Н.И. Ионкин - Электронные лекции (2008) (1135232), страница 12
Текст из файла (страница 12)
u2 (t)ìîæíî ñ÷èòàòüu1 (t) íàäî22, à äëÿ u2 (t) τ <a1a2 .Ýòà ìîäåëüíàÿ çàäà÷à ïîêàçûâàåò â ÷¼ì ïðîáëåìà æ¼ñòêèõ ñèñòåì (ïðî-ñ áîëüøèì øàãîì, òàê êàê ðåøåíèå òàì ïî÷òè íå ìåíÿåòñÿ, àñ÷èòàòü ñ ìåíüøèì øàãîì, íî äëÿu1 (t) τ <òåêàþò ðàçíîìàñøòàáíûå ïðîöåññû).Çäåñü íàäî ïðèìåíÿòü íåÿâíûå ñõåìû, êîòîðûå íå èìåþò îãðàíè÷åíèéíàτ.(y1n+1 −y1nτy2n+1 −y2nτ+ a1 y1n+1 = 0+ a2 y2n+1 = 05.6. Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòèÎïðåäåëåíèå 31.89dūdt+ Aū(t) = 0ū(0) = ū0(5.23)Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (5.23) íàçûâàåòñÿ æ¼ñòêîé, åñëè:1.2.<λAk > 0, k = 1, ms=max <λAkmin <λAk(óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó) 1 (s ÷èñëî æ¼ñòêîñòè)Ââåä¼ì ïîíÿòèå æ¼ñòêîñòè äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû.Ïóñòüv̄(t)dūdt= f (t, ū(t))ū(0) = ū0(5.24) íåêîòîðîå ðåøåíèå (5.24). Äëÿ ëèíåàðèçàöèè çàäà÷è âîêðåñòíîñòè ýòîãî ðåøåíèÿ ðàññìîòðèì ðàçíîñòü:z̄(t) = ū(t) − v̄(t)dzk= fk (t, v̄(t) + z̄(t)) − fk (t, v̄(t)), k = 1, mdtÐàçëîæèì fk (t, v̄(t) + z̄(t)) â îêðåñòíîñòè òî÷êè (t, v̄(t)), óäåðæèâàÿ òîëüêî ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ:fk (t, v̄(t)+ z̄(t)) = fk (t, v̄(t))+∂fk∂fk(t, v̄(t))z1 (t)+· · ·+(t, v̄(t))zm (t)+o(|z|)∂u1∂umdz̄= J(t, v̄(t))z̄dt∂fi (t, v̄(t))J(t, v̄(t)) =,∂ujijÂâåä¼ì ÷èñëî æ¼ñòêîñòèÎïðåäåëåíèå 32.t < T,i, j = 1, mmax <λJk.min <λJkÑèñòåìà (5.23) íàçûâàåòñÿ æ¼ñòêîé íà ðåøåíèèv̄(t), 0 <åñëè:1.<λJk < 02.s(t) 1,5.6s(t) =(5.25)(óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó)k = 1, mÄàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè èïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì èíòåãðèðîâàíèÿæ¼ñòêèõ ñèñòåìÐàññìîòðèì ëèíåéíóþ çàäà÷ó: ýòîé ñèñòåìåJñèñòåìû (5.25).dūdt= Λūū(0) = ū0(5.26)Λ - ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿÃëàâà 5.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ è ñèñòåì ÎÄÓ90Îïðåäåëåíèå 33.Îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîãî ìåòîäà äëÿ çàäà÷è(5.24) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèµ = τ λ ∈ C,äëÿ êîòîðûõ äàííûé ìåòîä óñòîé÷èâ.Ïðèìåðû:1. ßâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà:yn+1yn+1 − yn= λynτ= yn + µyn = (1 + µ)ynÌåòîä ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè|q| < 1, q = 1 + µÒîãäà îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì:|1 + µ| ≤ 1|1 + µ0 + iµ1 | ≤ 1(1 + µ0 )2 + µ21 ≤ 1µ1µ0−12. Íåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà:yn+1 − yn= f (tn+1 , yn+1 )τyn+1 − yn− λyn+1 = 0τyn+1 (1 − τ λ) = yn1q=1−µ|q| ≤ 1 ⇒ |1 − µ| ≥ 1(1 − µ0 )2 + µ21 ≥ 1µ11Îïðåäåëåíèå 34.Ðàçíîñòíûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è (5.24) íàçûâà-A-óñòîé÷èâûì, åñëè îí ñîäåðæèòñòâî <µ < 0 (ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü).åòñÿµ0â îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè ìíîæå-5.6.
Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè91A-óñòîé÷èâûé ìåòîä ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî óñòîé÷èâûì, òî åñòüτ ìîæíî âûáèðàòü èñõîäÿ ëèøü èç íåîáõîäèìîé òî÷íîñòèðåøåíèÿ. Îäíàêî ÿâíûõ A-óñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ íå ñóùåñòâóåò, à ñðåäèËþáîéçíà÷åíèåíåÿâíûõ íåò âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè.3.
Ñèììåòðè÷íàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà:yn+1 − yn= 0.5 (f (tn , yn ) + f (tn+1 , yn+1 ))τÇàïèøåì å¼ äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è:yn+1 − yn= 0.5λ(yn + yn+1 )τyn+1 − yn = µyn + µyn+1(1 − µ)yn+1 = (1 + µ)ynyn+1 = qyn1+µq=1−µ|q| ≤ 1 ⇒ |1 − µ| ≥ |1 + µ|(1 − µ0 )2 + µ21 ≥ (1 + µ0 )2 + µ21µ0 ≤ 0Ñèììåòðè÷íàÿ ñõåìà ÿâëÿåòñÿA-óñòîé÷èâîéñõåìîé âòîðîãî ïîðÿäêà.µ1µ04.A(α)-óñòîé÷èâûåìåòîäûÎïðåäåëåíèå 35.ëèÐàçíîñòíàÿ ñõåìà íàçûâàåòñÿA(α)-óñòîé÷èâîé, åñ-| arg(−µ)| ≤ α.Çàìå÷àíèå.
A( π2 )-óñòîé÷èâûåìåòîäû ÿâëÿþòñÿµ1αµ0A-óñòîé÷èâûìè.Ãëàâà 5. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ è ñèñòåì ÎÄÓ92ßâíûõA(α)-óñòîé÷èâûõ ñõåì íå ñóùåñòâóåò. Ñðåäè íåÿâíûõ áûëè ïî-ñòðîåíû ìåòîäû òðåòüåãî è ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêîâ òî÷íîñòè. Ïðèìåðìåòîäà ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà:25yn+4 − 48yn+3 + 36yn+2 − 16yn+1 + 3yn= f (tn+4 , yn+4 )12τ9394Ãëàâà 5.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ è ñèñòåì ÎÄÓËèòåðàòóðà[1] Ñàìàðñêèé À.À., Ãóëèí À.Â. ×èñëåííûå ìåòîäû Íàóêà, 1989[2] Ñàìàðñêèé À.À. Ââåäåíèå â ÷èñëåííûå ìåòîäû Íàóêà, 1982[3] Áàõâàëîâ Í.Ñ., Æèäêîâ Í.Ï., Êîáåëüêîâ Ã.Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû Íàóêà, 1987[4] Ñàìàðñêèé À.À., Íèêîëàåâ Å.Ñ. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñåòî÷íûõ óðàâíåíèéÍàóêà, 1978[5] Êàëèòêèí Í.Í. ×èñëåííûå ìåòîäû Íàóêà, 1978[6] Ñàìàðñêèé À.À. Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñæåì[7] Æåëîâ, Áîáêîâ, Ìîíàñòûðñêèé Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû[8] Áåðåçèí È.Ñ., Æèäêîâ Í.Ï. Ìåòîäû âû÷èñëåíèé Íàóêà, 196695.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
