Н.И. Ионкин - Электронные лекции (2008) (1135232), страница 3
Текст из файла (страница 3)
∃Bn+1, n = 0, 1, . . . , x0 çàäàíî1.5.5ãäåÌåòîä Ðè÷àðäñîíàxn+1 − xn+ Axn = f,τn+1τn+1 > 0,.−1∃Bn+1, n = 0, 1, . . . ,x0ãäåÇàìå÷àíèå:A = A∗ ÿâëÿåòñÿ çàäàíîÏÈ è Ðè÷àðäñîíà îïòèìàëüíûé íàáîð, ïðèÄëÿ ìåòîäîâ×åáûøåâñêèéíàáîð.1.5.6Ïîïåðåìåííî-òðåóãîëüíûé ìåòîä (ìåòîä Ñàìàðñêîãî)Îäèí èç ñàìûõ áûñòðûõ ìåòîäîâ, íà ïîðÿäîê áûñòðåå Ìß, ÌÇ è ÌÏÈ.ÏóñòüA = R1 + R2 ,ãäå0.5a110..R1 = aij0.5a11.. , R2 = .0.5ammaij.00.5ammÒîãäà êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè ÏÒÈÌ èìååò ñëåäóþùèé âèä:(E + ωR1 )(E + ωR2 )xn+1 − xn+ Axn = fττ > 0, n = 0, 1, .
. . , x0 çàäàíî1.6. Òåîðåìû î ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ19Ðåàëèçàöèÿ ìåòîäàÂâîäèì âåêòîðû:W n+1 = (E + ωR2 )V n+1 =xn+1 − xn,τxn+1 − xnτÂâåäåì âåòîð íåâÿçêè:∇n = −Axn + fÐåàëèçàöèÿ ïðîõîäèò â òðè ýòàïà:1. Ðåøàåòñÿ ñèñòåìà(E + ωR1 ) W n+1 = ∇n ,| {z }íàõîäèìW n+1(îáðàùàåòñÿ íèæíÿÿ òðåóãîëü-íèæíåòðåóã.íàÿ ìàòðèöà).2.(E + ωR2 ) V n+1 = W n+1 , íàõîäèì V n+1 (îáðàùàåòñÿ âåðõíÿÿ òðåóãîëü| {z }âåðõíåòðåóã.íàÿ ìàòðèöà).3. Íàõîäèì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèåxn+1 = xn + τ V n+11.6Òåîðåìû î ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâÎïðåäåëåíèå 7.Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâîH.H = {x|x = (x1 , .
. . , xm )}Îïðåäåëåíèå 8.Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.∀x, y ∈ H : (x, y) =mXxi yii=1Îïðåäåëåíèå 9.Åâêëèäîâà (ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ) íîðìà.kxk =ÏóñòüD = D∗ > 0(x, x) ñàìîñîïðÿæåííàÿ, ïîëîæèòåëüíàÿ ìàòðèöà.Ââåä¼ì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå:Îïðåäåëåíèå 10.p(x, y)D = (Dx, y)Ýíåðãåòè÷åñêàÿ íîðìà.kxkD =p(x, x)D ,åñëèD=E,òîkxkD = kxkÃëàâà 1. ×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû20ÍàïîìèíàíèåC > 0 ⇔ (Cx, x) > 0 ∀x 6= 0,C ≥ 0 ⇔ (Cx, x) ≥ 0, ∀xÅñëèC = C ∗ > 0, òîâñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿÅñëèC = C∗ > 0∃δ > 0 : (Cx, x) ≥ δkxk2,òîCáîëüøå0Çàäà÷à 3.
Äîêàçàòü, ÷òî (Cx, x) = ( C+Cx, x) (H âåùåñòâåííîå ïðî2∗ñòðàíñòâî)Ïîñòàíîâêà çàäà÷èAx = f, |A| =6 0, A(m × m)Bxn+1 − xn+ Axn = f,τãäåτ > 0, ∃B −1 , n = 0, 1, . . . , x0 (1.30)(1.31)çàäàíîÂâåäåì ïîãðåøíîñòü íà n-îì øàãå:V n = xn − x(1.32)lim kV n k = 0n→∞nÈç (1.32) âûðàçèì x è ïîäñòàâèì â (1.31).  ñèëó ëèíåéíîñòè è (1.30),Ñõîäèìîñòü ìåòîäà îçíà÷àåò, ÷òîïîëó÷èìBV n+1 − V n+ AV = 0,τãäåV 0 = x0 − x, n = 0, 1, . .
. , x0 (1.33)çàäàíîÒàêèì îáðàçîì çàäà÷à (1.31) ñòàëà îäíîðîäíîé.ÂûðàçèìV n+1 èç (1.33) (ýòî ìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê B - íåâûðîæäåííàÿ)V n+1 = SV n ,S = E − τ B −1 Aãäå ìàòðèöà ïåðåõîäà îò n-îé èòåðàöèè ê (n+1)-éÒåîðåìà 1. Èòåðàöèîííûé ìåòîä (1.31) ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.30) ñõîäèòñÿïðè ëþáîì íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû S ïî ìîäóëþ ìåíüøå 1 (áåç äîêàçàòåëüñòâà)∀x0 lim kV n k = 0 ⇔ |λsk | < 1, k = 1, mn→∞Äîêàçàòåëüñòâî.Çàìå÷àíèå:Ìîæíî ïðî÷èòàòü â [3]Ñõîäèìîñòü èòåðàöèîííîãî ìåòîäà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿñïåêòðîì ìàòðèöû S. Íî íàõîæäåíèå ñïåêòðà S ñàìî ïî ñåáå ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé.ÏóñòüH âåùåñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðå-ìà î äîñòàòî÷íîì óñëîâèè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííîãî ìåòîäà:1.6. Òåîðåìû î ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâÒåîðåìà 2(Ñàìàðñêîãî)21. Åñëè1. A = A∗ > 0, τ > 02. B − 0.5τ A > 0Òîãäà èòåðàöèîííûé ìåòîä (1.31) ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.30) ñõîäèòñÿ â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé íîðìå ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè, òî åñòülim kxn − xk = lim (n→∞Çàìå÷àíèå:n→∞nX(xnj − xj )2 )1/2 ) = 0j=1 ïðèðîäå èç-çà ñèììåòðèè áîëüøèíñòâî ìàòðèö, îïèñûâà-þùèõ ïðîöåññû, ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè. Òàêèì îáðàçîì 1 óñëîâèå íåÿâëÿåòñÿ æåñòêèì îãðàíè÷åíèåì.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì Yn = (AV n , V n ) 1. Äîêàæåì,òåëüíîñòü Yn íåâîçðàñòàåò. Äëÿ ýòîãî íàéäåì Yn+1÷òî ïîñëåäîâà-Yn+1 = (AV n+1 , V n+1 ) = (ASV n+1 , SV n+1 )= (A(E − τ B −1 A)V n+1 , (E − τ B −1 A)V n+1 ) == (B −1 AV n , AV n )} = {Èçnn= (AV , V ) + (−τ )[(AB− τ (AB−1nAV , BÒàê òàê ìàòðèöà−1A=Añâîéñòâ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ}−1nnnAV , V ) + (AV , B−1=nAV )−nAV )]∗è ìû ðàññìàòðèâàåì åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî,òî âåðíû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:(AB −1 AV n , V n ) = (B −1 AV n , A∗ V n ) = (B −1 AV n , AV n )(1.34)Ó÷èòûâàÿ (1.34) ïîëó÷àåì:Yn+1 = Yn − τ [2(AV n , AB −1 V n ) − τ (AB −1 AV n , B −1 AV n )] == Yn − τ [((2AV n − τ AB −1 V n ), B −1 AV n ), B −1 AV n )] == Yn − 2τ ((B − 0.5τ )B −1 AV n , B −1 AV n )Ñëåäîâàòåëüíî:Yn+1 − Yn− 2τ ((B − 0.5τ )B −1 AV n , B −1 AV n ) = 0 ⇒ Yn+1 ≤ Yn|{z}τ(1.35)≥0{Yn }∞0 ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòünn2.
Yn = (AV , V ) ≥ 0, òàê êàê A > 0.∞Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî {Yn }0 íåâîçðàñòàåò è îãðàíè÷åííà ñíèçó 0.Ñëåäîâàòåëüíî, lim Yn = Y .n→∞3. Ïî óñëîâèþ òåîðåìû B − 0.5τ A > 0, H âåùåñòâåííî, ñëåäîâàòåëüíîÇíà÷èò,∃δ > 0 : ((B − 0.5τ A)B −1 AVn , B −1 AVn ) ≥ δkB −1 AVk2Òîãäà èç (1.35) ïîëó÷èòñÿ:Ãëàâà 1. ×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû22Yn+1 − Yn− 2δkB −1 AVk2 ≤ 0 ⇒ limn→∞ kB −1 AVk = 0τÂâåäåì îáîçíà÷åíèå:W n = kB −1 AVk.Ïîëó÷àåì:AV n = BW nV n = A−1 BW nÂîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîìkV n k ≤ kA−1 BkkW n kÑëåäîâàòåëüíî,çàâèñèò îò nÑëåäñòâèå.Åñëèlim kV n k = 0,n→∞òàê êàêA = A∗ > 0, 2D > A,lim kW n k = 0,n→∞àkA−1 Bkíåòîãäà ìåòîä ßêîáè ñõîäèòñÿ â ñðåä-íåêâàäðàòè÷íîé íîðìå ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè, ãäå D - äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöàa11..D=0Äîêàçàòåëüñòâî.0,.annÇàïèøåì ìåòîä ßêîáè â ìàòðè÷íîì âèäå:D(xn+1 − xn ) + Axn = fB = D, τ = 12D > A ⇒ D − 0.5A > 0Èç òåîðåìû Ñàìàðñêîãî ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.Ñëåäñòâèå.A = A∗ > 0 A îáëàäàåò äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì (aii >Pmj=1 |aij |, i 6= j ) Òîãäà ìåòîä ßêîáè ñõîäèòñÿ â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé íîðìåïðè ëþáîì íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè.Äîêàçàòåëüñòâî.0 < (Ax, x) =mXaij xi xj ≤i,j=1≤mX|aij ||xi ||xj | ≤i,j=1i,j=1mmmX1 X1 X|aij |x2i +|aij |x2j =|aij |x2j ,2 i,j=12 i,j=1i,j=1Ïðåîáðàçóåìaii >Pmj=1|aij |, i 6= j :2aii > aii +mXmXj=1,i6=j|aij ||aij |(x2i + x2j)≤2òàê êàêaij = aji1.7.
Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâmX0 < (Ax, x) ≤|aij |x2j <i,j=1mX(aii +i,j=1mX|aij |)x2i <mX232aii] x2i < 2(Dx, x)j=1j=1,i6=j(Ax, x) < 2(Dx, x), ñëåäîâàòåëüíî ïî Ñëåäñòâèþ 1 ìåòîä ßêîáè ñõîäèòñÿ.Çàäà÷à 4. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A = A∗ > 0, òî aii > 0.Ñëåäñòâèå.ÅñëèA = A∗ > 0 ,òîãäà ìåòîä Çåéäåëÿ ñõîäèòñÿ â ñðåäíåêâàä-ðàòè÷íîé íîðìå ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè.Äîêàçàòåëüñòâî.B = D + R1 , τ = 1Ïî òåîðåìå Ñàìàðñêîãî äëÿ âûïîëíåíèÿ ñõîäèìîñòè íàì íàäî äîêàçàòü,÷òîB − 0.5A > 0D + R1 >111R1 + D + R2222Òî åñòü íàäî ïîêàçàòü, ÷òî1(R1 + D − R2 ) > 02Ïîêàæåì, ÷òî ýòî âåðíî:(R1 x, x) + (Dx, x) − (R2 x, x) = (R1 x, x) + (Dx, x) − (x, R1∗ x) == (R1 x, x) + (Dx, x) − (x, R1 x) = (Dx, x) > 0 ⇔ aii > 0(ñì.Ñëåäñòâèå.çàäà÷ó)A = A∗ > 0, γ = max |λAk|2è 0 < τ < , òîãäà ìåòîä ïðîγ1≤k≤mñòîé èòåðàöèè ñõîäèòñÿ â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé íîðìå ïðè ëþáîì íà÷àëüíîìÅñëèïðèáëèæåíèè.Äîêàçàòåëüñòâî.Ýòî âåðíî, åñëè1 − 0.5τ γ > 0(òàê êàê γ - ìàêñèìàëüíîå0 < τ < γ2 âûïîëíåíî óñëîâèåñîáñòâåííîå çíà÷åíèå).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèòåîðåìû Ñàìàðñêîãî.1.7Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõìåòîäîâAx = f,(1.36)ãäå À - êâàäðàòíàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà m-ãî ïîðÿäêàBτ > 0, . n = 0, 1, . . . , x0xn+1 − xn+ Axn = f,τ çàäàíîãäå(1.37)Ãëàâà 1. ×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû24Àíàëîãè÷íî ñòàâèòñÿ çàäà÷à è äëÿ ïîãðåøíîñòèBVnV n+1 − V n+ AV n = 0τ(1.38)Ïåðåä íàìè ñòîèò öåëü ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ñëåäóþùåãî âèäà:kVkn+1 ≤ ρkVkn , 0 < ρ < 1(1.39)Ýòî ôàêòè÷åñêè îçíà÷àåò çàòóõàíèå ïîãðåøíîñòè ñ ðîñòîì n.
Åñëè òðàêòîâàòü (1.39) êàê ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå:kVkn ≤ ρn kV 0 k, 0 < ρ < 1, ÷òîîçíà÷àåò,n → ∞, kVkn → 0Ýòî æå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:kxn − xk ≤ ρn kx0 − xk, 0 < ρ < 1Äëÿ äîñòèæåíèÿ òî÷íîñòènρ ≤ .ε > 0 íàì íàäî, ÷òîáû kxn −xk ≤ kx0 −xk, òî åñòüÎòñþäà ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó ÷èñëà èòåðàöèé äëÿ äîñòèæåíèÿýòîé òî÷íîñòè:"#ln 11111≥ n ⇒ n ln ≥ ln ⇒ n0 () ≥ n0 =ερρln ρ1×èñëîln ρ1(1.40)íàçûâàþò ñêîðîñòüþ ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííîãî ìåòîäà, è îíîÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé , ïî êîòîðîé ñðàâíèâàþòñÿ èòåðàöèîííûå ìåòîäû.Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå âåùåñòâåííîå ïðîñòðàíñòâîH : dim H = mè äâåíîðìû:1.(x, y) =2.
ÏóñòüPmxi yi , kxk =i=1p(x, x)D = D∗ > 0, (x, y)D = (Dx, y), kxkD =p(x, x)DÒåîðåìà 3(Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè). Ïóñòü À,  - ñàìîñîïðÿæåííûå, ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå îïåðàòîðû (A = A∗ > 0, B = B ∗ > 0),0 < ρ < 1 è ïóñòü1+ρ1−ρB<A<B(1.41)ττÒîãäà èòåðàöèîííûé ìåòîä (1.37) ñõîäèòñÿ è èìååò ìåñòî îöåíêà:kV n+1 kB ≤ ρkV n kBÇàìå÷àíèå:(1.42) ñïðàâåäëèâî è â íîðìå îïåðàòîðà A.Äîêàçàòåëüñòâî.1. Äîêàæåì ñõîäèìîñòü.Èç óñëîâèÿ (1.41) ïîëó÷àåì:A<1+ρ2B < B(ττò.ê.ρ < 1) ⇒ B − 0.5A > 0Òàêèì îáðàçîì, ïî òåîðåìå Ñàìàðñêîãî ìåòîä (1.37) ñõîäèòñÿ.2. Äîêàæåì ñîîòíîøåíèå (1.42).(1.42)1.7.
Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâÒàê êàêB = B ∗ > 0,òî1∃B 2 , B11B 2 = (B 2 )∗ > 0, B−12−12, B −1 := (B−12Ïðåîáðàçóåì (1.38), äîìíîæèì åãî íà1B2Ðàññìîòðèì âåêòîðÒîãäà äëÿZn25)∗ > 0, B −1 = (B −1 )∗ > 01B− 2 :−1V n+1 − V n+ B 2 AV n = 0τ11Z n = B 2 V n ⇒ V n = B− 2 Z nïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå:11Z n+1 − Z n+ B − 2 AB − 2 Z n = 0 ⇒τ1111Z n+1 = Z n − τ B − 2 AB − 2 Z n = (E − τ B − 2 AB − 2 )Z n ⇒11Z n+1 = SZ n , ãäå S = E − τ B − 2 AB − 2(1.43)Èçó÷èì ñâîéñòâà ìàòðèöû S:111111S ∗ = (E − τ B − 2 AB − 2 )∗ = E ∗ − τ (B − 2 )∗ A∗ (B − 2 )∗ = E − τ B − 2 AB − 2 = SÒàê êàêS = S∗,∃{ei }m1òî îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ èç ñîáñòâåííûõâåêòîðîâ.Sek = sk ekmXZn =(n)Ck ekk=1Åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ S ïî ìîäóëþ ìåíüøåèñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (kZn 2k =nXρ,òî(n)(Ck )2 ) ïîëó÷èì:k=1Z n+1 = SZ n =mX(n)sk Ck ekk=1kZ n+1 k2 =mX(n)(Ck )2 s2k ≤ ρ2k=1mX(n)(Ck )2 = ρ2 kZ n k2 ⇒k=1kZn+1k ≤ ρkZ n k(1.44)Òîãäà îöåíêà (1.42) ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:1Zn = B 2 Vn ⇒1111kZ n k2 = (B 2 V n , B 2 V n ) = (B 2 (B 2 )∗ V n , V n ) = (BV n , V n ) = kV n k2BÈç (1.44), (1.45)⇒ kVn+1(1.45)nkB ≤ ρkV kBÎñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ S ïî ìîäóëþ ìåíüøåρ.Ãëàâà 1.
×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû26Îáîçíà÷èì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû S çàSx = sk x, k = 1, m,(E − τ BÄîìíîæèì íàsk :x ñîáñòâåííûé âåêòîð− 211AB − 2 )x = sk x1B2:11(B 2 − τ AB)x = sk B 2 xÂâåäåì âåêòîð11y = B 2 x ⇒ x = B− 2 x :(B − τ A)y = sk By ⇒ τ Ay = B(1 − sk )y ⇒ Ay =1 − skByτÓìíîæèì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî íà y:(Ay, y) =Ïî óñëîâèþ (1.41) òåîðåìû 1 − sk(By, y)τ1−ρτ B<A<1+ρτ B . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî:1−ρ1+ρ(By, y) < (Ay, y) <(By, y)ττB > 0, y 6= 0Òàê êàê1y = B 2 x, ãäå x 6= 0 êàê ñîáñòâåííûé âåêòîð) ⇒ (By, y) 6= 01 − sk1+ρ1−ρ(By, y) <(By, y) <(By, y)τττ(ò.
ê.(By, y) 6= 0,òî íà íåãî ìîæíî ñîêðàòèòü:1−ρ1 − sk1+ρ<<⇒ |sk | < ρτττÑëåäñòâèå.Ïóñòü∗1.A = A > 0, B = B ∗ > 02.∃ γ1 > 0, γ2 > 0 : γ1 < γ23.γ1 B ≤ A ≤ γ2 BÒîãäà, ïîëîæèâτ = τ0 =2γ1 +γ2 , èìååò ìåñòî îöåíêà:kV n+1 kB ≤ ρkV n kB ,ãäåρ=1−ξγ1, ξ=1+ξγ2(1.46)Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïîëíèëèñü óñëîâèÿ òåîðåìû íàì íàäî,1−ρ1+ρ÷òîáû γ1 =τ , γ2 = τ :γ1 + γ2 =τ2⇒ τ=2γ1 + γ21−2ργ1 − γ2γ1 − γ2γ1 − γ2 =⇒ ρ=τ==τ2γ1 + γ2γ1γ21+γ11−ξ=γ21+ξ1.8. Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè ïîïåðåìåííî-òðåóãîëüíîãî ìåòîäàÑëåäñòâèå.27xn+1 − xn+ Axn = fτÏóñòü1.A = A∗ > 0, B = E2.Aγ1 = min λAk , γ2 = max λkkÒîãäà, ïðèkτ=2γ1 +γ2 ÌÏÈ ñõîäèòñÿ è ñïðàâåäëèâà îöåíêà:kV n+1 k ≤ ρkV n k,Äîêàçàòåëüñòâî.ãäåρ=1−ξγ1, ξ=1+ξγ2Èç 2 ñëåäóåò, ÷òî íåðàâåíñòâîγ1 E ≤ A ≤ γ2 Eâûïîëíÿ-åòñÿ. Òàê êàê B = E, òî ýíåðãåòè÷åñêàÿ íîðìà ïåðåõîäèò â åâêëèäîâó.Çàìå÷àíèå: ξcâÿçàíà ñ ÷èñëîì îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû A..1.8Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè ïîïåðåìåííî-òðåóãîëüíîãî èòåðàöèîííîãî ìåòîäàAx = f,(1.47)ãäå À - êâàäðàòíàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà m-ãî ïîðÿäêàBτ > 0, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
