Шпоры на билеты (немного другая подборка) (1135157), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда в X существует линейный функционал такой, что f = 1 , f ( x0 ) = x0 .Следствие 2.Пусть X – линейное нормированное пространство,x 1, x 2 ∈ X, x 1 ≠ x 2 . Тогда в X существует линейный функционал такой, что f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) .24. Общий вид линейного функционала в конкретных пространствах.Обсудим вопрос об общем виде линейного функционала в различныхнормировнных пространствах.1) Если X = R n -конечномерное и e1, ..., e n - ортонормированный базис, тоnnni =1i =1i =1x = ∑ ξ i e i . Тогда любой линейный функционал f(x) = ∑ ξ i f(e i ) = ∑ ξ i f i однозначноопределяется числами f i = f(e i ), i = 1, n2) Если X = l p , p > 1 -бесконечномерное пространство элементов x = (ξ 1 , ξ 2 ,...)p∞1pтаких, что x l = (∑ ξ i ) < +∞ . Пусть e1 , e 2 ,...
-ортонормированный базис l p , тогдаpi =1∞∞∞i =1i =1i =1x = ∑ ξ i e i , f(x) = ∑ ξ i f(e i ) = ∑ ξ i f i . Выясним свойства чисел c i , i = 1,2,... . Рассмотримпоследовательностьx n = {ξэлементов(n)k},nСправедливыf(x n ) = ∑ c kсоотношенияξгде( n)kq c= kn≤ f xnsgn c k , k ≤ n 1 1, + =1p q0, k > n= f (∑ c klpk =1q −1(q −1)p1pnq1p) = f (∑ c k ) ,k =1k =11qq∞откуда в сиду произвольности числа n следует неравенство (∑ c k ) ≤ fилиk =1cl ≤ f .СдругойсторонывсидунеравенстваГёльдераq∞∑ξ cf(x) =i ii =1∞1q∞1p≤ (∑ c i ) (∑ ξ i ) = c l x l , илиqi =1pqi =1pf ≤ c l .
Значит,f = c l , то естьqql *p = l q . Заметим также, l *p* = l *q = l p -рефлексивно.3)X = L p (E), p > 1, E < +∞ .ЕслиМожноf(x) = ∫ x(t)y(t)dt, x(t) ∈ L p (E), α(t) ∈ L q (E) -однозначнопоказать,определяемаяфункциячтопоEфункционалу f(x) , причём f = α(t) Lq (E), L*P = L q , L*P* = L P4) Если X = C[0,1] . Справедлива теорема Рисса, в которой утверждается, что1любойлинейныйфункционалf(x) наC[0,1]имеетвидf(x) = ∫ x(t)dh(t) ,где0x(t) ∈ C[0,1] , h(t) - фиксированная функция с ограниченным изменением:n1f = ∨{h(t)} = sup ∑ h(t i ) − h(t i −1 ) ,0Tгдеточнаяверхняяi =1всевозможным разбиениям.T = {t i },0 = t 0 < t 1 < ... < t n = 1граньберётсяпо25.
Слабая сходимость. Связь между сильной и слабой сходимостью.Критерий сильной сходимости.Теорема 2. Пусть {x n } -последовательность элементов из банаховогопространства X такая, что последовательность {f(x n )} ограничена для любогофункционала f(x) ∈ X * . Тогда существует постоянная M > 0 и такая, что x n ≤ M , тоесть последовательность {x n } ограничена в X.Теорема 3. Пусть X – банахово пространство,последовательность {f n (x)} ограничена в X * , то есть f n ≤ M .f n ∈ X* ,числоваяОпределение1.Последовательность{x n }элементовлинейногонормированного пространства X называется слабо сходящейся к элементу x 0 ∈ X ,если для любого линейного функционала f(x) ∈ X * числовая последовательность{f n (x)} сходится к f(x 0 ) .В силу замечания к следствию 1 из теоремы 1 слабый предел единственен.
Изтеоремы 2 вытекает ограниченность слабо сходящейся последовательности.Сильная сходимость влечёт за собой слабую сходимость, так какf(x n ) − f(x 0 ) ≤ f x n − x 0 .Обратноеневерно.Рассмотримlp , p > 1ипоследовательность {x n } элементов из l p , x n = (0,...,0,1,0,...) , единица стоит на местеq∞с номером n, f(x n ) = C n . Так как ряд∑Cnсходится, то C n → 0 при n → ∞ и, значит,n =1{f(x n )} сходится к f(0) = 0 , или x n → 0 слабо. Однако,xm − xnp= 2, m ≠ n , ипоследоватеьность {x n } не фундаментальна.Теорема4.Последовательность{x n }линейногонормированногопространства X сходится сильно тогда и только тогда, когда последовательность{f(x n )} сходится равномерно в единичном шаре f ≤ 1, f ∈ X * .Доказательство. Необходимость. Если x n → x сильно, то из неравенстваf(x n ) − f(x) ≤ f x n − x ≤ x n − xследует равномерная сходимость {f(x n )} в шареf ≤ 1.Достаточность.
Пусть последовательность {f(x n )} сходится равномерно вшаре f ≤ 1 , то есть ∀ε > 0 существует N = N(ε( , что f(x n ) − f(x) = f(x n − x) < ε длявсех n ≥ N и всех f ∈ X * , f ≤ 1 . Отсюда следует sup f(x n − x) ≤ ε . Воспользуемсяf ≤1следствием 1 к теореме Хана-Банаха, обозначив x 0 = x n − x . Мы имеем функционалf 0 (x), f 0 = 1, f 0 (x 0 ) = x 0или f 0 (x n − x) = x n − x , причём выбор функционала f 0 (x)зависит от разности x n − x .
Итак, x n − x = f 0 (x n − x) ≤ sup f(x n − x) ≤ ε для всех n ≥ N ,f ≤1что и означает сильнуюсходимость {x n } к элементу x.Теорема доказана..26. Определение Гильбертова пространства и его основных свойств.Теорема об элементе с наименьшей нормой.Определение 1. Гильбертовым пространством H называется множествоэлементов x, y, z, … со свойствами:1) H – линейное пространство над полем действительных (комплексных)чисел;2) каждой паре x, y ∈ H поставлено в соответствие действительноечисло( x, y ) ,называемоескалярнымпроизведениеми(комплексное)удовлетворяющее условиям:а). (x, y) = (y, x) ,б). (x + z, y) = (x, y) + (z, y) ,в).
(λλxy) = λ(x, y) для любого λ ∈ R (λ ∈ C) ,г). (x, x) ≥ 0 , причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 ,x = (x, x) - норма элемента x в H;3). H – полное в метрике ρ(x, y) = x − y , то есть является банаховымпространством;4). H – бесконечномерное, то есть для любого натурального числаn существует n линейно независимых элементов.Комплексное пространство L 2 - гильбертово пространство, если скалярноепроизведение в нем ввести по формуле∞(x, y) = ∑ ξ i ηi ,i =1где x = (ξ1 , ξ 2 ,...), y = (η1 , η2 ,...) .
Сходимость ряда следует из неравенства КошиБуняковского. Аналогично, пространство L 2 (E) - гильбертово пространство соскалярным произведением(x, y) = ∫ x(t) y(t)dt .EТеорема 1. Замкнутое выпуклое множество W в гильбертовом пространстве Hсодержит элемент с наименьшей нормой, и причем только один.Доказательство. Пусть d = inf xи пусть {x n } - минимизирующаяx∈Wпоследовательность, то есть x n ∈ W, x n → d при n → ∞ . Так как W – выпукло, то1(x n + x m ) ∈ W , поэтому x n + x m ≥ 2d . Согласно равенству параллелограмма222220 ≤ x n + x m = 2( x n + x m ) − x n − x m → 0при n, m → ∞ , ибо вычитаемая величина ≥ 4d 2 , а уменьшаемое стремится к4d 2 . В силу того, что H – полное, а W – замкнуто, существует x 0 = lim x n , x 0 ∈ W ,n →∞причемx 0 = lim x n = 1 , то есть x 0 - элемент с наименьшей нормой.
Докажемn →∞единственность элемента x 0 : пусть x1 - еще один элемент из W и такой, что x1 = d .Тогда2222x 0 + x1 + x 0 − x1 = 2( x 0 + x1 ) = 4d 2 .Так какx 0 + x1∈W,2тоx 0 + x1 12≤ ( x 0 + x1 ) = d , или x 0 + x1 = 4d 2 .22Возвращаясь к равенству параллелограмма для x 0 и x1 , имеем x 0 − x1 = 0 ,d≤то есть x 0 = x1 .
Теорема доказана.27. Теорема Леви об ортогональной проекции. Разложение Гильбертовапространства на прямую сумму подпространства и его ортогональногодополнения.Определение 2. Два элемента x, y ∈ H называются ортогональными ( x ⊥ y ),если (x, y) = 0; говорят, что элемент x ∈ H ортогонален множеству L ⊂ H , если x ⊥ yдля любого y ∈ L .Теорема 2 (теорема Б. Леви). Пусть L – подпространство H. Каждый векторx ∈ H допускает единственное представление x = y + z, y ∈ L, z ⊥ L , причем элемент yосуществляет наилучшее приближение вектора x в подпространстве L, то естьx − y ≤ min x − u .u∈LДоказательство. Обозначим множество W = {x − u; u ∈ L} , которое замкнуто всилу замкнутости L и, очевидно, выпуклое. По теореме 1 существует единственныйэлемент z ∈ W с минимальной нормой, z = x − y, y ∈ L , или y = x − z . Покажем, чтоz ⊥ L .
Пусть v ≠ 0 - любой вектор из L, а λ - произвольное комплексное число. Так22как z − λv ∈ W , то z − λv ≥ z , поэтому2222z ≤ (z − λv, z − λv) = z − λ(v, z) − λ(z, v) + λ v .Полагаяλ=(z, v)x2,получим−(z, v)x22≥ 0 , или (z, v) = 0,а так как v – любой элемент из L, то z ⊥ L . Докажем теперь единственностьразложения.
Пусть y + z = y1 + z1 , где y, y1 ∈ L, z, z1 ⊥ L , тогда y − y1 = z1 − z , то естьy − y1 ⊥ L , другими словами, y − y1 ортогонален самому себе. Следовательно y = y1и z = z1 . Второе утверждение теоремы следует из определения W и теоремы 1.Предел последовательности элементов, ортогональных подпространству L,ортогонален L. Поэтому элементы, ортогональные к L, образуют подпространство,которое называется ортогональным дополнением к L и обозначается L⊥ . Так каклюбой элемент x ∈ H равен x = y + z, y ∈ L, z ∈ L⊥ , то говорят, что пространство Hразлагается в прямую сумму подпространств L и L⊥ . Записывают этот факт в видеH = L ⊕ L⊥ .
Элемент y называется ортогональной проекцией элемента x наподпространство L, а оператор P, действующий по закону y = Px, то есть каждомуэлементу x ∈ H ставящий в соответствие его проекцию y, называется операторомортогонального проецирования или ортопроектором. Нетрудно проверитьсправедливость равенства (L⊥ ) ⊥ = L .Рассмотрим линейный ограниченный оператор, действующий из гильбертовапространства H на комплексную плоскость C. Этот оператор мы также будемназывать линейным функционалом.
Обозначим через ker f = {x ∈ H : f(x) = 0} множество, называемое ядром функционала f(x). Очевидно, что ker f –подпространство H..28. Теорема Рисса - Фреше об общем виде линейного функционала вгильбертовом пространстве.Теорема 3 (теорема Рисса - Фреше). Любой линейный функционал f(x) вгильбертовом пространстве H представим в виде скалярного произведения f(x) = (x,y), где элемент y однозначно определяется по функционалу f(x), причем f = y .Доказательство. Если f(x) ≡ 0 , то y = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
