Шпоры на билеты (немного другая подборка) (1135157), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если А – линейный оператор, то и А −1- линейный оператор.Теорема 1. Пусть А – линейный оператор, действующий из линейногонормированного пространства Х в линейное нормированное пространство Y, причемсуществует постоянная m>0 такая, что ||Ах|| ≥ m||x|| для всех х из Х.Тогда существует А −1 - линейный ограниченный оператор.Доказательство. Прежде всего докажем, что уравнение Ах = y, y ∈ R(A), имеетединственное решение. Предположим, их два: х 1 и х 2 : Ах 1 = y, Ах 2 = y, тогда А(х 1 х 2 ) = 0 и m||х 1 - х 2 || ≤ ||A(х 1 - х 2 )|| = 0. Значит, х 1 = х 2 и существует А −1 - линейныйоператор.
Этот оператор ограничен, ибо11||А −1 y|| ≤||AА −1 y|| =||y|| для всех y ∈ Y.mmТеорема 2 (Теорема Неймана). Пусть А – линейный ограниченный оператор,отображающий банахово пространство Х на себя и ||A|| ≤ q < 1. Тогда оператор I-Aимеет обратный линейный ограниченный оператор (I-А) −1 .Доказательство. Определим степени оператора А:А k = А(А k-1 ), k = 1,2,3,…, А 0 = I – тождественный оператор.
Ясно, что∞∞1, пространство L(X → X) –||А k || ≤ ||A|| k ≤ q k . Далее ∑ || A k || ≤ ∑ q k =1- qk =0k =0∞банахово, значит сумма∑Akпредставляет собой линейный ограниченныйk =0оператор. Для любого натурального числа n имеют место соотношенияn(I-A) ∑ A k =k =0nn∑ (I - A)A k =∑ (Ak =0k =0k− A k +1 ) = I - A n +1 , причем I - A n +1 → I при n → ∞ ,ибо∞||A n || ≤ ||A|| n → 0.
Следовательно, (I-A) ∑ A k = I, то есть (I-A) −1 =k =0∞∑Ak, причемk =01.1- qЗамечание. Пусть А, В ∈ L(X → X). Тогда определен оператор АВ ∈ L(X → X) поформуле АВх = А(Вх), причем ||AB|| ≤ ||A|| ||B||. Действительно,||ABx|| ≤ ||A|| ||Bx|| ≤ ||A|| ||B|| ||x|| для любого х ∈ Х.Теорема 3. Пусть оператор А ∈ L(X → X), где Х – банахово пространство, имеетобратный оператор А −1 и существует линейный ограниченный оператор ∆ А такой,1что || ∆ А||<. Тогда оператор В = А + ∆ А, то есть возмущение оператора А,|| A -1 ||||(I-A) −1 || ≤имеет обратный оператор В −1 , причем ||B −1 - А −1 || ≤|| ∆A || || A -1 ||2.1 - || ∆A || || A -1 ||22.
Теорема Банаха об обратном операторе.Теорема 4 (теорема Банаха об обратном операторе).Пусть X и Y — банаховы пространства, линейный ограниченный оператор A отображает всё пространство X на всё пространство Y взаимно однозначно.Тогда существует обратный линейный ограниченный оператор A−1.Доказательство. По условию линейный оператор А устанавливает взаимнооднозначное соответствие между элементами Х и Y. По доказанному вышеобратный оператор А −1 , отображающий Y на Х, также является линейным.
Остаетсядоказать ограниченность оператора А −1 .Обозначим через Y n множество элементов y ∈ Y таких, что ||A −1 y|| ≤ n||y||.Каждое из множеств Y n не пусто, так как, например, нулевой элемент пространстваY принадлежит всем Y n .
Кроме того, всякий элемент y ∈ Y, y ≠ 0, попадает вмножество Y n , если в качестве n взять любое целое число, превосходящее|| A −1y ||.|| y ||∞Поэтому можно записать Y = U Yn .n =1Ввиду того, что полное пространство Y не может быть объединением счетногочисла нигде не плотных множеств (теорема Бэра категориях из §6), по крайней мере,одно из множеств Y n 0 не является нигде не плотным. Следовательно, существуетшар В(y,r), в котором множество В(y,r) I Y n 0 всюду плотно. Рассмотрим шар В(y1 , r1 ) ,лежащий целиком внутри В(y,r) и такой, что y 1 ∈ Y n 0 . Возьмем любой элемент y снормой ||y|| = r 1 .
Элемент y+y 1 ∈ В(y1 , r1 ) , ибо ||(y + y 1 ) - y 1 || = r 1 . Так как В(y1 , r1 ) ⊂ Yn 0 ,то найдется последовательность элементов {z (k) } из Y n 0 I В(y1 , r1 ) и такая, чтоz (k) → y+y 1 при k → ∞ , Эта последовательность может быть стационарной, еслиy+y 1 ∈ Y n 0 .Обозначим y (k) = z (k) -y 1 → y; при этом можем считать, чтоr1≤ ||y (k) ||, и, кроме2того, ||y (k) || ≤ r 1 .Так как z (k) и y 1 ∈ Y n 0 , то||A −1 y (k) || = ||A −1 z (k) - A −1 y 1 || ≤ ||A −1 z (k) || + ||A −1 y 1 || ≤ n 0 (|| z (k) || + ||y 1 ||).Далее, ||z (k) || = ||y (k) + y 1 || ≤ ||y (k) || + ||y 1 || ≤ r 1 + ||y 1 ||.2n 0 (r1 + 2 || y1 ||)Поэтому имеем оценку ||A −1 y (k) || ≤ n 0 (r 1 + 2||y 1 ||) ≤|| y k || .r12n 0 (r1 + 2 || y1 ||)Обозначим через N наименьшее целое число, превосходящее.r1Для элементов последовательности {y (k) } справедливо неравенство||A −1 y (k) || ≤ N||y (k) ||, откуда следует, что все y (k) ∈ Y N .Итак, любой элемент y с нормой, равной r 1 , можно аппроксимироватьэлементами из Y N .
Пусть теперь y – любой элемент из Y. Рассмотрим элемент y’ =r1y,|| y ||||y’|| = r 1 . По доказанному найдется последовательность {y’ (k) } элементов из|| y ||Y N , сходящаяся к y’. Тогда y (k) = y’ (k)→ y и справедливы соотношенияr1|| y |||| y ||||A −1 y (k) || =||A −1 y’ (k) || ≤N||y’ (k) || = N||y (k) ||.r1r1Отсюда следует, что y (k) ∈ Y N , то есть множество Y N всюду плотно в Y.Рассмотрим снова произвольный элемент y ∈ Y. Пусть ||y|| = l .
Выберемly 1 ∈ Y N такой, что ||y - y 1 || ≤ , ||y 2 || ≤ l .2Это можно сделать, так как B (0, l ) I Y N всюду плотно в В(0, l ) и y ∈ B (0, l ).llНайдем далее элемент y 2 ∈ Y N такой, что ||(y - y 1 ) - y 2 || ≤, ||y 2 || ≤;222llвозможность выбора обеспечена тем, что B (0, ) I Y N всюду плотно в B (0, ) и y 22ly 1 ∈ B (0, ). Продолжая этот процесс, построим элементы y n ∈ Y N такие, что ||y – (y 12ll+ … + y n )|| ≤ n , ||y n || ≤ n-1 .22nВ итоге получим представление y = lim ∑ y k .
Обозначим х k = А −1 y k , тогдаn →∞k =1nNl.Последовательность{S},гдеS=x k , при n → ∞ сходится∑nn2k −1k =1к некоторому пределу x ∈ E, так какn +pNl||S n + p - S n || = || ∑ x k || < n −12k = n +1и Х – полное пространство. Следовательно,||x k || ≤ N||y k || ≤∞nx = lim ∑ x k = ∑ x k .n →∞nk =1nk =1nДалее Ax = A(lim ∑ x k ) = lim∑ Ax k = lim∑ y k = y .n →∞n →∞k =1k =1n →∞nk =1nnNl= 2Nl = 2N || y || .k −1k =1k =1k =1 2Так как y – любой элемент из Y, то ограниченность оператора A −1 доказана.Отсюда || A −1y ||=|| x ||= lim || ∑ x k ||≤ lim ∑ || x k ||≤ lim ∑n →∞n →∞n →∞23. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала в линейномнормированном пространстве.Теорема 1(теорема Хана-Банаха).
Любой линейный функционал f(x) ,определённый на линейном многообразии L ⊂ X линейного нормированногопространства X, можно продолжить на всё пространство X с сохранением нормы, тоесть существует линейный функционал F(x) , определённый на всём X и такой, чтоF(x) = f(x) для любой точки x ∈ L , F x = fLДоказательство. Пусть x 0 ∉ L и L 0 = (L, x 0 ) - множество элементов видаu = x + tx 0 , где x ∈ L , а t – любое действительное число. Множество L 0 - линейноемногобразие и каждый его элемент однозначно представим в таком виде. Пустьx − x2u = x 1 + t 1 x 0 = x 2 + t 2 x 0 ; если t 1 = t 2 , то x1 = x2 ; если t 1 ≠ t 2 , то 1= x0 и x0 ∈ L ,t 2 − t1что невозможно.Выберем любые два элемента x1 и x 2 из L.
Справедливы соотношенияf(x 1 ) − f(x 2 ) = f(x 2 − x 1 ) ≤ f x 2 − x 1 ≤ f ( x 2 + x 0 + x 1 + x 0 ) ,изкоторыхвытекаетнеравенство f(x 2 ) − f x 2 + x 0 ≤ f(x 1 ) + f x 1 + x 0 , а в силу произвольности элементовx1 и x 2 имеет место оценкаsup{f(x) − f x + x 0 } ≤ c ≤ inf {f(x) + f x + x 0 } .x∈Lx∈LПусть u – любой элемент из L. Введём функционал ϕ (u ) на L0 по правилуϕ (u ) = f ( x) − tc . На L имеет место равенство ϕ = f , так как t = 0 .
Очевидно, что ϕ (u ) линеен; покажем ограниченность функционала ϕ (u ) и равенство ϕ = f .Если t > 0 , то из принадлежности элементаxмногообразию L и неравенстваtдля постоянной с справедливы соотношенияxxитогомкоторыхявляетсяϕ (u) = t[f( ) - c] ≤ t f + x 0 = f x + tx 0 = f u ,ttнеравенствоxx11ϕ (u) ≤ f u . При t < 0 имеем f( ) − c ≥ − f + x 0 = − f x + tx 0 = f u , а,ttttзначит,x1ϕ (u) = t[f( ) - c] ≤ t * f u = f u , то есть ϕ (u) ≤ f u . Заменяя в этихttрассуждениях элемент u на (-u), получим - ϕ (u) ≤ f u , в совокупности ϕ (u) ≤ f u .
Мыдоказали неравенство ϕ ≤ f , но так как ϕ (u) есть продолжение f ( x) , то его нормане может быть уменьшена; следовательно, ϕL0= fL .Закончим доказательство теоремы в случае сепарабельного пространства X,то есть такого пространства, в котором существует счётное всюду плотноемножество элементов x 1 , x 2 , … ∈ X . Пусть эти элементы линейно независимы и непопали в L 0 . Продолжая функционал ϕ (u) с многообразия L 0 на многообразияL1 = (L 0 , x 1 ) ,L 2 = (L1 , x 2 ) ,…,мыпостроимлинейныйфункционал^∞,ψ(x) определённый на всюду плотном в X линейном многообразии L = U L n , причёмn =1^ψ L^ = f L . Доопределим ψ(x) на всё пространство X по непрерывности.
Если x ∉ L , то^существует последовательность {x n } элементов из L и x n → x при n → ∞ ,причём ψ(x m ) − ψ(x n ) ≤ ψ x m − x n → 0 . Следовательно, последовательность {ψ (x n )}имеет предел F(x) , однозначно определяющая функционал F(x) на X. Этотфункционал линеен в силу линейности ψ(x) и линейности операции предельногоперехода. Ограниченность F(x) вытекает из того, что следствием неравенстваϕ (x n ) ≤ ψ x n является неравенство F(x) ≤ ψ x . Итак, F x ≤ ψ^=L= f L , а так как F(x) -продолжение функционала f(x) , то его норма не может быть уменьшена. Мыдоказали формулу F x = f L , завершив тем самым доказательство теоремы.Следствие 1. Пусть X – линейное нормированное пространство, x0 ∈ X ,x0 ≠ 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
