Шпоры на билеты (немного другая подборка) (1135157), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для любой на измеримом множестве E неотрицательной f(x) существуетнеубывающая последовательность {f n (x)} простых неотрицательных функций f n (x) таких,что lim f n (x) = f(x) в каждой точке x множества E, причем сходимость равномерная наn →∞множестве конечных значений функции f(x).k + 1kДоказательство. Введем в рассмотрение множество E (n),k = E n ≤ f(x) <2 n 2n = 1,2,…, k =0,1,2,…, E 0 = E[f(x) = +∞] . Ясно, что при любом натуральном nмножество E представимо в виде объединения попарно не пересекающихся множеств∞k, если x ∈ E (n)E = U E (n)k ∪ E 0 . Определим f n (x) следующим образом: f n (x) =k , еслиn2k =0( n +1)f n (x) = f(x) на E 0 . При переходе от n к (n+1) множество E (n)∪ E 2( nk ++11) , так какk = E 2k k k + 1 2k 2k + 1 2k + 1 2k + 2 (n +1)выполняется равенство 2n , 2 n = 2 n +1 , 2n +1 ∪ 2 n +1 , 2 n +1 .
На множестве E 2k2k2k + 1 k11f n +1 (x) = n +1 = f n (x) , а на E (n2k++1)1 : f n +1 (x) = n +1 = n + n +1 = f n (x) + n +1 > f n (x) . Кроме этого222221справедливо соответствие 0 ≤ f(x) - f n ( x) ≤ n для всех точек x ∈ E \ E 0 . Лемма доказана.2Следствие. Последовательность {g n (x)} , в которой функции g n (x) определяются по f n ( x), f n ( x) ≤ n,формуле g n (x) = обладает свойством: lim g n (x) = f(x) для любой точкиn →∞ n, f n ( x) > n,m(n)x ∈ E , g n (x) =∑C χkk =1Ek( x) , по равномерной сходимости на E \ E 0 может и не быть.15.
Плотность множества непрерывных функций в Lp. Непрерывность вметрике Lp.Лемма 1. Для любой на измеримом множестве E неотрицательной f(x) существуетнеубывающая последовательность {f n (x)} простых неотрицательных функций f n (x) таких,что lim f n (x) = f(x) в каждой точке x множества E, причем сходимость равномерная наn →∞множестве конечных значений функции f(x).Теорема 2.
Пусть E-ограниченное измеримое множество, p ≥ 1 . Тогда пространствонепрерывных на E функций С(E) плотно в Lp(E).Доказательство. Необходимо доказать, что для любой функции f (x) ∈ Lp(E) и длялюбого числа ε > 0 найдется непрерывная на E функция ϕ ( x) такая, что f(x) − ϕ (x) p < ε .Так как f(x) = f + (x) − f − (x) , то теорему достаточно доказать для случая f n (x) ≥ 0 .Принадлежность f(x) классу Lp(E) означает, что функция f(x) почти всюду конечна на E имножеством E 0 = E[f(x) = +∞] можно пренебречь. В силу следствия к лемме 1 существуетнеубывающая последовательность {f n (x)} простых неотрицательных функций f n (x)превращающих каждое число значение такое, что lim f n (x) = f(x) ∈ Lp(E) .
Поэтому согласноn →∞теореме 8(Б. Леви) из §4 для любого ε > 0 найдется номер N такой, что для всехn ≥ N выполняется равенство f n (x) − f(x) p < ε . Таким образом достаточно установитьсуществование функции ϕ ( x) ∈ C ( E ), удовлетворяющий для любого ε > 0 неравенствуf N (x) − ϕ (x) p < ε ,mf N (x) = ∑ Ck χ E k ( x) -произвольнаядляпростаяфункция,k =1принимающая конечное число значений.Для каждого множества E k существует, содержащийся в нем замкнутое множестваFk , и такое, что E k \ Fk < ε pk , где ε k -любое положительное число. При этом выполняетсясоотношениеχ E k (x) − χ Fk (x) = E k \ Fk1/pp< ε k .
Обозначим через rk (x) = ρ(x, Fk ) -функциюрасстояния от точки x ∈ E до множества Fk . Ясно, что функция rk (x) является непрерывной наE. Характеристическую функцию множества Fk можно представить в виде χ Fk ( x) = lim ϕk( n )n→∞1, x ∈ Fk11где ϕ ==.
Последовательность ϕ k(n) (x) не возрастает с номером,x∉F1 + nrk (x) k1 + nrk (x)n, причем справедливо соотношение χ Fk (x) − ϕ k(n) ≤ 1 , и в силу теоремы 8(Б. Леви) из §4 будет(n)kвыполнятсянеравенствоχ Fk (x) − ϕ k(n)p< εk ,еслиn{}-велико.Заметим,чтовсеϕ k(n) (x) непрерывны на E и даже во всем R n .mДалее, определим функцию ϕ (x) = ∑ C kϕk(n) (x) справедливо цепочка неравенств:k =1m(f N (X) − ϕ (x) p ≤ ∑ C k χ Fk (x) − ϕ k(n) + χ E k (x) − χ (n)Fkpk =1выбрать из неравенства 0 < ε k <ε−1)≤ ∑ 2 C εmpkk< ε , поэтому ε k достаточноk =1. Теорема доказана.2Теорема 3.
(Непрерывность в метрике Lp). Пусть E - ограниченное измеримоемножеств, p ≥ 1 . Тогда любая функция f(x) ∈ Lp(E) непрерывна в метрике Lp, то есть дляK +1Ckлюбого ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что справедливо неравенство f(x + h) − f(x) p < ε ,если h < δ , а функция f(x) считается продолженной нулем на все пространство R n .Доказательство.Пусть множество E содержится в шаре B0 (R) радиуса R с центром вточке x = 0. обозначим E1 = B0 (R + 1) и воспользуемся теоремой 2.Тогда для любого ε > 0существует ϕ (x) ∈ C(E1 ) и даже по замечанию в тексте доказательства ϕ (x) ∈ C(E1 ) такая, чтоεf(x) − ϕ (x) Lp(E ) < . Пусть h < δ < 1 ,тогда при x ∈ E тоже x + h ∈ E1 и справедлива цепочка13неравенств:f(x + h) − f(x) Lp(E) < f(x + h) − ϕ (x + h) Lp(E) + ϕ (x + h) − ϕ (x) Lp(E) + f(x) − ϕ (x) Lp(E) <−1 / pεEεε1/p< + ϕ (x + h) − ϕ (x) C( E ) E + < ε .
Неравенствоприϕ (x + h) − ϕ (x) C( E ) <333достаточно малых значениях h имеет место в силу равномерной непрерывности непрерывнойна E1 функции ϕ ( x) . Теорема доказана.16. Метрические пространства. Теорема о вложенных шарах.Определение 1. Множество M называется метрическим пространством, есликаждой паре его элементов x и y поставлены в соответствия неотрицательноечисло ρ (x, y) , удовлетворяющее условиям:1) ρ (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y(аксиома тождества);2) ρ (x, y) = ρ (y, x) (аксиома симметрии);3) ρ (x, z) ≤ ρ (x, y) + ρ (y, z) (аксиома треугольника).Число ρ (x, y) называется расстоянием между элементами x и y, аперечисленные три условия - аксиомами метрики. Любое множество можносделать метрическим пространством, если ввести метрику по закону: ρ (x, y) =0, если x = y, ρ (x, y) = 1, если x =/ y .Определение 2.
последовательность {x n } элементов метрическогомножества M называется фундаментальной, если lim ρ(x m , x n ) = 0.n →∞m →∞Последовательность {x n } элементов метрического множества M называетсясходящейся, если существует x ∈ M и такой, что Lim ρ(x n , x) = 0. Еслиn →∞последовательность {x n } точек множества пространства M сходится к точкеx ∈ M , то и любая подпоследовательность{x }nkпоследовательности{x n }сходится к этой же точке. Фиксируем произвольное число ε > 0 .
Ели ρ(x n , x) < εдля n ≥ N(ε ) , то и ρ(x n k , x) < ε для n k ≥ N(ε ) .Последовательность точек {x n } метрического пространства M можетсходиться не более, чем к одному пределу. Пусть x n → x ,xn->y. Тогдаρ(x, y) ≤ ρ(x n , x) + ρ(y, x n ) < εпри любом ε > 0 для достаточно больших номеров n, но это возможно лишь вслучае ρ (x, y) = 0, то есть x = y.Пусть дано множество X метрического пространства M.
Точкаa ∈ M называется предельной точкой этого множества, если любаяокрестность точке а содержит хотя бы одну точку множества X \ {a}, то естьB(a, r) ∩ [X \ {a}] ≠ φ для любого r. Множество, полученное присоединением к Xвсех его придельных точек, называется замыканием множества X иобозначается X . Множество X называется замкнутым, если X = X .Множество Y называется открытым, если его дополнение M \ Y замкнуто.Множество X называется всюду плотным в пространстве M, если X = M.Множество X называется нигде не плотным в пространстве M, если каждыйшар этого пространства содержит в себе шар, свободный от точек множестваX.Определение3.
Если в метрическом пространстве M каждаяфундаментальная последовательностьявляется сходящейся,топространство M называется полным.Теорема 1(о вложенных шарах). Пусть дана в полном метрическомпространстве M последовательность замкнутых шаров, вложенных друг вдруга (то есть таких, что каждый последующий шар содержится внутрипредыдущего), радиусы которых стремятся к нулю. Тогда существует ипритом единственная точка, принадлежащая всем этим шарам.Доказательство. Обозначим рассматриваемые шары следующим образом:B1 (a1 , ε 1 ), B2 (a 2 , ε 2 ),..., Bn (a n , ε n ),... .По условию теоремыB1 ⊃ B2 ⊃ ...
⊃ Bn ⊃ ... .Рассмотрим последовательность центров этих шаров:a1 , a 2 ,..., a n ,..., a n + p ,... .Так как Bn + p ⊂ Bn , то a n + p ∈ Bn (an , ε n ) . Поэтому ρ (a n + p , a n ) ≤ ε n . Следовательно,ρ (a n + p , a n ) → 0 при n → ∞ независимо от номера p, т.е. последовательность центровсфер является фундаментальной.В силу того, что пространство M - полное, эта последовательность сходится внекоторому пределу a ∈ M .
Возьмем любой шар Bk . Тогда точки a k , a k +1 , a k +2 ,...принадлежат этому шару. В силу замкнутости шара Bk предельная точка а этойпоследовательности также принадлежит Bk . Таким образом, a = lim a n принадлежитn →∞всем шарам.Допустим, что существует еще одна точка b, принадлежащая всем шарам иотличная от точки a, так, что ρ (a, b) = δ > 0 .
Так как a и b ∈ Bn , тоδ = ρ (a, b) ≤ ρ (a, a n ) + ρ (a n , b) ≤ 2ε n ,что невозможно, ибо ε n → 0 при n → ∞ . Теорема доказана.17. принцип сжатых отображений. Теорема Бэра о категориях.Теорема 3 (принцип сжатых отображений). Пусть в полном метрическомпространстве M задан оператор A, переводящий элементы пространства M вэлементы этого пространства. Пусть, кроме того,ρ (A(x), A(y)) ≤ αρ (x, y) ,где α < 1 , а x и y - любые элементы M. Тогда существует и притом единственнаяточка x 0 ∈ M и такая, что A(x 0 ) = x 0 . Эта точка называется неподвижной точкойоператора A, который, в свою очередь, называется сжатым (сжимающим)отображением.Определение 4. Множество X называется множеством 1-ой категории,если она может быть представлено в виде суммы конечного или счетного числанигде не плотных множеств. Множество, не являющееся множеством 1-ойкатегории, называется множеством второй категории.Теорема 2(Бэра о категориях).
Полное метрическое пространство естьмножество 2-ой категории.Доказательство. Предположим противное и допустим, что полное∞пространство M = U M n , где множества M n нигде не плотны. Возьмем шар B(a,1) сn =1центром в произвольной точке a и радиусом, равным единице. Так как M1 нигде неплотно, то внутри шара B(a,1) найдется шар B(a1 , r1 ) радиуса r1 < 1 , не содержащийточек множества M1 . Так как M 2 нигде не плотно, то внутри шара B(a1 , r1 ) найдется1шар B(a 2 , r2 ) радиуса r2 < , не содержащий точек множества M 2 и так далее.2Мы получили последовательность замкнутых шаровB1 (a1 , r1 ), B2 (a 2 , r2 ),..., Bn (a n , rn ),... ,каждый из которых вложен в предыдущий и радиусы которых стремятся кнулю. При этом шар B(a n , rn ) не содержит точек множеств M1 , M 2 ,..., M n .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
