Шпоры на билеты (немного другая подборка) (1135157), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть C – окружность единичной длины и α некоторое иррациональное число. Отнесём к одному классу те точки окружности G, которыемогут быть переведены одни в другие поворотом окружности на угол nαπ , где n – целоечисло. Каждый из этих классов будет состоять из счётного множества точек. Выберем изкаждого такого класса по одной точке и покажем, что полученное таким образом множествоφ 0 - неизмеримо.4. Измеримые функции и их свойстваОпределение. Пусть X и Y - два произвольных множества и в этих множествахвыбраны системы подмножеств SX и SY соответственно.

Функция f:X→Y называется (SX,SY)измеримой, если для любого подмножества А∈SY его прообраз содержится в SX : f -1(A) ∈SX.Определение 1. Функция f ( x ) , определенная на измеримом множестве E называетсяизмеримой на нем, если для любого числа a множество Ε[ f ≥ a ] измеримо.Определение 2. Две заданные на измеримом множестве E функции f(x) и g(x)называются эквивалентными, если множество E [f(x) ≠ g(x)] имеет меру нуль. Обозначаютэквивалентность функции формулой f(x) ~ g(x) .Определение 3. Говорят, что некоторое свойство выполняется почти всюду намножестве E, если оно не выполняется на подмножестве множества E меры нуль.Если функция f(x) непрерывна почти всюду на измеримом множестве E, то f(x)измерима на E.

Если f(x) непрерывна на замкнутом множестве F, то f(x) измерима на F, ибомножество F[f ≥ a] замкнуто при любом действительном числе a, и значит, измеримо.Теорема 1. Если функция f(x) измерима на Ε , то |f(x)| также измерима на нём.Если C = const , то f ( x ) + C и C ⋅ f ( x ) измеримы на Ε . Если f ( x ) и g ( x ) измеримы на Ε , то имножество Ε[ f > g ] – измеримо.Доказательство. Пусть a ≥ 0 , тогда Ε [ f ≥ a ] = Ε [ f ≥ a ] ∪ Ε [ f ≤ − a ] и по теореме 2из §2 это множество измеримо. Если a < 0 , то Ε [ f ≥ a ] = Ε . Для любого a имеем a Ε  f ≥ c  , c > 0соотношение Ε[ f + c ≥ a ] = Ε[ f ≥ a − c] и Ε[c ⋅ f ≥ a ] =  aΕ f ≤ , c < 0 . c При c = 0 произведение c ⋅ f ( x) ≡ 0 на Ε .

Наконец, пусть {rk } - последовательностьвсех рациональных чисел. Тогда∞Ε[ f > g ] = U (Ε[ f > rk ]) ∪ (Ε[g < rk ]) .k =1Теорема 2. Если функции f ( x) и g ( x) измеримы на измеримом множестве Ε , то иfфункции f ± g , f ⋅ g и ( g ≠ 0 ) измеримы на Ε .gДоказательство. Ε[ f ± g > a ] = Ε[ f > ± g + a ] - измеримо по теореме 1;1122f ⋅ g = ( f + g ) − ( f − g ) , а квадрат измеримой функции измерим –44доказательство как и для модуля f ;так как1 Ε [g > 0 ] ∩ Ε  g < a  при a > 0 ,1 Ε > a = Ε [g > 0 ]при a = 0 ,g 1  при a < 0 , Ε [g > 0 ] ∪ Ε  g < a1fто функция- измерима, а значит и- измерима.ggТеорема 3.

Если { f n ( x )} – последовательность измеримых на Ε функций, то нижний иверхний пределы этой последовательности – измеримы на Ε (ограниченность функций непредполагается).Доказательство. Заметим, что ϕ ( x ) = inf f n ( x ) и ψ ( x ) = sup f n ( x ) измеримы на Ε . Вn∞∞n =1n =1nсамом деле, Ε[ϕ < a ] = U Ε[ f n < a ] , Ε[ψ > a ] = U Ε[ f n > a ] и в силу теоремы 2 из §2 ϕ и ψ –измеримы. Пусть f ( x ) и f ( x ) – верхний и нижний пределы последовательности { f n ( x )} .Поскольку{}f ( x ) = sup inf f k ( x ) ,k ≥1k ≥nf ( x ) = inf sup f k ( x ) , то, по доказанному выше, ониk ≥1  k ≥ nизмеримы.Теорема 4.

Если { f n ( x )} - последовательность измеримых на Ε функций, сходитсяпочти всюду на Ε к функции f ( x ) , то f ( x ) измерима на Ε .Доказательство. Если { f n ( x )} сходится к f ( x ) всюду на Ε , то теорема 4 естьследствие теоремы 3. Если { f n ( x )} сходится к f ( x ) всюду на Ε кроме множества Ε 0 мерынуль, то f ( x ) измерима на Ε \ Ε 0 по теореме 3 и измерима на Ε 0 как на множестве меры нуль.Следовательно, f ( x ) измерима и на Ε = (Ε \ Ε 0 ) ∪ Ε 0 .5.

Измеримость предела сходящейся почти всюду последовательностиизмеримых функций. Сходимость по мере. Связь между сходимостью помере и сходимостью почти всюду.Определение 4. Пусть функции f n ( x ) , n = 1,2,3,... , и f ( x ) измеримы на Ε ипринимают почти всюду на Ε конечные значения. Говорят, что последовательность { f n ( x )}сходится к f ( x ) по мере на Ε , если для любого ε > 0 выполняется lim(Ε[ f n − f ≥ ε ]) = 0 , т.е.n →∞для любого ε > 0 и любого δ > 0 существует номер N = N (ε , δ ) такой, что для всех номеровn ≥ N справедливо равенство Ε[ f n − f ≥ ε ] < δ .Теорема 4. Если { f n ( x )} - последовательность измеримых на Ε функций, сходитсяпочти всюду на Ε к функции f ( x ) , то f ( x ) измерима на Ε .Доказательство.

Если { f n ( x )} сходится к f ( x ) всюду на Ε , то теорема 4 естьследствие теоремы 3. Если { f n ( x )} сходится к f ( x ) всюду на Ε кроме множества Ε 0 мерынуль, то f ( x ) измерима на Ε \ Ε 0 по теореме 3 и измерима на Ε 0 как на множестве меры нуль.Следовательно, f ( x ) измерима и на Ε = (Ε \ Ε 0 ) ∪ Ε 0 .Теорема 5 (теорема Лебега). Пусть Ε - измеримое множество конечной меры и пустьфункции f n ( x ) и f ( x ) измеримы на Ε и почти всюду конечны.

Тогда из сходимостипоследовательности { f n ( x )} к f ( x ) почти всюду на Ε следует сходимость { f n ( x )} к f ( x ) помере.Доказательство. Положим A = Ε[ f = +∞] , An = Ε[ f n = +∞] , B = Ε \ Ε[lim f n = f ] ,n →∞∞C = A U B U (U An ) . Тогда по условию теоремы C = 0 и всюду вне C последовательностьn =1f n ( x) → f ( x) при n → ∞ и все функции f ( x) и f n ( x) принимают конечные значения. Для∞любого ε > 0 положим En = E[ f n − f ≥ ε ] , Rn = U Ek . Так как Ε n ⊂ Rn , то Ε n ≤ Rn и дляk =n∞доказательства теоремы достаточно доказать, что Rn → 0 при n → ∞ . Обозначим R = I Rnn =1и покажем, что Rn → R при n → ∞ . По построению Rn +1 ⊂ Rn для любого номера n и∞поэтому Rn \ R = U ( Rk \ Rk +1 ) , причём множества под знаком объединения не пересекаются.k =n∞∞k =nk =1Тогда по теореме 7 из §2: Rn \ R = ∑ Rk \ Rk +1 и в силу сходимости ряда R1 \ R = ∑ Rk \ Rk +1его остаток стремится к нулю при n → ∞ , т.е.

Rn \ R → 0 и из равенства Rn = Rn \ R + Rследует Rn → R . Для доказательств а теоремы достаточно показать R = 0 , а для этогодостаточно доказать, что R ⊂ C .Пусть x0 -любая точка и x0 ∉ C . Тогда для любого ε > 0 существует N = N ( x0 , ε )такой, что f n ( x0 ) − f ( x0 ) < ε при n ≥ N , т.е. при n ≥ N точка x0 ∉ Ε n , а, значит, x0 ∉ Rn иx0 ∉ R . Вложение R ⊂ C установлено, а поэтому и доказана теорема.6.

теорема Рисса.Эквивалентность функций являющихся пределами по мереодной последовательности измеримых функций.Теорема 6 (теорема Рисса). Пусть Ε - измеримое множество конечной меры и пустьфункции f n ( x) и f ( x) - измеримы и почти всюду конечны на Ε , то из последовательности{ f n ( x)} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к f ( x) почти всюду на Ε .Доказательство. Не ограничивая общности считаем, что f (x) и f n ( x) принимаютконечные значения всюду на Ε (в противном случае, как и в теореме 5 рассмотриммножество Ε Α U (U ∞n =1 Α n ) ). Так как f n ( x) → f ( x) по мере на Ε , то для любого номера kнайдётся номер hk такой, что1для меры множества Ε k = Ε  f nk − f ≥ k∞∞k =nn =1Εk ≤ 1выполняется неравенство2k.Положим как и в теореме 5 Rn = U Ε k , R = I Rn .

Тогда в силу свойств внешней меры:∞∞11Rn ≤ ∑ Ε k ⇒ Rn ≤ ∑ k = n−1 ⇒ Rn → 0 при n → ∞ . Далее, как и в теореме 5 докажем,2k =nk =n 2что Rn → R при n → ∞ , т.е. R = 0 . Остаётся доказать сходимость f nk ( x ) → f ( x ) при∞n k → ∞ всюду вне множества R . Пусть x0 - любая точка множества Ε \ R = Ε \ I Rn , тогдаn =1x0 ∉ Rn при некотором N = N (x 0 ) . Но это значит, что x0 ∉ Ε k при k ≥ N ( x 0 ) , т.е.f nk ( x 0 ) − f ( x 0 ) < 1kпри k ≥ N . Следовательно, последовательностьf nk ( x 0 ) → f ( x 0 ) итеорема доказана.Теорема 7. Пусть Ε - множество конечной меры и пусть функции f n ( x ) , f ( x ) и g ( x )почти всюду конечны.

Тогда, если f n ( x ) → f ( x ) и f n ( x ) − g ( x ) по мере одновременно, тоf (x ) ~ g (x ) .Доказательство. Очевидно, что при любом ε > 0 выполняется включениеεεΕ [ f − g ≥ ε ] ⊂ Ε  f n − f ≥  ∪ Ε  f n − g ≥  , отсюда при n → ∞ мера правой части, а,22значит, и левой стремится к нулю, т.е. Ε[ f − g ≥ ε ] = 0 для любого ε > 0 . В итоге f ( x ) ~ g ( x )∞1на Ε , ибо Ε[ f ≠ g ] ⊂ U Ε  f − g ≥  , а мера правой части равна нулю.nn =1 Теорема 8 (теорема Егорова).

Пусть E – измеримое множество конечной меры ипусть fn(x) и f(x) измеримы, почти всюду конечны на E, а последовательность {fn(x)}сходится почти всюду к f(x) на E. Тогда для любого δ > 0 существует измеримое множествоΕ ∂ ⊂ Ε такое, что | Ε δ |>| Ε | −δ , на Ε δ последовательность {fn(x)} сходится к f(x) равномерно.Теорема 9 (теорема Лузина).

Пусть f(x) – измерима и почти всюду конечна наизмеримом множестве E. Тогда для любого δ > 0 существует непрерывная функция ϕ(x)такая, что | Ε[ f ≠ ϕ ] |< δ . Если, в частности, | f ( x) |≤ k , то и | ϕ ( x) |≤ k .Теорема. Предел f(x) сходящейся при каждом x∈X последовательности fn(x)измеримых функций измерим.8. Свойства интеграла Лебега от ограниченной функции.Пусть Ε – измеримое множество и | Ε |< +∞ . Назовём разбиением Е любое семействоT = {Ε k }nk =1 = {Ε1 , Ε 2 ,..., Ε n } конечногочислаизмеримых,попарнонепересекающихсяnмножеств и таких, что Ε = U Ε k .k =1Пусть f (x) - произвольная ограниченная на множестве Ε функция.

Для любогоразбиенияTобозначимM k = sup f ( x), mk = inf f ( x)ирассмотримсуммыx∈E kx∈E knnk =1k =1ST = ∑ M k | Ε k |, sT = ∑ mk | Ε k | , которые называются верхней и нижней суммами Лебегаразбиения T . Ясно, что sT ≤ ST и эти суммы ограничены. Поэтому существуют I = inf ST иTI = sup sT , называемые верхним и нижним интегралами Лебега функции соответственно.TОпределение 1. Ограниченная на множестве конечной меры Ε функция f (x)называется интегрируемой (по Лебегу) на Ε , если I = I , т.е. её верхний и нижний интегралЛебега совпадают.

Общее значение I = I = I называется интегралом Лебега от f (x) помножеству Ε и обозначается I = ∫ f ( x)dx .EТеорема 1. Всякая интегрируемая по Риману функция f (x) является интегрируемойпо Лебегу, причём её интегралы Римана и Лебега совпадают.Доказательство: Пусть f (x) интегрируема по Риману на Ε = [a, b] , а, значит,является ограниченной. Тогда, поскольку любое разбиение отрезка [a, b] на частичныесегменты (по Риману) включается в класс разбиений множества E (по Лебегу), имеют местонеравенства: I R ≤ I ≤ I ≤ I R .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)