Копаев А.В., Маркелов Г.Е., Тесалина А.А. Определенный интеграл (2002) (1135777), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Вычислить длину дуги эпициклоиды с тремя заостреньями, которая задана параметрическими уравнениями x = a (4 cos t − cos 4t ), y = a (4 sin t − sin 4t ).Ответ: l = 32a.5323. Вычислить длину дуги эпициклоиды с четырьмя заостреньями, которая задана параметрическими уравнениями x = a (5 cos t − cos 5t ), y = a (5 sin t − sin 5t ).Ответ: l = 40 a .24. Вычислить длину дуги линии y = (2 / π) ln sin(π x / 2) ,где 1/ 2 ≤ x ≤ 3 / 2 .Ответ: l = (4 / π) ln tg(3π / 8) .25. Вычислить длину дуги линии, которая задана параметрическими уравнениями x = et cos t ,t y = e sin t ,где 0 ≤ t ≤ 1 .Ответ: l = 2(e − 1) .26.

Найти координаты центра масс дуги кривой y = x ,которая расположена внутри окружности x 2 + y 2 = 2 и имеетпостоянную линейную плотность.Ответ: xC = 0; yC = 0,5.27. Дуга кривой y = x расположена внутри окружностиx 2 + y 2 = 2 . Вычислить моменты инерции дуги относительнокоординатных осей Ox и Oy, если дуга имеет постоянную линейную плотность l = 3 / 8 .Ответ: Jx = 1, Jy = 1.28. Найти координаты центра масс спирали Архимедаρ = φ , где 0 ≤ φ ≤ π , имеющая постоянную линейную плотность l (φ) = 1/ φ 2 + 1 . Начало координат совпадает с полю-54сом полярной системы координат, а ось абсцисс совпадает сполярной осью.Ответ: xC = −2 / π , yC = 1 .29.

Дуга спирали Архимеда ρ = φ , где 0 ≤ φ ≤ π , имеетлинейную плотность l (φ) = φ −2 (φ 2 + 1) −1/ 2 . Вычислить моменты инерции дуги относительно координатных осей, если начало координат совпадает с полюсом полярной системы координат и ось абсцисс совпадает с полярной осью.Ответ: Jx = π/2; Jy = π/2.30. Найти координаты центра масс однородной дугиэвольвенты окружности, если дуга задана параметрическимиуравнениями x = cos t + t sin t , y = sin t − t cos t ,где 0 ≤ t ≤ π .Ответ: xC =2 – 12/π2, yC = 6/π.31. Найти координаты центра масс однородной дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями x = et cos t ,t y = e sin t ,где 0 ≤ t ≤ π .Ответ: xC =2 (1 + e 2π )1 + e 2π,y=.C5 (1 − e π )5(e π − 1)5532. Дуга кривой задана параметрическими уравнениямиt x = e cos t ,t y = e sin t ,где 0 ≤ t ≤ π .

Выписать моменты инерции дуги относительнокоординатных осей, если дуга имеет линейную плотностьl (t ) = e−3t .Ответ: J x = π / 2 ; J y = π / 2 .5. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕЗадача 1. Вычислить площадь фигуры, которая расположена на плоскости Oxy. Для каждого номера варианта заданылинии, ограничивающие фигуру.1. y = 2 x − 1 , y = x − 1 .2. y = 2ln x, y = ln(x+2), x = 4.3. y = arctg x и прямая, проходящая через начало координати через точку с абсциссой x = 1 на заданной линии.4. x = 4, y = ln x и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осью Ox.5.

y = e − x , y = e −2 x − 2, x = 0 .6. y = arcsin x, касательная к этой линии в начале координат и прямая x = 1.7. y = x + 4, y = 2 − x , y = 0 .8. y = arctg x, y = arctg(2x–4), y = 0.9. y = −4 , y = ln x и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осью Ox.10. y = ln(–x), y = ln(x+4), y = ln 6.11.

y 2 = x / 4, y 2 = x − 3 .12. y = ln(x + 1), y = 2ln(x – 1), y = 0.5613. y = 1 − x , y = 1 − x / 3 .14. y = e x − 1, y = e 2 x − 3, x = 0 .15. y = 3 − x 2 , y = 2 x .16. y = arcsin x и прямая, проходящая через концы этой линии.17. y 2 = x + 2, y = 4 (3 − x) .18. x = 0, y = e x − e и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осью Ox.19. y = e x − 1, y = 2e − x , x = ln 4 .20. y = arcsin x, y = − arcsin( x − 2), y = − π / 2 .21. y = e x − 1, y = e x / 4, y = 1/ 4 .22. y = 2 ln x, y = − ln x, x = e .23.

( y − 3)2 = 4 x, y = x .24. y 2 = −4 x, y 2 = 3 − x .25. y = π / 4, y = arctgx и касательная к этой линии в началекоординат.26. y = ln( x + 2), y = 2 ln x, y = 0 .27.28.29.30.y = 4 1 − x2 , y = 1 1 − x2 .y = 2 /( x + 2) 2 , y = 1 / 2 − 5 x .y = xe 2 x , y = xe −2 .y = arcsin x, y = arctg2 x .Задача 2. Фигура, расположенная на плоскости Oxy,вращается около координатной оси. Вычислить объем полученного тела вращения. Для каждого номера варианта заданылинии, ограничивающие фигуру, и ось вращения.1. y = arcsin x и прямая, проходящая через концы этой линии; ось Oy.2. y = x + 2, y = −1/ x 2 , x = 0 ; ось Oy.573.4.y = x + 2, y = 2 − x , y = 0 ; ось Ox.y = x1/ 3 , y = 0, x = 8 ; ось Oy.5.6.7.y = 2 − x , y = ( x / 2)2 − 4, x = 0 ; ось Oy.y = x 3 , y = x1/ 3 ; ось Oy.y = ln( x + 1), x = 5, y = 0 ; ось Oy.8.

x = 6 − y , где y ≥ 2 , x = 4 − 2 y , где y ≤ 2 , x = 0, y = 0 ;ось Oy.9. y = ( x − 2) 2 , y = 4 − x 2 ; ось Ox.10. y = 2 − x 2 / 2, y = 4 − 5 x 2 / 2 ; ось Ox.11. y = e x − 1, y = 2, x = 0 ; ось Ox.12. ( y − 2) 2 = 4 − x, x = 0 ; ось Ox.13. y = arctg x, x = 1, y = 0 ; ось Oy.14. y = 2 x , y = 4 − x, x = 0 ; ось Oy.15.

y = ln x, y = 2 − ln x, y = 0 ; ось Oy.16. y = 4 x 2 − 4, y = x 2 − 1 ; ось Ox.17. y = 2sin x и ветвь тангенсоиды y = tg x, которая проходитчерез начало координат; ось Ox.18. y = 2 x , y = 6 − x , x = 0 ; ось Oy.19. y = 5 − x , y = 2 x − 1, x = 0 ; ось Oy.20. x = 4, y = ln x и касательная к этой кривой в точке пересечения ее с осью Ox; ось Oy.21. y = x, y = x ; ось Oy.22.

y = ( x / 2) 2 , y = x − 1, x = 0 ; ось Oy.23. y = 0, y = 1 + sin x (между двумя соседними точками касания линии с осью Ox); ось Ox.24. y = e x , y = 4e − x , y = 4 ; ось Ox.25. x =58y , x = 4 − y , y = 0 ; ось Ox.26. y = x, x = 2 − y , y = 0 ; ось Ox.27.

y = ln( x − 1), x = 3, y = 0 ; ось Oy.28. x = 2, y = arcsin( x / 2) и касательная к этой кривой в начале координат; ось Oy.29. x = 0, y = 4 − 2 x и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осью Ox; ось Oy.30. y = 2 x , y = 6 − x , y = 0 ; ось Ox.Задача 3. Вычислить площадь фигуры. Для каждого номера варианта задана соответствующая фигура.1. Внутри окружности ρ = 6 cos φ и одновременно внелемнискаты ρ 2 = 9 cos 2φ .2.

Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos φ и одновременно внутриокружности ρ = 1 .3. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos φ и одновременно вне кардиоиды ρ = 3(1 − cos φ) .4. Внутри окружности ρ = 6 cos φ и одновременно внутрилемнискаты ρ 2 = 9 cos 2φ .5. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos φ и одновременно внутриокружности ρ = 3 sin φ .6. Внутри окружности ρ = 1 и одновременно внутри кардиоиды ρ = 2(1 − cos φ) .7. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos φ и одновременно вне окружности ρ = − cos φ .8. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos φ и окружности ρ = 3cos φ .9. Внутри окружности ρ = 3 sin φ и одновременно внутрикардиоиды ρ = 1 − cos φ .5910.

Внутри кардиоиды ρ = 1 − cos φ и одновременно вне окружности ρ = 3 sin φ .11. Внутри кардиоиды ρ = 1 − cos φ и одновременно внутриокружности ρ = cos φ .12. Между двумя лемнискатами ρ 2 = 4 cos 2φ и ρ 2 = cos 2φ .13. Внутри лемнискаты ρ 2 = cos 2φ и одновременно внутриокружности ρ = 2 sin φ .14. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos φ справа от прямой3ρ=.4 cos φ15. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos φ и одновременно вне кардиоиды ρ = 1 − cos φ .16.

Внутри окружности ρ = 3 и одновременно вне кардиоидыρ = 2(1 + cos φ) .17. Внутри лемнискаты ρ 2 = 2 cos 2φ и одновременно внеокружности ρ = 1.18. Внутри окружности ρ = 3 sin φ и одновременно внекардиоиды ρ = 1 − cos φ .19. Внутри правой ветви лемнискаты ρ 2 = 9 cos 2φ и одновременно вне окружности ρ = 6 cos φ .20. Внутри четырехлепестковой розы ρ = 2 sin 2φ и одновременно вне окружности ρ = 1 .21. Внутри окружности ρ = cos φ и одновременно вне кардиоиды ρ = 1 − cos φ .22.

Внутри окружности ρ = sin φ и одновременно вне трехлепестковой розы ρ = sin 3φ .23. Внутри окружности ρ = 1 и одновременно внутри кардиоиды ρ = 2(1 + cos φ) .6024. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos φ и одновременно вне кардиоиды ρ = 1 + sin φ .25. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos φ справа от прямойρ = 3 /(4 cos φ) .26. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos φ и одновременно вне ок1ружности ρ =sin φ .327. Внутри окружности ρ = 2sin φ и одновременно внутриокружности ρ = 1.28.

Внутри окружности ρ = sin φ и одновременно вне четырехлепестковой розы ρ = sin 2φ .29. Внутри окружности ρ = 3/2 и одновременно вне кардиоиды ρ = 3(1 − cos φ) .30. Внутри кардиоиды ρ = 3(1 + cos φ) и одновременно внекардиоиды ρ = 1 − cos φ .Задача 4. Вычислить длину дуги или площадь поверхности вращения.1. Дуга кривой y = e x + 1 , расположенная между точкамис абсциссами x1 = 0 , x2 = 3 , вращается около оси Ox. Вычислить площадь поверхности вращения.2. Вычислить длину части кривой 2 y = ch(2 x) , где2 y ≤ ch 6 .Вычислить длину дуги кривой y = e 2 x + 1 2 , располоln 3ln 24женной между точками с абсциссами x1 =и x2 =.223.611 e x − e− xВычислить длину дуги линии y = ln x − x , располо2 e +eln 2ln 5женной между точками с абсциссами x1 =и x2 =.245.

Характеристики

Список файлов книги