Шпоры на билеты (немного другая подборка) (1135157), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если f(x) ≠ 0 , то обозначим через e –единичный вектор, ортогональный ядру f(x). Согласно лемме 1 и теореме 2 любойэлемент x ∈ H представим в виде x = Px + (x, e)e, где P – ортопроектор на ядро ker f.Отсюдаf(x) = f(Px) + (x, e)f(e) = (x, f (e), e) ,так как Px ∈ ker f . Полагая y = f (e)e , получаем f(x) = (x, y) для любого x ∈ H .Докажем единственность элемента y. Пусть существует вектор y1 такой, чтоf(x) = (x, y) = (x, y1 ) для любого x ∈ H , или (x, y − y1 ) = 0 .
Для x = y − y1 получим2(y − y1 , y − y1 ) = y − y1 = 0 ,то есть y = y1 . По поводу нормы заметимf(x) = (x, y) ≤ x y ⇒ f ≤ y ,но2f(y) = y ⇒ f ≥ y ,следовательно f = y . Теорема доказана.29.Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту.Неравенство Беселя.Полнотаизамкнутостьортонормаированнойсистемы.сходимость ее к нулю.СлабаяЛемма 2. Для того, чтобы линейное многообразие M было всюду плотно в H,необходимо и достаточно, чтобы в H не существовало элемента, отличного от нуляи ортогонального M.Необходимость. Пусть M = H . Ясно, что из условия x ⊥ M следует x ⊥ M , ноM = H и x ⊥ H . В частности x ⊥ x , следовательно x = 0.Достаточность. Пусть M не всюду плотно в H, то есть M ≠ H .
Поэтомусуществует x 0 ∉ M , x 0 ∈ H . Так как M также подпространство, то по теореме 2x 0 = y +z , где y ∈ M, z ⊥ M , причем z ≠ 0 и z ⊥ M . Это противоречит условию.Определение 3. Система {e n } элементов гильбертова пространства H1, i = jназывается ортонормированной, если (ei , e j ) = σ ij , где σ ij = .0, i ≠ jОпределение 4. Бесконечная система элементов линейного пространстваназывается линейно независимой, если любая конечная подсистема этой системылинейно независима.Лемма 3.
Любую систему {h n } линейно независимых элементов можносделать ортонормированной с помощью процесса ортогонализации Шмидта.Доказательство. Полагаемhe1 = 1 ;h1пусть g 2 = h 2 − c 21e1 , подберем c 21 так, чтобы g 2 ⊥ e1 , то есть c 21 = (h 2 , e1 ) .Получаемge2 = 2 , g 2 ≠ 0 ,g2ибо в противном случае g 2 = 0 и элементы h1 и h 2 - линейно зависимы, чтоневозможно.
Пусть e1 ,..., e m −1 уже построены, вводим элементm −1g m = h m − ∑ c mi eii =1и подберем числа c mi так, чтобы g m ⊥ ei , i = 1,2,..., m − 1 . Для этого надо взятьc mi = (h m , ei ) ; полагаемgem = m , g m ≠ 0gmи так далее.Если совокупность степеней 1, t, t 2 ,... ортогонализировать в пространствеL 2, ρ (a, b) с весом ρ(t) , то есть в пространстве со скалярным произведениемb(x(t), y(t)) = ∫ ρ(t)x(t)y(t)dt ,aмы придем к системе полиномов. При ρ(t) ≡ 1, a = −1, b = 1 получим полиномы2Лежандра; при ρ(t) = e − t , a = −∞, b = ∞ получим полиномы Чебышева – Эрмита, приρ(t) = e − t , a = 0, b = ∞ получим полиномы Чебышева – ЛагерраПусть L – подпространство, порожденное ортонормированной системой {en } иx ∈ L . где ci = (x, ei ) - коэффициенты Фурье элемента x22В силу равенства y + z = x2∞имеем∑c2i≤ x2(неравенство Бесселя).i =1Определение 5. Ортонормированная в H система {e n } называется полной,если в H не существует никакого элемента кроме нуля, ортогонального каждомучлену e n системы {e n } .
Система называется замкнутой, если подпространство L,порожденное этой системой, совпадает с H.Определение 6. Замкнутая ортонормированная система называетсяортонормированным базисом в гильбертовом пространстве H.Легко проверяется справедливость следующих двух утверждений. Вгильбертовом пространстве H полнота и замкнутость ортонормированной системысовпадают.
Любая ортонормированная система {e n } в гильбертовом пространствеслабо сходится к нулю.30. Теорема о существовании ортонормированного базиса в сепарабельномгильбертовом пространстве. Теорема об изоморфизме и изометрии всехгильбертовых пространств.СепараJбельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) - топологическоепространство, в котором содержится не более чем счётное всюду плотное множество.Теорема 4.
В любом сепарабельном гильбертовом пространствесуществует ортонормированный базис, то есть полная ортонормированнаясистема.Доказательство. Пусть G = { g , g , …} – счетное и всюду плотное в1 2gгильбертовом пространстве H множество G =H ( g n ≠ 0 ). Положим e1 = 1 иg1обозначим через L1 - подпространство, порожденное e1 . Выберем g n 2 - первый посчёту элемент, не принадлежащий L1 и рассмотрим h 2 - его проекцию на L⊥1 = H ӨhL1 . Так как h 2 ≠ 0 , то e 2 = 2 , а через L 2 обозначим подпространство,h2порождённое e1 и e 2 .
Пусть g n 3 ∉ L 2 - первый по счёту за g n 2 и h 3 его проекция наL⊥2 = H Ө L 2 . Так как h 3 , то e 3 =h3h3и так далее. Получим ортонормированнуюсистему { e i } и в силу того, что любой элемент g n 2 ∈ L m по построению, то замыканиелинейной оболочки системы { e i } совпадает с H, то есть эта система образует базис.Теорема доказана.Теорема 5. Любое комплексное (вещественное) сепарабельное гильбертовопространство изоморфно и изометрично комплексному (вещественному)пространству l 2 , то есть все комплексные (вещественные) сепарабельныегильбертовы пространства изоморфны и изометричны между собой.Доказательство.
Пусть H – сепарабельное гильбертово пространство и { e i } –ортонормированный базис в нём. Если x – любой элемент из H, то ~x = (c1 , c 2 ,...) ,∞c i = (x, e i ) и так как∑c2i= ~xi =1поля. Ясно, что2l2αx + βy ∈ H ,= x2Hx ∈ l 2 . Пусть x, y ∈ H , α и β - числа из< +∞ , то ~α~x + β~y ∈ l 2 ,αx + βyH= α~x + β~yl2, следовательноотображение H → l 2 сохраняет линейную операцию и расстояние. Обратно, пустьn~z = (ξ , ξ ,...) ∈ l .122РассмотримвHпоследовательностьz n = ∑ξ iei .Таккакi =12zm − znn=∑ξ2i→0приn,m→∞,топоследовательность{ zn }–i = m +1фундаментальная.
В силу полноты H имеет место z n → z ∈ H , а имея в виду(z, ei ) = lim (z n , ei ) = ξ i , получаем для любого ~z ∈l 2 элемент ~z H , где ξ i n→∞∈коэффициенты Фурье. Таким образом отображение взаимно однозначно, а израссуждений выше следует, что оно изометрично и изоморфно. Теорема доказана.31. Теорема Рисса- Фишера. Теорема о слабой компактности сепарабельногогильбертова пространства.Теорема 6 (теорема Рисса-Фишера). Пространства L 2 (E) и l 2 изоморфны иизометричны, причём2∞2f ( x ) dx = ∑ci , где ci = ∫f ( x )ei ( x )dx = (f , ei ) .∫Ei =1EТеорема 7. В сепарабельном гильбертовом пространстве H ограниченнаяпоследовательность { x n } содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.Доказательство. Пустьx n ≤C и так как Н – сепарабельно, то в нёмсуществует ортонормированный базис { ei }.
В силу ( x n k , e1 ) ≤ x n ≤C по теоремеБольцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность { x n k } для которой( x n k , e1 ) сходится. Так как ( x n k , e 2 ) ≤ x n ≤C то существует подпоследовательность{ x n k l } для которой( x n k l , e 2 ) сходится и так далее. Возьмём диагональнуюпоследовательность { ~x n }, то есть последовательность, где элемент ~x n равен n-му~члену подпоследовательности для базисного элемента e n . Для неё ( x n , e k ) сходитсяпри n→∞mи также сходится (~x n , ψ) , где ψ = ∑α iei - любая линейная комбинация изi =1элементов ортонормированного базиса.Докажем сходимость последовательности (~x n , z) для любого элемента z H .Пусть ε > 0 - любое наперёд заданное число.
Тогда существует линейнаяmεкомбинация ψ = ∑α iei такая, что выполняется неравенство z - ψ <. Выберем2C + 1i =1номер N=N( ε ), для которого при всех n,mN выполняется неравенствоε.(~xm - ~x n , ψ) <Тогда(~x m , z) - (~x m , z) ≤ (~xm - ~x n , z - ψ) + ( ~xm - ~x n , ψ) ≤2C + 1εεε≤( ~xm + ~xn ) z - ψ +< 2C+=ε,темсамымсходимость2C + 12C + 1 2C + 1последовательности (~x n , z) доказана для любого z ∈ H .∈≥Покажем, что существует слабый предел x 0 последовательности {x n } .Обозначим f (z) = lim (~x n , z) - линейный функционал на H. По теореме Рисса-Фрешеn→∞f (z) = ( x 0 , z) , то есть lim (~x n , z) = ( x 0 , z) , а, значит, x 0 - слабый предел для {~xn} .n →∞Теорема доказана..32.
Сопряженный оператор. Теорема о сопряженном операторе. Теорема опрямой сумме замыкания образа линейного ограниченного оператора и ядрасопряженного.Введём понятие сопряжённого оператора A* . Пусть А – линейный оператор,действующий из линейного нормированного пространства Х в линейноенормированное пространство Y, или y=Ax. Если φ( y) - любой линейный функционал,определённыйнаХ:f ( x ) = φ(Ax) ≤ φ Ax ≤ φ A x .Такимобразомлюбомулинейному функционалу φ ∈ Y * ставится в соответствие линейный функционалf ∈ X* , то есть построен оператор, определённый на Y* со значениями в X* .
Этотоператор обозначим A* и назовём сопряжённым: f = A*φ . Если записать значениефункционала f ( x ) = (f , x ) , то можно написать (A *φ, x ) = (φ, Ax ) . Легко проверяетсясвойство сопряжённого оператора: если А и В – линейные ограниченные операторы,то (αA + βB)* = α A* + β B* .Теорема 1. Пусть A ∈ Z(X → Y ) . Тогда существует A* ∈ Z(Y* → X* ) , тоесть A* - линейный ограниченный оператор, причём A = A* .Доказательство. Из определения оператора следует цепочка соотношенийA φ( x ) = f ( x ) = φ(Ax) ≤ φ Ax ≤ φ A x , откуда сначала следует неравенство*f ≤ φ A , а затем оценка A* ≤ A . Далее, пусть x 0 - любой элемент пространстваХ.
По первому следствию из теоремы Хана-Банаха существует линейныйфункционалφ 0 ∈ Y*такой,чтоφ0 = 1иφ 0 (Ax 0 ) = Ax 0 .ТогдаAx 0 = φ 0 (Ax 0 ) = f 0 ( x 0 ) ≤ f 0 x 0 = A*φ 0 x 0 ≤ A * φ 0 x 0 = A* x 0 .произвольности элемента x 0 получаем оценкуОтсюдавсилуA ≤ A* , а, затем, и равенствоA = A* . Теорема доказана.Оператор A* сопряжён к линейному непрерывному оператору A ,действующему в гильбертовом пространстве Н, если для любых элементов x , y ∈ Hвыполняется равенство (Ax, y) = ( x , A * y) .Теорема 2.
ЕслиA ∈ z(H → H),H - гильбертово пространство, то*H = Im A ⊕ KerA .Доказательство. Так как Im A - подпространство, то H = Im A ⊕ (Im A )⊥ . Потеореме 1 существует линейный ограниченный оператор A* . Покажем, чтоKerA* = (Im A )⊥ . Если x ∈ KerA* , то A* x = 0 и для любого y ∈ H справедливоравенство ( y, A*x ) = (Ay, x ) = 0 , то есть x ⊥ Ay , при x ⊥ Im A . Отсюда следует, чтоx ⊥ Im A , а потому x ∈ (Im A )⊥ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
