А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1135013), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Заметим, что для функций класса S работает формула обращения. Пусть g ∈ S. Через O обозначим операторотражения: Of (x) := f (−x). РассмотримZ1√f (λ) := bg(λ) =g(x)e−iλx dx.(72)2πЗапишем для g формулу обращения:1g(x) = √2πZ1f (λ)eiλx dλ = √2πZf (−λ)e−iλx dλ.(73)Таким образом, получаем, что(74)g = F OFg.24Поскольку O и F коммутируют, получаем, что F = O и F = id.Теперь заметим, что эти свойства можно распространить на всё пространство L2 (R), поскольку S в нёмплотно.1.2.9. Теорема Пэли – ВинераДанный раздел добавлен в лекции в мае 2010 года по просьбе лектора. Доказательство теоремы прислано Натальей Побыванец(n.pobyvanets@gmail.com). Нами были исправлены замеченные опечатки, но это не гарантирует, что оставшийся текст не содержитошибок и неточностей.Теорема 1.19 (Пэли – Винера).
Функция f ∈ L2 (−a, a) тогда и только тогда, когда fb — целая функцияи |fb(λ)| 6 Cf · ea|Imλ| .Ra Необходимость. Пусть f ∈ L2 (−a, a). Тогда fb(λ) = √12πf (x)e−ixλ dx. Верна оценка−aФункция fb(λ) =√12πRa1|fb(λ)| 6 √2πZa−a|f (x)|ex|Imλ| dx 6 Cf ea|Imλ| .f (x)e−ixλ dx непрерывна в каждой точке комплексной плоскости и имеет непрерывную−aпроизводную.
Следовательно, это целая функция.Достаточность. Пусть g ∈ L2 (R) и |g(λ)| 6 Cea|Imλ| . Докажем, что g = fb, где f ∈ R и обращается в нольa|Imλ|почти всюду вне [−a, a]. Наложим дополнительное условие на g: g(λ) 6 Ce|1+λ2 | . Воспользуемся формулой обраRщения. Тогда f (x) = √12π g(λ)eiλx dλ. По лемме Коши контур интегрирования можно сдвинуть в комплекснуюRплоскость:1f (x) = √2πТогда для λ ∈ R:1|f (x)| 6 √2πZRZg(λ + ib)ei(λ+ib)x dλ.RCeab1|e(iλ−b)x | dλ 6 √|1 + λ2 |2πZRCeabe−bx dλ → 0,|1 + (λ + ib)2 |b → ∞.Так как значение интеграла на самом деле не зависит от b, получаем, что f (x) = 0 при x > a.
Аналогично,устремляя b к −∞, получаем, что f (x) = 0 при x < −a.Остается избавиться от условия убывания g(λ) на бесконечности. Пусть g ∈ L2 (R), тогда ∃ f ∈ L2 (R), такаяRчто fb = g. Возьмём ϕε : R → R+ , ϕε ∈ C ∞ , supp ϕε ∈ [−ε, ε] и ϕε = 1. Из уже доказанной части теоремы следует,132.1.1. Пространство D основных функций14что |cϕε (λ)| 6 Cε eε|Imλ| . Вместо функции g рассмотрим функцию g · ϕcε .
Тогда f ∗ ϕε — обратное преобразование(a+ε)|Imλ|Фурье функции g · ϕcε . Заметим, что g — целая и |g · ϕcε (λ)| 6 De |1+λ2 | , ϕε — гладкие, |cϕε | — убывает (всилу гладкости). Из уже доказанной части теоремы следует, что f = 0 почти всюду вне [−a, a]. Таким образом,f ∗ ϕε = 0 вне [−a − ε, a + ε]. Докажем, что f = 0 почти всюду вне [−a, a] для ∀ g. Нам потребуется следующиеопределения:Определение. Пусть M — измеримое по Лебегу множество. Точка c называется точкой плотности для M ,→ 1 при ε → 0, где λ — мера Лебега.если λ(M∩[c−ε,c+ε])2εОпределение. Точка c — точка Лебега для функции f , если ∃ a ∈ R, что12εc+εZ|f (x) − a| dx → 0.c−εПример 2.1. Любая точка непрерывности — точка Лебега.Задача 1.1.
Обратное неверно, приведите контрпример.Замечание. Заметим, что точка Лебега для индикатора множества является точкой плотности для этогомножества.Доказательство того, что f = 0 почти всюду вне [−a, a] для ∀g поведем от противного. Пусть f 6= 0 почтивсюду левее −a. Тогда ∃ c < −a, такое что c — точка Лебега для f .
Тогда верно, чтоZ11|f (x) − b| dx <.2δ100[c−δ,c+δ]По определению свертки f ∗ ϕε =R|s|<εf (x − s)ϕε (s) ds. Тогда в любой s-окрестности (при s < ε) любой точкиx можно построить функцию f (x − s)ϕε (s) и приблизить ее функцией b · ϕε (s). Тогда (по определению ϕε )получаем f ∗ ϕε 6= 0 почти всюду вне [−a − ε, a + ε].
Получаем противоречие. Аналогично доказывается в случаепредположения, что f 6= 0 почти всюду правее a. Следовательно, f = 0 почти всюду вне [−a − ε, a + ε]. 2. Обобщённые функции2.1. Обобщённые функции на пространстве D2.1.1. Пространство D основных функцийОпределение. Пространство D состоит из бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. Оно ещё иногда обозначается C∞0 .Определение. Пусть {ϕn } ⊂ D.
Говорят, что ϕn → ϕ ∈ D, если найдётся отрезок [A, B] такой, что supp ϕn ⊂(m)⊂ [A, B] при всех n и ϕn ⇒ ϕ(m) при всех m.Определение. Обобщённой функцией на пространстве D называется линейный непрерывный функционалF : D → C. Непрерывность означает, что если ϕn → ϕ в D, то и F (ϕn ) → F (ϕ). Функции ϕ ∈ D называютсяосновными (а иногда ещё тестовыми или пробными).
Пространство обобщённых функций на D обозначаетсячерез D′ .Как мы потом узнаем, сходимость в D можно задать топологией. Вообще, топологизуемость сходимости —очень нетривиальный факт. Следующее утверждение показывает, что это не всегда можно сделать.Утверждение 2.1. Сходимость почти всюду нельзя задать топологией. Рассмотрим пример Рисса последовательности функций, сходящихся по мере к нулю, но не сходящихсяпочти всюду. Допустим, что есть топология, задающая нашу сходимость. Так как нет сходимости почти всюду,то, в частности, нет сходимости почти всюду к нулю (то есть сходимости к нулю в нашей топологии).
Значит,найдётся окрестность нуля U , вне которой находится бесконечно много элементов последовательности. Эти элементы образуют подпоследовательность исходной последовательности, поэтому тоже сходятся по мере к нулю.По теореме Рисса из них можно выбрать из них подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. С однойстороны, она обязана сходиться почти всюду именно к нулю.
С другой стороны, вся она лежит вне некоторойокрестности U нуля. Противоречие. 14152.1.2. Примеры обобщённых функций2.1.2. Примеры обобщённых функцийПример 1.1. Пусть f — локально-суммируемая на прямой функция. Тогда функционалы видаZFf (ϕ) := f (x)ϕ(x) dx(1)Rявляются обобщёнными функциями. Проверим непрерывность: пусть ϕn → 0 в D и supp ϕn ⊂ [A, B], тогдаF (ϕn ) =Zf (x)ϕn (x) dx 6 max |ϕn (x)| ·RZB|f | dx → 0,n → ∞.(2)ARОпределение. Обобщённые функции, значения которых на основных функциях задаются как интеграл отпроизведения основной функции и локально-суммируемой функции, называются регулярными. Все остальныеобобщённые функции называются сингулярными.Часто значение обобщённой функции F на основной функции ϕ записывают так: hF, ϕi.Пока мы не знаем, существуют ли сингулярные функции.
Сейчас узнаем. . .Пример 1.2. Дельта-функцией Дирака называется функция, действующая по правилу(3)hδ, ϕi := ϕ(0).Линейность и непрерывность такого функционала очевидна.Утверждение 2.2. δ-функция сингулярна. Допустим, что существует такая локально-суммируемая функция f , чтоZhδ, ϕi = ϕ(0) = f (x)ϕ(x) dx для всех ϕ ∈ D.(4)Рассмотрим функциюϕa (x) :=(2exp x2a−a2 ,0,|x| < a;|x| > a.(5)−a0aИмеем ϕa (0) = 1e при всех a.
Легко видеть, что ϕa → 0 почти всюду при a → 0, поэтому интеграл тоже обязанстремиться к нулю. С другой стороны, он должен быть равен ненулевой константе. Противоречие. Пример 1.3. Производная δ-функции действует так:hδ ′ , ϕi := −ϕ′ (0).(6)Линейность и непрерывность такого функционала тоже очевидна.Замечание. Пока «производная» — это только название. Чуть позже мы увидим, что обобщённые функцииможно дифференцировать сколько угодно раз, и окажется, что производная от δ-функции действует именнотаким образом.Всякой локально суммируемой функции мы поставили в соответствие некоторую обобщённую функцию.Покажем, что это соответствие инъективно.Утверждение 2.3.
Если для локально-суммируемой функции f имеет место равенствоZf (x)ϕ(x) dx = 0 при всех ϕ ∈ D,(7)то f = 0 почти всюду. В нашем распоряжении есть основные функции, являющиеся «почти индикаторами» отрезков, то естьфункции ϕε , равные 1 на заданном отрезке [a, b] и нулю вне ε-окрестности этого отрезка. Пусть ϕε — последовательность «почти индикаторов» отрезка [a, b]. ИмеемZf (x)ϕε (x) dx = 0,(8)15162.1.3. Действия над обобщёнными функциями.
Дифференцированиепоэтому по теореме Лебега о предельном переходе при ε → 0 получаем, чтоZb(9)f (x) dx = 0.aИтак, интеграл по всякому отрезку от функции f равен нулю. Значит, f = 0 почти всюду. Пример 1.4. Действие обобщённой функции P x1 задаётся так:Z1ϕ(x)P , ϕ = v. p.dx.xx(10)Покажем, что функция P x1 сингулярна. В самом деле, если бы существовала регулярная функция Ff , задающая то же действие, что и P x1 , то, в частности, оно совпадало бы на основных функциях, для которыхsupp ϕ ⊂ R r {0}. Но для таких функций регуляризация уже есть — это функция x1 (так как носитель ϕ несодержит нуля, он отделён от него некоторой окрестностью, поэтому значение v. p.-интеграла совпадает с обычным интегралом).
Значит, если регуляризация есть, то она должна почти всюду совпадать с x1 . Но эта функция,очевидно, не является локально-суммируемой.2.1.3. Действия над обобщёнными функциями. ДифференцированиеНачнём с наводящих соображений. Пусть Ff — регулярная обобщённая функция, причём f дифференцируема. ТогдаZhFf , ϕi = f (x)ϕ(x) dx.(11)Спросим себя, чему должно быть равно Ff ′ ? Интегрируя по частям и вспоминая, что основные функции финитны, получаемZZhFf ′ , ϕi = f ′ ϕ dx = − f ϕ′ dx = − hFf , ϕ′ i .(12)Итак, в этом случае обобщённые функции можно дифференцировать, перекидывая производные на основнуюфункцию.
Это соображение и положено в основу следующего определения.Определение. Пусть задана обобщённая функция F . Её производной называется функционалhF ′ , ϕi := − hF, ϕ′ i .(13)Линейность такого функционала очевидна, осталось доказать непрерывность. В самом деле, если ϕn → 0 вD, то и ϕ′n → 0 в D. Следовательно,hF ′ , ϕn i = − hF, ϕ′n i → 0,n → ∞.(14)Напомним, что ∗-слабой сходимостью обобщённых функций называется следующее: говорят, что Fn → F ,если для всех ϕ ∈ D имеем Fn (ϕ) → F (ϕ).Утверждение 2.4.
Оператор дифференцирования на обобщённых функциях непрерывен в смысле ∗-слабойсходимости.∗w∗w Пусть Fn −→ F . Покажем, что Fn′ −→ F ′ . Действительно,hFn′ , ϕi = − hFn , ϕ′ i → − hF, ϕ′ i = hF ′ , ϕi ,(15)что и требовалось доказать. Из определения дифференцирования следует, что обобщённые функции можно дифференцировать сколькоугодно раз, так как ϕ ∈ C∞ .Скажем пару слов о замене переменной в обобщённых функциях. Определим, например, что такое δ(x − a).Ответ ясен: это функционал, который основной функции ϕ ставит в соответствие её значение в точке a.Пусть x(ξ) — гладкая монотонная замена переменной. Рассмотрим регулярную функцию Ff .
ТогдаZ dxhFf (x), ϕ(x)i = f x(ξ) ϕ x(ξ)dξ.(16)dξТогда, в силу того что определена обратная функция ξ(x), положим dξF x(ξ) , ϕ(ξ) := F (x), ϕ ξ(x).dx(17)А ещё обобщённые функции можно умножать на гладкие функции. Пусть ψ ∈ C∞ , а F ∈ D′ . ТогдаhψF, ϕi := hF, ψϕi .16(18)172.1.4. Формула суммирования Пуассона2.1.4. Формула суммирования ПуассонаОпределение. Функцией Хевисайда называется функция(1, x > 0,θ(x) :=0, x < 0.(19)Лемма 2.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
