Н.И. Ионкин - Электронные лекции (2008) (1135232)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì.Â.ËîìîíîñîâàÔàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè èêèáåðíåòèêèÊîíñïåêò ëåêöèé ïî êóðñó ×èñëåííûåìåòîäû äëÿ òðåòüåãî êóðñà òðåòüåãî ïîòîêàôàêóëüòåòà ÂÌèÊËåêòîð: Èîíêèí Í.È.Ìîñêâà, 20082Îãëàâëåíèå1 ×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû71.1Ââåäåíèå. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2Ñâÿçü ìåòîäà Ãàóññà ñ ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè .8Ñâÿçü ôàêòîðèçàöèè ñ ìåòîäîì Ãàóññà . . . . . . . . . .101.31.2.1Îáðàùåíèå ìàòðèöû ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà . . . . . . . . .111.4Ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .131.5Ïðèìåðû è êàíîíè÷åñêèé âèä èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ . . . . .151.5.1Ìåòîä ßêîáè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.5.2Ìåòîä Çåéäåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.5.3Ìàòðè÷íûé âèä ìåòîäîâ ßêîáè è Çåéäåëÿ. . . . . . .161.5.4Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè . . . . . . . . . . . . . . . .
. .181.5.5Ìåòîä Ðè÷àðäñîíà181.5.6Ïîïåðåìåííî-òðåóãîëüíûé ìåòîä (ìåòîä Ñàìàðñêîãî). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.6Òåîðåìû î ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ. . . . . . . . .191.7Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ . . . . . .231.8Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè ïîïåðåìåííî-òðåóãîëüíîãî ìåòîäà .271.9Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ . . .
. . . . .301.9.1Ñòåïåííîé ìåòîä301.9.2Ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé . . . . . . . . . . . . . . . . .331.9.3Ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé ñî ñäâèãîì34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .1.10 Ïðèâåäåíèå ìàòðèöû ê âåðõíåé ïî÷òè òðåóãîëüíîé ôîðìå. .341.11 Ïîíÿòèå QR àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .381.11.1 QR - àëãîðèòì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .381.12 Ïðåäâàðèòåëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ìàòðèöû ê ÂÏÒÔ. Íåóõóäøåíèå ÂÒÏÔ ïðè QR-àëãîðèòìå. . . . . . . . . . . . . .
. . .2 Èíòåðïîëèðîâàíèå è ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé2.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è èíòåðïîëèðîâàíèÿ. . . . . . . . . . . . . .2.2Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà. Ïîãðåøíîñòü ôîðìó-394141ëû Ëàãðàíæà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422.3Ðàçäåë¼ííûå ðàçíîñòè432.4Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Íüþòîíà. . .
. . . . . . . . . . .452.5Èíòåðïîëèðîâàíèå ñ êðàòíûìè óçëàìè. Ïîëèíîìû Ýðìèòà . .462.62.7ÈñïîëüçîâàíèåH3 (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè êâàäðàòóðíîéôîðìóëû Ñèìïñîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Íàèëó÷øåå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé .
. . .493Îãëàâëåíèå43 Ðåøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì óðàâíåíèé533.1Ââåäåíèå3.2Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .543.2.1543.33.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìåòîä Ýéòêåíà (óñêîðåíèå ñõîäèìîñòè). . . . . . . . .53Ìåòîä Íüþòîíà è ìåòîä ñåêóùèõ .
. . . . . . . . . . . . . . . .553.3.1Ìåòîä Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé . . . . . . . . .563.3.2Ìåòîä ñåêóùèõ (õîðä). . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Ñõîäèìîñòü ìåòîäà Íüþòîíà. Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè . .574 Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè 594.1Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè . . . .
. .4.1.1Ââåäåíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2ßâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà. . . . . . . . . . . . . . . . . .59604.2×èñòî íåÿâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (ñõåìà ñ îïåðåæåíèåì)4.3Ñèììåòðè÷íàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (ñõåìà Êðàíêà-Íèêîëüñîíà)644.3.1Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ . . . . . . . . . .
. . . . . . .654.3.2Äîêàçàòåëüñòâî ñõîäèìîñòè ñõåìû664.3.3Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ñ âåñàìè. Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè 674.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñõîäèìîñòü ðàçíîñòíîé çàäà÷è7172Ìåòîäû ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è Äèðèõëå . . . . .
. . . . .744.5.1Ìåòîä ßêîáè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .744.5.2Ìåòîä Çåéäåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .744.5.3Ïîïåðåìåííî-òðåóãîëüíûé èòåðàöèîííûé ìåòîä. . . .75Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì . . . . . . . . . . .76Ââåäåíèå5.1.179. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79Ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ çàäà÷èÊîøè5.269. . . . . . . . . . . . . .5 Ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ è ñèñòåì ÎÄÓ5.162Ðàçðåøèìîñòü ðàçíîñòíîé çàäà÷è Äèðèõëå óðàâíåíèÿÏóàññîíà4.4.24.6. . . . . . . . . . .
.Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (çàäà÷à Äèðèõëå)4.4.14.5. . .59. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80Îáùèé m-ýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà . . . . . . . . . . . . . .815.2.1Òð¼õýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà. . . . . . . . . . . . .825.2.2×åòûð¼õýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà . . . . . . . . . . .825.2.3Îöåíêà òî÷íîñòè íà ïðèìåðå äâóõýòàïíîãî ìåòîäà . .
.825.3Ìíîãîøàãîâûå ðàçíîñòíûå ìåòîäû . . . . . . . . . . . . . . . .835.4Ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ìíîãîøàãîâîãî ðàçíîñòíîãî ìåòîäà. .85. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .865.55.4.1ßâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà5.4.2Íåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà5.4.3Óñòîé÷èâîñòü îáùåãîm-øàãîâîãîìåòîäà. . . . . . . .8687Ƽñòêèå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé5.6. . . . . .
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè . . . . . . . . . . . . . .89Ëèòåðàòóðà93Îãëàâëåíèå5Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ èçó÷àåìûé îáúåêò (íåêîòîðàÿ îòðàñëü). Èññëåäîâàíèå ýòîãî îáúåêòà ïðîèñõîäèò ïðè ïîìîùè êîëåñà Ñàìàðñêîãî, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 1Èçó÷àåìîìó îáúåêòó ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå (âîçìîæíî ïðèáëèæåííàÿ,çàãðóáëåííàÿ) ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü. Ïîñëå òîãî êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü îïèñàíà, ñòðîèòñÿ âû÷èñëèòåëüíûé àëãîðèòì ñ åãî îáîñíîâàíèåì (åãîâû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè). Åñëè ðåçóëüòàò íå ñîîòâåòñòâóåò ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì, òî óòî÷íÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü.1. ×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû2.
Èíòåðïîëèðîâàíèå è ïðèáëåæåíèå ôóíêöèé3. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé4. Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè5. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ Êîøè äëÿ ÎÄÓ è ñèñòåì ÎÄÓ6ÎãëàâëåíèåÃëàâà 1×èñëåííûå ìåòîäûëèíåéíîé àëãåáðû1.1ÂâåäåíèåÎñíîâíîé âîïðîñ ýòîé ãëàâû: ðåøåíèå ñèñòåìûAx = f,(1.1)ãäå À - êâàäðàòíàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà m-ãî ïîðÿäêàx = (x1 , ..., xn )T f = (f1 , ..., fn )TÇàìå÷àíèå:Âî âñåõ ãëàâàõ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìûèçó÷àþòñÿ äëÿ êîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷.Ðàññìîòðèì ñïîñîáû ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è (1.1). Ñóùåñòâóþòäâå ãðóïïû ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:1. Ïðÿìûå ìåòîäû: ìåòîä Ãàóññà, ôîðìóëû Êðàìåðà, ìåòîä êâàäðàòíîãîêîðíÿ è äðóãèå.
 ïðÿìûõ ìåòîäàõ ðåøåíèå íàõîäèòñÿ â àíàëèòè÷åñêîì âèäå.Êà÷åñòâî àëãîðèòìà îïðåäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì îïåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà.Ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû ïîðÿäêàm ∼ 106 − 107 ,ôîðìóëû Êðàìåðà íåïðèìåíèìû, òàê êàê òðåáóåìîå êîëëè÷åñòâî îïåðàöèé ïîðÿäêàm!. Ìå-m3òîä Ãàóññà òðåáóåò ïîðÿäêà3 îïåðàöèé.2.
Èòåðàöèîííûå ìåòîäû. èòåðàöèîíûõ ìåòîäàõ ðåøåíèå íàõîäèòñÿ êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðèáëèæåíèé:X = lim X n , X 0 − íà÷àëüíîån→∞Êàê ïðàâèëî, çàäàíîε > 0 - òî÷íîñòün0 (ε) ÷èñëîäå ñëó÷àåâ ìîæíî íàéòèïðèáëèæåíèåâû÷èñëåíèÿ ðåøåíèÿ.  ðÿèòåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿðåøåíèÿ çàäà÷è (1.1) ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ7ε:Ãëàâà 1. ×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû8kX − X n k ≤ ε,∃n0 (ε) :ãäån0 (ε)- ÷èñëî èòåðàöèé.Èòåðàöèîííûå ìåòîäû îöåíèâàþòñÿ ïî êîëëè÷åñòâó èòåðàöèé (n0 (ε)). ýòîé ãëàâå ìû áóäåì ðàññàòðèâàòü òàêæå ìåòîäû îáðàùåíèÿ ìàòðèöûè çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:Ax = λx, x 6= 0(1.2)Ïðè ðåøåíèè (1.2) ìîãóò âîçíèêàòü êàê ÷àñòè÷íûå (êîãäà íàõîäèòñÿ òîëüêî÷àñòü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé), òàê è ïîëíûå (êîãäà ïðèõîäèòñÿ íàõîäèòüâåñü ñïåêòð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé) ïðîáëåìû.1.2Ñâÿçü ìåòîäà Ãàóññà ñ ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû íà ìíîæèòåëèAx = f,(1.3)A(m × m), |A| =6 0Ìåòîä Ãàóññà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñàìûõ ýôôåêòèâíûõ ïðÿìûõ ìåòîäîâ.Ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìàòðèöàAïðèâîäèòñÿ ê òðå-óãîëüíîìó âèäó:1 0A→0ãij..100.1Ïîä îïåðàöèÿìè ïîíèìàþòñÿ êîëè÷åñòâî óìíîæåíèé è äåëåíèé.×èñëî äåéñòâèé, çàòðà÷èâàåìûõ íà ïðèâåäåíèå ìàòðèöû ê òðåóãîëüíîìóâèäó:nXm3m(m + 1)(2m + 1)∼63k2 =k=1×èñëî äåéñòâèé â îáðàòíîì õîäå ìåòîäà Ãàóññà:nXk=k=1m(m − 1)m2∼22Òàêèì îáðàçîì êîëè÷åñòâî îïåðàöèé â ïîëíîé ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàóññàm33 .Êîãäà ãîâîðÿò î ïðÿìûõ (òî÷íûõ) ìåòîäàõ, òî àáñòðàãèðóþòñÿ îò ïî-ïî ïîðÿäêó ïðîïîðöèîíàëüíîãðåøíîñòè îêðóãëåíèÿ ïðè ðàñ÷åòàõ íà ÝÂÌ.1.2.
Ñâÿçü ìåòîäà Ãàóññà ñ ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû íà ìíîæèòåëèÔàêòîðèçàöèÿ ìàòðèöû9A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà. Ìû õîòèìÏóñòüâûÿñíèòü óñëîâèÿ ïðè êîòîðûõ ìàòðèöó À ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôàêòîðèçîâàííîì âèäå:b11 b21B=bm1A = BC ,...0...0 .... . . bmm0b22bm2ãäå(1.4)mXcij..1C=.01A:Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöûaij =1bil cljl=1Ïåðåãðóïïèðóåì ýåëåìåíòû èñõîäÿ èç îñîáåííîñòåé ìàòðèöûaij =i−1XmXbil clj + bii cj +l=1Òàê êàêbil = 0l > i,ïðèbil cljl=i+1òî, ïðè óñëîâèèaij −i−1Xbii 6= 0:bil cljl=1cij =, i<jbii(1.5)Ïåðåãðóïïèðóåì ýëåìåíòû èñõîäÿ èç îñîáåííîñòåé ìàòðèöûaij =j−1Xcij = 0ïðèl > i,mXbil clj + bij cjj +l=1Òàê êàêB:C:bil cljl=j+1òîbij = aij −j−1Xbil clj , i ≥ j(1.6)l=1Íàéäåì âñå ýëåìåíòûbij , cij :c11 =a1ja11= 1 ⇒ c1j =, j = 2, mb11b11b11 = a11Òàêèì îáðàçîì ìû íàøëè âñå ýëåìåíòû ïåðâîé ñòðîêè ìàòðèöû Ñ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
