А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1135013)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций пофункциональному анализуЛектор — Анатолий Михайлович СтёпинIII курс, 6 семестр, поток математиковМосква, 2010 г.Оглавление1.2.Ряды и преобразование Фурье1.1. Ряды Фурье . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Сходимость ряда Фурье в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Вычисление интеграла Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3. Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье . . . . . . . .1.1.4. Теорема Фейера . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Определение преобразования Фурье. Формула обращения . . . . . . . .1.2.2. Свойства преобразования Фурье . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Связь между гладкостью и убыванием для функции и её образа Фурье1.2.4. Равенство Парсеваля для преобразования Фурье. Теорема Планшереля1.2.5. Система функций Чебышёва – Эрмита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.6. Свёртка функций и её преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . .
. .1.2.7. Решение уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.8. Оператор Фурье в пространстве Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.9. Теорема Пэли – Винера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .Обобщённые функции2.1. Обобщённые функции на пространстве D . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Пространство D основных функций . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Примеры обобщённых функций . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .2.1.3. Действия над обобщёнными функциями. Дифференцирование .2.1.4. Формула суммирования Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.5. Дифференциальные уравнения в классе обобщённых функций2.2. Структура обобщённых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .2.2.1. Регуляризация обобщённых функций . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2. Разбиение единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3. Вторая конструкция разбиения единицы . . . . . . . . . . . . .2.2.4. Носитель обобщённой функции . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .2.3. Другие виды основных и обобщённых функций: пространства S и E .2.3.1. Пространство E. Вложение D в E . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Ещё раз о системе полунорм в E . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Структура обобщённых функций на D . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .2.4.1. Обобщённые функции с компактным носителем . . . . . . . . .2.4.2. Пространство L∗1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.3. Локальное устройство обобщённых функций из D′ . . . . . . . .2.5. Преобразование Фурье обобщённых функций . . . . . . . . .
. . . . . .2.5.1. Преобразование Фурье в S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.2. Преобразование Фурье в S ′ и в D′ . . . . . . . . . . . . . . . . .2..............................................................................................................................................................................................................................................................................4445567789101111121213.......................................................................................................................................................................................................................................14141415161718191920202021212223232324252526ВведениеПредисловиеУбедительная просьба ко всем читателям: в случае обнаружения ошибок немедленно сообщайте авторамна dmvn@mccme.ru или загляните на http://dmvn.mexmat.net и посмотрите, где можно достать в настоящеевремя самих авторов.
Все пожелания и предложения по поводу оформления и содержания документа будутобязательно приняты к сведению.Release NotesПод «принципом равномерной ограниченности для рядов Фурье» в программе экзамена понимается существование непрерывных функций, для которых ряд Фурье расходится в точке.
Это можно прочесть в книге [КФ, гл.VIII, §1, п. 1].Если Вы хотите узнать всё про свёртки, а также уметь отвечать на вопрос про оператор свёртки в L2 , читайтепо этому поводу [Б, гл. III, §9].В последней версии добавлено доказательство теоремы Пэли – Винера.Слова благодарностиСпасибо всем, кто замечал ошибки и присылал свои комментарии, а именно Алексею Басалаеву, ГригориюМерзону, Нине Прудовой, Михаилу Берштейну, Дмитрию Рыжову, Николаю Рудому, Владиславу Короткову,Владимиру Филатову, Ивану Вегнеру и Наталье Побыванец.Принятые в тексте соглашения и используемые сокращения1◦ Следуя [РФ], топологические понятия обозначаются сокращениями соответствующих английских слов.Так, Int A — множество внутренних точек множества A, Cl A — замыкание множества A.◦2 Под термином «гладкий индикатор отрезка» мы понимаем гладкую функцию, которая равна единице наэтом отрезке, и нулю вне некоторой окрестности этого отрезка.Литература[КФ] А.
Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,1981.[РС] М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. — М.: Мир, 1977.[Ш] Г. Е. Шилов. Математический анализ. Второй специальный курс. — М.: Физматгиз, 1965.[КГ] А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. — М.: Наука, 1988.[ХР] Г. Г. Харди, В. В. Рогозинский. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959.[Вл] В. С.
Владимиров. Обобщённые функции в математической физике. М.: Наука, 1976.[ГШ] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. Обобщённые функции. — М.: Физматгиз, 1959.[Р]У. Рудин. Основы функционального анализа. — М.: Мир, 19??.[Х]А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004.[РФ] В. А.
Рохлин, Д. Б. Фукс. Начальный курс топологии. — М.: Наука, 1977.[Б]В. И. Богачёв. Основы теории меры. Том 1. — Ижевск: РХД, 2003.Последняя компиляция: 19 мая 2010 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.341.1.1. Сходимость ряда Фурье в точке1. Ряды и преобразование Фурье1.1. Ряды ФурьеПри изучении рядов Фурье мы будем предполагать, что функции у нас 2π-периодические.
Поэтому их изучение сводится к рассмотрению интервала (−π, π).Определение. Пусть f ∈ L1 (−π, π). Рядом Фурье функции f называется рядXcn einx,Z1cn :=2πZπf (x)e−inx dx,(1)−πчисла cn называются коэффициентами Фурье функции f .Далее мы везде считаем, что функция интегрируема по Лебегу на интервале (−π, π). В противном случаенет гарантии, что коэффициенты Фурье существуют.1.1.1.
Сходимость ряда Фурье в точкеОпределение. Говорят, что функция f удовлетворяет условию Дини в точке x, если функцияϕ(h) :=f (x + h) − f (x)h(2)суммируема в некоторой δ-окрестности нуля.Лемма 1.1 (Римана – Лебега). Пусть функция f суммируема на отрезке [a, b]. ТогдаZbaf (t)eist dt → 0,s → ∞.(3)Пусть сначала f = I[a,b] . ТогдаZbeist dt =a1 isbe − eisa → 0,is |{z}s → ∞.(4)ограниченаДалее, по линейности утверждение леммы верно для конечных линейных комбинаций индикаторов. В общемслучае приблизим произвольную функцию f ступенчатой функцией fε по норме L1 с точностью ε. ТогдаZb ZbZb ist ist f (t)e dt 6 |f − fε | · e dt + fε (t)eist dt.aa(5)aПервое слагаемое не превосходит ε, а второе стремится к нулю по уже доказанному. Замечание.
Далее в разделе о рядах Фурье мы не будем писать пределы интегрирования, если мы интегрируем по периоду (−π, π).Теорема 1.2 (Признак Дини). Если функция непрерывна в точке x и удовлетворяет условию Дини вточке x, то её ряд Фурье сходится в этой точке к f (x). Пусть Sn (x) — частичная сумма ряда Фурье. ИмеемSn (x) =nX−nck eikx =ZZnnXX11f (ξ)e−ikξ dξ · eikx =f (ξ)eik(x−ξ) dξ.2π2π−n−nПо формуле геометрической прогрессии имеем exp −i n + 21 t − exp i n + 12 tsin n + 12 teit(−n) − eit(n+1)e−int + .
. . + eint ===: Dn (t).=1 − eitsin 2texp − it2 − exp it2(6)(7)Заметим, что ядро Дирихле Dn (t) является чётной функцией. Продолжая формулу (6) с использованием этогоравенства, получаемZ1f (ξ)Dn (x − ξ) dξ.(8)Sn (x) =2π451.1.2. Вычисление интеграла ДирихлеВ силу периодичности функции можно сделать замену t = ξ − x, не изменяя пределов интегрирования:Z1f (x + t)Dn (t) dt.Sn (x) =2πПользуясь исходным представлением для ядра Дирихле, получаем, чтоZ1Dn (t) dt = 1.2π(9)(10)Следовательно, имеем1f (x) − Sn (x) = f (x) ·2πZZ1Dn (t) dt −2πf (x + t)Dn (t) dt =ZZ1f (x) − f (x + t)1=· t · Dn (t) dt =2πt2π|t|<δ+12πZ. (11)δ<|t|<πВторое слагаемое стремится к нулю по лемме Римана – Лебега, так как знаменатель ядра Дирихле отделён отнуля.
Что касается первого слагаемого, то оно в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега и суммируемости функции f (x)−ft (x+t) за счёт выбора δ может быть сделано сколь угодно малым (множитель t в числителеглушит sin 2t в знаменателе). 1.1.2. Вычисление интеграла ДирихлеДокажем, чтоZ∞πsin xdx = .x2(12)0Легко видеть, что в силу леммы Римана – ЛебегаIn :=Zπ 0С другой стороныIn = 2Делая замену x = n +12Zπ21−tsin 2tsin n +t120t1sin n +t dt → 0,2dt −ZπDn (t) = 20sin n +t012tdt − π.(13)(14)t, получаемIn = 21(n+Z 2 )π0Но так какZπn → ∞.1(n+Z 2 )π0sin xdx →xsin xdx − π.xZ∞sin xdx,x0n → ∞,(15)(16)переходя к пределу в формуле (15), получаем требуемое.1.1.3. Достаточное условие равномерной сходимости ряда ФурьеУтверждение 1.3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
