Шпоры на билеты (немного другая подборка) (1135157), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если f (x ) ≥ 0 исуммируема на Ε , Ε < +∞ , то для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что каково бы нибыло измеримое подмножество e ⊂ Ε с мерой e < δ справедливо неравенство помодулю ∫ f (x )dx < ε .eТеорема 8 (теорема Леви). Пусть f n (x) - суммируемые на множестве Ε функции,E < +∞ , и пусть для любого натурального числа n выполняется неравенствоf n (x) ≤ f n + 1 (x) для почти всех x ∈ E . Если существует постоянная M такая, что длялюбогонатуральногочислаnвыполняетсянеравенство∫fn(x)dx ≤ M ,тоEпоследовательность {f n (x)} сходится почти всюду на E к некоторой функции f(x), причемf n (x) ∈ L(E) и lim ∫ f n (x)dx = ∫ f(x)dx .n →∞EEДоказательство: Не ограничивая общности, считаем: f n (x) ≥ 0 почти всюду на E( f n → g n = f n - f1 ≥ 0 ).
Так как {f n ( x )} не убывает почти всюду на E, то для почти всех x ∈ Eопределена предельная функция f(x) , которая в этих точках принимает конечные илибесконечные значения. Если мы докажем, что f(x) суммируема на E, то из этого будетследовать, что f(x) - почти всюду конечна на E и f n (x) - f(x) по мере на E и в силу теорему 5из §3. Отсюда в силу неравенства f n (x) ≤ f(x) почти всюду на E и теоремы 7 получимравенство lim ∫ f n (x)dx = ∫ f(x)dx . Таким образом, достаточно доказать суммируемостьn →∞EEфункции f(x) на множестве E.Для любого N>0 последовательность {f n, N ( x )} сходится к f N ( x ) почти всюду на E,причем ограниченная функция f N ( x ) суммируема на E и для почти всех x ∈ E выполняетсянеравенство f n, N ( x ) ≤ f N ( x ) .
Применяятеоремуполучим7,lim ∫ f n , N ( x )dx =n→∞∫f n ( x )dx ≥Εn→∞Εn , то иΕN∫ f (x )dx ≤ M .NиизнеравенстваΕf n , N ( x ) dx следует, что lim ∫ f n ( x )dx ≥∫Отсюда∫ f (x )dx .Ε∫ f (x )dx , а так как ∫ f (x )dx ≤ M для всехNnΕΕИз последнего неравенства и из неубывания интеграла в нём поΕN вытекает существование предела limN →∞∫ f (x )dx , что и означает суммируемость f (x ) на Ε .NΕСледствие (для функциональных рядов).
Если все функции u n ( x ) ≥ 0 почти всюдуна Ε , суммируемы на Ε и если сходится ряд∞∑ ∫ u (x )dx , то почти всюду наnΕ сходится рядn =1 Ε∞∑ u (x ) , причем сумма S (x ) ряда суммируема наE иnn =1∫ S (x )dx =Ε∞∑ ∫ u (x )dx , т.е. ряд можноnn =1 Εинтегрировать почленно.
Здесь в качестве f n ( x ) берем частичную сумму S n ( x ) =n∑ u (x ) .kk =1Теорема 9 (Теорема Фату). Если последовательность измеримых и суммируемых наΕ , Ε < +∞ , сходится почти всюду на Ε к функции f ( x) и если существует постоянная Атакая, что для всех номеров n выполняется неравенство∫fn( x) dx ≤ A . То функция f ( x)Εсуммируема на Ε и справедливо неравенство∫ f ( x) dx ≤ A .ΕДоказательство.
Положим g n ( x) = inf f k ( x) функции g n ( x) измеримы на Ε поk ≥nтеореме 3 из §3, последовательность {g n ( x)} не убывает и сходится к f (x) почти всюду наΕ . Кроме того g n ( x) ≤ f n ( x) , поэтому в силу мажорантного признака каждая функция g n ( x)суммируема-∫gnΕнаΕ.Применяякпоследовательности{g n ( x)}теорему( x)dx ≤ ∫ f n ( x) dx ≤ A , получим, что f ( x) - суммируема на Ε lim ∫ g n ( x)dx = ∫ f ( x) dx . Изn →∞Εпоследнего соотношения получается и неравенство∫fnΕΕ( x) dx ≤ A . Теорема доказана.ΕТеорема 10 (теорема Лебега). Для того, чтобы ограниченная на Ε , | Ε |< +∞ функцияf ( x) являлась интегрируемой по Лебегу на E необходимо и достаточно, чтобы f ( x) былаизмерима на Ε .Доказательство: Достаточность доказана в теореме 2, докажем необходимость.Пусть f ( x) ограничена и интегрируема на Ε , то есть I = I , следовательно, существуетпоследовательность разбиений Tn = {Ε (kn ) } множества Ε такая, что соответствующиеподпоследовательности верхних и нижних сумм {S n } и {sn } удовлетворяют условию1S n − sn < , причём каждое разбиение Tn является измельчением разбиения Tn −1 .
Поnопределению S n = ∑ M k( n ) | Ε (kn ) |, s n = ∑ mk( n ) | Ε (kn ) | , где M k( n ) и mk( n ) – точные грани наkΕ(n)kkфункции f ( x) . Введём в рассмотрение фундаментальные последовательности { f n ( x)} и{ f n ( x)}, положив f n ( x) = M k( n ) на Ε (kn ) , f n ( x) = mk( n ) на Ε (kn ) .Ясно, что функции f n (x) и f n (x) – измеримы на Ε , причём последовательность{ f n ( x)} не убывает, а { f n ( x)} – не возрастает. Также выполняется двустороннее неравенствоf n ( x) ≤ f ( x) ≤ f n ( x) .Положим f ( x) = lim f n ( x) и f ( x) = lim f n ( x) .n →∞[]n →∞[]По теореме 8: lim ∫ f n ( x) − f n ( x) dx = ∫ f ( x) − f ( x) dx .n →∞ΕΕИз определений f n (x) и f n (x) вытекает равенство∫ [ f (x ) − f (x )]dx = Snnn− sn .ИзпоследнихдвухсоотношенийполучаемΕ∫ [ f (x ) − f (x )]dx = 0 и, так как f (x ) − f (x ) ≥ 0 по теореме 5, f (x ) = f (x ) почти всюду на Ε , а,значит, и f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) почти всюду на Ε .
В силу измеримости функций f ( x ) и f ( x ) ,измерима и функция f ( x ) . Теорема доказана.Ε12. Теорема Фубини. Интеграл Лебега для множества бесконечной меры.Определение. Множество Z упорядоченных конечных последовательностей (x1,...,xn)xk принадлежит Xk называется прямым произведением множеств X1,...,XnТеорема Фубини. Пусть меры µx и µy, определены на σ-флгебрах,σ-аддитивны иполны;пусть далее, µ=µх X µу и функция f(x,y) интегрируема по мере µ на множествеА С X x Y.Тогда ∫(A)f(x,y)dµ=∫(X) (∫(Ax)f(x,y)dµy) dµx=∫(Y) (∫(Ay)f(x,y)dµx) dµyОпределение.(Интеграл Лебега на мн-ве бескон меры) Исчерпывающаяпоследовательность- монотонно возрастающая последовательность {Xn}измримыхподмножеств X такая что X=U Xn, µ(Xn)<∞.Измеримая ф-я f, определенная на мн-ве X с σ-конечной мерой µ, называетсясуммируемой на X, если она суммируема на каждом измеримом подмножестве ACXКонечной меры и если для каждой исчерпывающей последовательности {Xn} пределlim(n->∞) ∫(Xn) f(x) dµ существует и не зависит от выбора этой последовательности.13.
Классы Lp,p>1. Неравенства Гёльдера и Минковского.Пусть E - измеримое множество, число p ≥ 1Определение 1. Множество всех измеримых на E функций f(x), для которых функцииpf(x) суммируемы на E, называется пространством Lp(E).Норма в пространстве Lp(E) вводится по формуле f(x)= f(x)Lp(E)= ( ∫ f(x) dx )1/p .ppEЕсли f(x)p= 0 , то f(x) ~ 0, поэтому в этом пространстве элементы считаютсяравными, если они эквивалентны. Остается проверить аксиому треугольника длятаким образом введенной нормы. В случаи = 1 это очевидно, в случаи p > 1 сначаладокажем неравенство Гельдера, а затем неравенство Минковского.Опр.
Если p > 1, число q связано с числом p по формуле1 1+ = 1, f(x) ∈ Lp(E), g(x) ∈ Lp(E) ,то функция f(x)g(x) суммируема на E иp qсправедливо неравенство Гельдера.∫ f(x)g(x) dx ≤f(x)g(x)Lp(E)Lp(E).EДля доказательства введем в рассмотрение на множестве x > 0 функциюϕ (x) = x α − αx, α ∈ (0,1) .Производнаяϕ ' (x) = αx α −1 − α = α(x α −1 − 1)функцииϕ (x) больше нуля при x ∈ (0,1) и меньше нуля при x > 1. Следовательно, функцияϕ ( x) достигает максимума при x = 1. Запишем неравенство ϕ ( x) ≤ ϕ (1) в видеax α ≤ αx + 1 − α и положим x = , где a ≥ 0, b ≥ 0 .
Получим соотношениеb1a α ⋅ b1−α ≤ αa + (1 − α) , справедливо для всех чисел a ≥ 0 , b ≥ 0 . Если α = , тоp111a b1 − α = ; В результате выведем неравенство Юнга a p ⋅ b q ≤ + .qp qВ случаях f(x) ~ 0 или g(x) ~ 0 неравенство Гельдера очевидно. Пусть f(x) ~/ 0, g(x)pqf(x)g(x)~/ 0, положим a =,b =. В результате неравенство Юнга примет видpqf(x) pg(x) qq f(x) pg(x) f(x)g(x) ≤ f(x) p g(x) q +. p f(x) p q g(x) q pq Правая часть соотношения суммируема на множестве E, поэтому в силумажорантного признака суммируема на E и левая часть, то есть функция f(x)g(x).Интеграл от функции, стоящий в скобках в правой части, равен единице.
В итогенеравенство Гельдера доказано.pОпр. Если p ≥ 1, f(x), g(x) ∈ Lp(E) , то функция f(x) + g(x) суммируема на множествеE и справедливо неравенство Минковского f(x) + g(x)Lp(E)≤ f(x)Lp(E)+ g(x)Lp(E).14. Полнота пространства Lp.Последовательность { f n } элементов нормированного пространства называетсяфундаментальной, если числовая последовательностьf m − f n стремится к нулю приm, n → ∞ . Последовательность { f n } элементов нормированного пространства называетсясходящейся, если в этом пространстве существует элемент f такой, что lim f n − f = 0 .n →∞Определение 2.
Нормированное пространство называется полным(банаховым), елилюбая фундаментальная последовательность в этом пространстве является сходящийся.Теорема 1. Пространство Lp(E), E < +∞, p ≥ 1 , является полным(банаховым)пространством.Доказательство. Пусть {f n (x)} - произвольная фундаментальная последовательностьв Lp(E). Для любого натурального числа k существует номер n k такой, что для всех1f m(x) − f n(x) < k.
Можно считать, чтоm ≥ n k , n ≥ n k выполняется неравенство21n 1 < n 2 < n 3 < ... , тогда f n k +1 (x) − f n k (x) < k . В силу неравенства Гельдера:21 q q1 1/qf(x)−f(x)dx≤f(x)−f(x) 1 dx ≤ k E .nnnn∫E k +1k +1p ∫2EИз этого соответствия следует оценка∞∞11/q1/qf(x)−f(x)dx≤E= E , которая по теореме 8(Б.Леви) из §4∑∑n k +1nk∫k =1 Ek =1 2гарантирует сходимость почти всюду на E ряду∞∑fn k +1(x) − f n (x) и тем более рядаk =1∞[]f n1 (x) + ∑ f n k +1 (x) − f n k (x) .
Но это означает, что какая то частичная сумма этого ряда,k =1равна f n k +1 (x) сходится почти всюду на E к некоторой функции f(x). Далее, для любы ε > 0существует номер N такой, что для всех номеров m ≥ N, n k ≥ N выполняется неравенствоf m (x) − f n k (x)p[]< ε , а поскольку последовательность f m (x) − f n k (x) сходится почти всюду[][]на E к функции f m (x) − f (x) при k → ∞ , то по теореме 9(Фату) из §4 f m (x) − f (x) ∈ Lp(x)и выполняется неравенство f m (x) − f (x)p≤ ε для всех m ≥ N .
Отсюда в силу неравенстваМинковского следует принадлежность функции f(x) пространству Lp(E) и сходимостьпоследовательности { f n (x)} к функции f(x) в метрике Lp(E). Теорема доказана.Измеримая функция F(x) на измеримом множестве E называется простой, если онапринимает f(x) = C k , если x ∈ E k , причем C k может быть равным ± ∞ . Характеристической1, x ∈ Eфункцией множества E называется функция χ E (x) = .0, x ∉ E∞Очевидно, что всякая простая функция f(x) имеет вид f(x) = ∑ C k χ E n (x) ,причем вk =1этой сумме при каждом x отличном от нуля лишь одно слагаемое. Ясно, что функцияχ E (x) измерима тогда и только тогда, когда множество E-измеримо.Лемма 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
