность.
Вычислить момент инерции дуги кривой относительно оси Ox.3/ 23. Дуга кривой y = xлежит внутри окружностиx 2 + y 2 = 2 и имеет постоянную линейную плотность. Найтикоординаты центра масс дуги кривой.644.Дугакривойy= x3/ 2лежитвнутриокружностиx + y = 2 и имеет постоянную линейную плотность. Вычислить момент инерции дуги кривой относительно оси Ox.5. Дуга цепной линии y = ch x имеет постоянную линейную плотность и расположена между точками с абсциссамиx1 = − ln 2 и x2 = ln 2 . Найти координаты центра масс дуги.6. Дуга цепной линии y = ch x имеет постоянную линейную плотность и расположена между точками с абсциссамиx1 = − ln 2 и x2 = ln 2 . Вычислить момент инерции дуги кривой относительно оси Ox.7.
Дуга кривой имеет постоянную линейную плотность изадана уравнением y = Arch x , где x ≤ 2 . Найти координатыцентра масс дуги.8. Дуга кривой имеет постоянную линейную плотность изадана уравнением y = Arch x , где x ≤ 2 . Вычислить моментинерции дуги кривой относительно оси Ox.9. Найти координаты центра масс дуги кардиоидыρ = 1 + cos φ , где − π / 2 ≤ φ ≤ π / 2 .10. Дуга кардиоиды задана уравнением ρ = 1 + cos φ , где− π / 2 ≤ φ ≤ π / 2 . Вычислить момент инерции дуги относительно полярной оси.11. Найти координаты центра масс дуги кривой, которая задана уравнением ρ = φ , где − π / 2 ≤ φ ≤ π / 2 , и имеет линей22ную плотность l (φ) = (φ 2 + 1) −1/ 2 .12. Дугакривойзаданаρ= φ ,уравнением−2где−1/ 2− π / 2 ≤ φ ≤ π / 2 , и имеет плотность l (φ) = φ (φ + 1) . Вычислить момент инерции дуги относительно полярной оси.13.
Найти координаты центра масс одной арки циклоиды,заданной параметрическими уравнениями265 x = t − sin t , y = 1 − cos t ,где 0 ≤ t ≤ 2π .14. Найти моменты инерции относительно оси Ox одной арки циклоиды, заданной параметрическими уравнениями x = t − sin t , y = 1 − cos t ,где 0 ≤ t ≤ 2π .15. Найти координаты центра масс дуги астроиды, заданнойпараметрическими уравнениями3 x = cos t ,3 y = sin t ,где 0 ≤ t ≤ π .16.
Дуга параболы x = y 2 / 2 имеет постоянную линейнуюплотность и лежит внутри эллипса 2 x 2 + y 2 = 12 . Найти координаты центра масс дуги кривой.17. Дуга кривой y = 2 x лежит внутри окружностиx 2 + y 2 = 5 и имеет постоянную линейную плотность. Вычислить момент инерции дуги кривой относительно оси Oy.18. Дуга кривой с постоянной линейной плотностью заданауравнением y = x 3/ 2 и лежит внутри окружности x 2 + y 2 = 2 .Найти координаты центра масс дуги кривой.3/ 219.
Дуга кривой y = xлежит внутриокружностиx + y = 2 и имеет постоянную линейную плотность. Вычислить момент инерции дуги кривой относительно оси Oy.266220. Дуга цепной линии y = ch x с линейной плотностьюl ( x) = sech x расположена между точками с абсциссамиx1 = − ln 2 и x2 = ln 2 . Найти координаты центра масс дуги.21. Дуга цепной линии y = ch x имеет постоянную линейную плотность и расположена между точками с абсциссамиx1 = − ln 2 и x2 = ln 2 . Вычислить момент инерции дуги кривой относительно оси Oy.22. Дуга цепной линии y = ch x с линейной плотностьюl ( x) = sech 2 x расположена между точками с абсциссамиx1 = − ln 2 и x2 = ln 2 . Найти координаты центра масс дуги.23.
Дуга кривой y = Arch x , на которой x ≤ 2 , имеет постоянную линейную плотность. Вычислить момент инерции дуги кривой относительно оси Oy.24. Найти координаты центра масс дуги кардиоидыρ = 1 + cos φ , где π / 2 ≤ ϕ ≤ 3 π / 2.25. Дуга кардиоиды задана уравнением ρ = 1 + cos φ , где− π / 2 ≤ φ ≤ π / 2 . Вычислить момент инерции дуги относительно оси, проходящей через полюс полярной системы координат перпендикулярно полярной оси.26. Найти координаты центра масс дуги кривой ρ = φ , где− π / 2 ≤ φ ≤ π / 2 , с линейной плотностью l (φ) = φ (φ 2 + 1) −1/ 2 .27. Дугакривойзаданауравнениемρ= φ ,где− π / 2 ≤ φ ≤ π / 2 , с плотностью l (φ) = φ −2 (φ 2 + 1) −1/ 2 . Вычислить момент инерции дуги относительно оси, проходящейчерез полюс полярной системы координат перпендикулярнополярной оси.6728. Найти координаты центра масс арки циклоиды, заданнойпараметрическими уравнениями x = (t − sin t ) / 2, y = (1 − cos t ) / 2,где 0 ≤ t ≤ π .29.
Найти моменты инерции относительно оси Oy одной арки циклоиды, заданной параметрическими уравнениями x = t − sin t , y = 1 − cos t ,где 0 ≤ t ≤ 2π .30. Найти координаты центра масс дуги астроиды, заданнойуравнением x 2 / 3 + y 2 / 3 = 2 2 / 3 и расположенной в первом и четвертом квадрантах.ОГЛАВЛЕНИЕ1. Основные теоретические сведения……..…….…....……. 31.1. Основные понятия……………..………………….… 31.2. Свойства определенных интегралов….…….….…... 61.3.
Методы интегрирования……………..………….…… 72. Геометрические приложения определенногоинтеграла……………………………………………..…… 112.1. Вычисление площади фигуры………..….……….… 112.2. Вычисление объема тела вращения………….…..… 192.3. Вычисление длины дуги плоской кривой…..……... 242.4. Вычисление площади поверхности вращения………323. Механические и физические приложенияопределенного интеграла…………….………………..… 403.1. Вычисление координат центра масс дугиплоской кривой…..….……..………..……..…...…… 403.2.
Вычисление моментов инерции дугиплоской кривой………………………..……..….…... 464. Задачи для самостоятельного решения…………..………505. Домашнее задание….……………………………...………56Копаев Анатолий ВладимировичМаркелов Геннадий ЕвгеньевичТесалина Анастасия АндреевнаОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛРедактор О.М. КоролеваКорректор И.Е. МелентьеваИзд.
лиц. № 020523 от 25.04.97Подписано в печать 25.02.02. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.Печ. л. 4,5. Усл. печ. л. 4,2. Уч.-изд. л. 4,1. Тираж 100 экз. Изд. № 37.Заказ № 15Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана,107005, Москва, 2-я Бауманская, 5..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
