Шпоры на билеты (немного другая подборка) (1135157), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Так как f (x) интегрируема по Риману, то I R = I R , откудаследует равенство I = I , то есть f (x) интегрируема по Лебегу и интегралы Римана и Лебегасовпадают.Теорема 2. Всякая ограниченная и измеримая на измеримом множестве конечноймеры функция интегрируема на нём по Лебегу.Доказательство: Построим специальное лебеговское разбиение множества Ε . Пустьm = inf f ( x ),M = sup f ( x ) . Разобьём отрезок [m, M ] точками m = y0 < y1 < ...
< yn = M иEEположим δ = max ∆yk , ∆yk = yk − yk −1 .1≤ k ≤ nЛебеговскимразбиениеммножестваΕназовёмnT = {Ε k }k =1 , Ε1 = Ε[ y 0 ≤ f ( x ) ≤ y1 ], Ε k = Ε[ y k −1 < f ( x) ≤ y k ], k = 2,3,..., n .разбиениеВсе множества Ε k измеримы, так как функция f (x) измерима. Пусть sT è ST –нижняя и верхние суммы, отвечающие разбиению T . Для любого номера k имеют местонеравенства yk −1 ≤ mk ≤ M k ≤ yk , где mk = inf f ( x), M k = sup f ( x) .
Умножая это тройноеEkнеравенство на | Ε k | и суммируя по k, получимEknnk =1k =1∑ y k −1 | Ε k | ≤ sT ≤ ST ≤ ∑ yk | Ε k | . Отсюдаn0 ≤ ST − sT ≤ ∑ ( y k − y k −1 ) | Ε k | , а так как для любого разбиения T : sT ≤ I ≤ I ≤ ST , тоk =10 ≤ I − I ≤ δ (Ε) . Из последней оценки в силу возможности выбора произвольногоположительного числа δ получаем равенство I = I . Теорема доказана.I. ∫1dx =| Ε | Если f ( x ) ≡ 1 на Ε , то sT = ST =| Ε | .EII. Если f (x ) ограничена, интегрируема на Ε , | Ε |< +∞ , и α любое действительноечисло, то функция αf (x) также интегрируема на Ε и ∫ αf ( x)dx = α ∫ f ( x)dx .EEIII. Если функции f1 ( x) и f 2 ( x) ограничены и интегрируемы на Ε , Ε < +∞ , то ихсумма интегрируема на множестве Ε и∫ ( f ( x) + f ( x))dx = ∫12Ef1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x)dx . Из свойствEEII и III вытекает линейное свойство интеграла Лебега: ∫ (αf1 + β f 2 )dx = α ∫ f1dx + β ∫ f 2 dx .ΕΕΕIV.
Если f (x) ограничена и интегрируема на каждом из непересекающихся множествконечной меры Ε1 и Ε 2 , тоf (x)интегрируема и на Ε = Ε1 U Ε 2и∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .ΕΕ1Это утверждение следует из того, что любое разбиение TΕ2множества E распадается на разбиение T1 и T2 для множеств Ε1 и Ε 2 , а объединение любыхдвух разбиений множеств Ε1 и Ε 2 является разбиение множества Ε .V. Если функции f1 ( x) и f 2 ( x) ограничены и интегрируемы на Ε , Ε < +∞ , иf1 ( x) ≥ f 2 ( x) всюду (почти всюду) на Ε , то∫Εf1 ( x)dx ≥ ∫ f 2 ( x)dx .
Так как все нижние суммыфункции F = f1 ( x) − f 2 ( x) неотрицательные, то I ≥ 0 .Ε9. Свойства интеграла Лебега от неограниченной и неотрицательнойфункции. Полная аддитивность и абсолютная непрерывность интегралаЛебега. Мажорантный признак суммируемости.Пусть f ( x) ≥ 0 всюду на E, Ε < +∞ , f (x) - измерима и, возможно, неограничена. Длялюбого числа N > 0 положим f N ( x) = min{N , f ( x)} - срезка функции f (x) . Функция f N (x)также измерима на Ε :Ε[ f > a], при a < NΕ[ f N > a ] = при a ≥ N ∅,Причём срезка f N (x) - ограничена.
В силу теоремы 1 из п.1 этого параграфасуществует интеграл I N ( f ) = ∫ f N ( x)dx .EОпределение 2. Если при N → ∞ существует lim I N ( f ) < +∞ , то f (x) называетсяN →∞суммируемой на множестве E, а этот предел называется интегралом от f (x) на Ε иобозначается∫ f ( x)dx = I ( f ) .E∞Теорема 3 (полная аддитивность интервала Лебега). Пусть Ε = U Ε k , Ε < +∞ ,k =1Ε i ∩ Ε j = ∅ , i ≠ j , все множества Ε k - измеримы.
Тогда 1) если f ( x ) ≥ 0 и f (x )суммируема на Ε , то f (x ) суммируема на Ε k , причем∫∞f ( x )dx = ∑ ∫ f ( x )dx ;(*)k =1 Ε kΕ2) если f (x ) ≥ 0 , f (x ) суммируема на всех множествах Ε k и ряд в формуле (*) сходится, тоf (x ) суммируема на Ε и справедливо равенство (*).Доказательство: Сначала докажем утверждения (1) и (2) для неотрицательнойограниченной функции f (x ) . Пусть 0 ≤ f ( x ) ≤ M . Положим Rn =∞U Ε k ; Rn =k = n +1при n → ∞ и∫nf ( x )dx − ∑∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx ≤ M ∫ dx = M Rk =1 Ε kΕΕnn∞∑Εk→0k =n +1→ 0 , т.е. случайΕnограниченной функции f (x ) рассмотрен.Пусть f (x ) ≥ 0 - любая суммируемая и неограниченная функция на множестве Е.
Всилу неравенства∫ fdx ≤ ∫ fdxΕkследует суммируемость на Ε k . Остается доказатьΕравенство (*). Из неравенства f N ( x ) ≤ f (x ) вытекает оценка (в силу справедливости теоремыдля случая ограниченной функции)∞∞∫ f (x )dx = ∑ ∫ f (x )dx ≤ ∑ ∫ f (x )dx .NΕ(**)Nk =1 Fkk =1 FkПереходя здесь к пределу при N → ∞ , получим∫∞f (x )dx ≤ ∑ ∫ f ( x )dx . С другойk =1 Ε kΕстороны, для любого натурального числа m∫Ε∞mf N dx = ∑ ∫ f N dx ≥ ∑ ∫ f N dx . Устремивk =1 Ε kk =1 Ε kN → ∞ , а затем m → ∞ , получим∫∞f ( x )dx ∑ ∫ f (x )dx , что и доказывает справедливостьk =1 Ε kΕравенства (*). Для доказательства утверждения 2) достаточно обосновать суммируемостиf (x ) на Ε , ибо формула (*) уже доказана. Но суммируемость функции f (x ) на Ε сразуследует из неравенства (**) и из сходимости ряда в правой части.Теорема 4 (абсолютная непрерывность интервала Лебега).
Если f (x ) ≥ 0 исуммируема на Ε , Ε < +∞ , то для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что каково бы нибыло измеримое подмножество e ⊂ Ε с мерой e < δ справедливо неравенство∫ f (x )dx < ε .eДоказательство: Так как f (x ) - суммируема на Ε , то для любого ε > 0 существуетεчисло N, при котором выполняется неравенство ∫ [ f (x ) − f N ( x )]dx < .
Поэтому, в силу2Εεf N ( x ) ≤ N справедливы соотношения ∫ f ( x )dx = ∫ [ f ( x ) − f N ( x )]dx + ∫ f N ( x )dx < + N e = ε2eeeεпри δ =.2NТеорема 6 ( мажорантный признак). Если f1 ( x) ≥ 0 - измерима на Ε , Ε < +∞ , f 2 ( x)- суммируема на Ε и, если всюду на Ε выполняется неравенство f1 ( x) ≤ f 2 ( x) , то f1 ( x) -суммируема на Ε и справедлива оценка∫ f (a) ≤ ∫ f ( x)dx .
Не а, а x1Ε2ΕДоказательство: Справедливость теоремы следует из соотношенияНе а, а x ∫ f1N (a) ≤ ∫ f 2 N ( x)dx ≤ ∫ f 2 ( x)dx .ΕΕΕ10. Интеграл Лебега от неограниченной функции любого знака. ТеоремаЛебега о предельном переходе под знаком интеграла.Пусть Ε < +∞ , f (x) - измеримая функция на Ε . Введём в рассмотрение две функции11( f ( x ) + f ( x)) и f − ( x ) = ( f ( x ) − f ( x )) , которые также измеримы на22+−Справедливы равенства f ( x) + f ( x) = f ( x) , f + ( x) − f − ( x) = f ( x) .f + ( x) =Ε.Определение 3. Измеримая функция f (x) называется суммируемой на Ε , Ε < +∞ ,если на Ε суммируемы обе неотрицательные функции f + (x) и f − (x) . При этом интеграломЛебега от f (x) называется разность∫ f ( x)dx = ∫ fΕ+( x)dx − ∫ f − ( x)dx .ΕΕТаким образом для интеграла Лебега (в отличие от несобственного интеграла Риманавторого рода) суммируемость f (x) эквивалентна суммируемости функции f (x) .Замечание.
Теорема 3 о полной аддитивности интеграла Лебега справедлива и вслучае произвольных суммируемых функций с изменением: во втором∞утверждении надо требовать сходимость ряда∑ ∫ f (x )dx .Теорема 4 обk =1 Εkабсолютной непрерывности интеграла верна, причём здесь утверждается выполнениенеравенства∫ f (x )dx < ε .eОпределение 4. Совокупность всех суммируемых на измеримом множествеΕ функций обозначается L(Ε ) ≡ L1 (Ε ) . Говорят, что последовательность f n ( x ) ∈ L(Ε )сходится в L(Ε ) (сходится в среднем) к f ( x ) ∈ L(Ε ) , еслиlim ∫ f (x ) − f (x ) dx = 0 .nn →∞ ΕИмеетместоlim ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dxравенствоnn →∞ Ε∫ f (x )dx − ∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) − f (x ) dx .nΕnΕЕсли{ f n (x )}таккакΕсходится в L(Ε ) к f ( x ) ∈ L(Ε ) , то этаΕпоследовательность сходится к f ( x ) и по мере на Ε . Для любого ε > 0 обозначимΕ n = Ε[ f − f n ≥ ε ]. Тогда∫fn− f dx ≥Ε∫f n − f dx ≥ ε Ε n и, значит, Ε n → 0 при n → ∞ .Εnf n ( x ) → 0 по мере, но∫[ ]( )n, x ∈ 0, 1 ,n .
Тогдаf n (x ) = 1 0, x ∈ n ,1f n (x )dx = 1 . Однако, при дополнительном условии из сходимости поОбратное утверждение, вообще говоря, не верно. ПустьΕмере следует и сходимость в среднем.Теорема(Лебега пр перех). Если последовательность {fn} на А сходится к fи при всех n |fn(x)|≤φ(x), где φ интегрируема на А, то предельная функция fинтегрируема на А и ∫(A) fn(x) dµ→∫(A) f(x) dµ.11. Свойства интеграла Лебега. Теорема Леви и следствие ее длярядов.Интегрируемость по Лебегу измеримой иограниченной функцииПусть Ε < +∞ , f (x) - измеримая функция на Ε . Введём в рассмотрение две функции11( f ( x) + f ( x)) и f − ( x) = ( f ( x) − f ( x)) , которые также измеримы на22+−Справедливы равенства f ( x) + f ( x) = f ( x) , f + ( x) − f − ( x) = f ( x) .f + ( x) =Ε.Определение 3. Измеримая функция f (x) называется суммируемой на Ε , Ε < +∞ ,если на Ε суммируемы обе неотрицательные функции f + (x) и f − (x) .
При этом интегралом∫ f ( x)dx = ∫ fЛебега от f (x) называется разностьΕ+( x)dx − ∫ f − ( x)dx .ΕΕ∞Теорема 3 (полная аддитивность интервала Лебега). Пусть Ε = U Ε k , Ε < +∞ ,k =1Ε i ∩ Ε j = ∅ , i ≠ j , все множества Ε k - измеримы. Тогда 1) если f (x ) ≥ 0 и f (x )суммируема на Ε , то f (x ) суммируема на Ε k , причем∫∞f ( x )dx = ∑ ∫ f ( x )dx ;(*)k =1 Ε kΕ2) если f (x ) ≥ 0 , f (x ) суммируема на всех множествах Ε k и ряд с модулями в формуле (*)сходится, то f (x ) суммируема на Ε и справедливо равенство (*).Теорема 4 (абсолютная непрерывность интервала Лебега).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
