А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1135013), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Предположим, что в D можно ввести такую метрику ρ, что сходимость в D равносильна сходимости по этойметрике. Покажем, что в пространстве D утверждение леммы неверно. Пусть Γn — стандартный горб высоты 1,1Γn . Очевидсосредоточенный на отрезке [−n, n]. В качестве таблицы функций рассмотрим {Γnm }, где Γnm := mно, что при всяком фиксированном n имеем Γnm → 0 в D при m → ∞. В то же время, любая выборка по однойфункции из строки не может сходиться в D, потому что носители «расползаются» вширь (это противоречитопределению сходимости в D). 2.4.2. Пространство L∗1Теорема 2.23. Пусть M — измеримое подмножество в R. Тогда L∗1 (M ) = L∞ (M ).
Пусть сначала M = I = (a, b). Рассмотрим линейный непрерывный функционал Φ : L1 (M ) → C. Рассмотрим функциюF (x) := Φ(I(a,x) ).(62)Она абсолютно непрерывна, потому что|F (x) − F (y)| 6 kΦk · |x − y|.(63)Значит, для неё справедлива формула Ньютона – Лейбница, и она представляется интеграломF (x) =Zxa23h(t) dt,(64)2.4.3. Локальное устройство обобщённых функций из D ′24где h = F ′ — некоторая локально суммируемая функция. Покажем, что она существенно ограничена. В самомделе, в силу липшицевости, производная функции F равномерно ограничена константой kΦk.Осталось показать, что для произвольной функции g ∈ L1 имеемΦ(g) =Zbh(t)g(t) dt.(65)aДля индикаторов это уже проверено.
По линейности это верно и для ступенчатых функций. Покажем, чтоэто верно и для произвольных функций. Приблизим функцию g ∈ L1 ступенчатыми функциями gn . ТогдаΦ(gn ) → Φ(g) в силу непрерывности функционала. С другой стороны, имеемΦ(gn ) =Zbh(t)gn (t) dt →aZbh(t)g(t) dt,(66)aпотому чтоZbZb h(t)gn (t) dt − h(t)g(t) dt 6 kΦk · kgn − gkL1 → 0.a(67)aНо последовательность Φ(gn ) не может иметь двух пределов, значит,Φ(g) =Zbh(t)g(t) dt,(68)aчто и требовалось доказать.Для произвольных множеств M ⊂ R сделаем так: положим его в интервал (a, b), определим функционал на(a, b) и ограничим его на множество M .
Последнюю часть этой теоремы стоило бы написать поподробнее. Но это будет сделано позже.2.4.3. Локальное устройство обобщённых функций из D′Пусть K — компакт. Символом DK мы будем обозначать пространство функций, у которых supp ϕ ⊂ K.Теорема 2.24. Всякая функция F ∈ D′ локально есть производная от непрерывной функции. Утверждение теоремы означает, что для любого компакта K существует непрерывная функция f такая,что на всех функциях из DK имеем hF, ϕi = f (m) , ϕ .Без ограничения общности, K ⊂ (0, 1). Будем рассматривать функции, у которых supp ψ ⊂ (0, 1).
Там, гдеэто не оговорено противное, интегралы берутся по отрезку (0, 1).ZZmax |ψ(x)| 6 ψ ′ (t) dt 6 maxψ ′ (t) dt = max |ψ ′ (x)|,(69)и аналогично,Отсюда следует, чтоmaxψ (s−1) (x) 6kψkmZ (s) ψ (t) dt 6 maxψ (s) (x).= maxψ (s) (x) 6s6mZ (m+1) ψ(t) dt.(70)(71)Рассмотрим гладкий индикатор IK нашего компакта, такой, что supp IK ⊂ (0, 1). Тогда функция G := IK · Fимеет компактный носитель, и для неё верна оценка |G(ϕ)| 6 C kϕkM для некоторого M .
В силу полученноговыше неравенства имеемZ|G(ϕ)| 6 C · ψ (M+1) (t) dt.(72)Заметим, что финитная функция восстанавливается по своей производной однозначно. Значит, она восстанавливается и по (n + 1)-й производной. Рассмотрим функционалe : ϕ(M+1) 7→ G(ϕ), где ϕ ∈ DK .G24(73)2.5.1. Преобразование Фурье в S25Он ограничен относительно нормы в L1 .
Продолжим его до линейного непрерывного функционала на всём L1 .По доказанной ранее теореме он имеет видG(ϕ) =Z(M+1)h(t)ϕ(t) dt = −Z(M+2)f (t)ϕ(t) dt, где f (x) :=Zxh(t) dt.(74)−∞Равенство обосновано финитностью ϕ и формулой интегрирования по частям. Но это ровно то, что нужно,поскольку на нашем компакте K функция G совпадает с F .
Для доказательства общего случая теоремы о структуре обобщённых функций с компактным носителемнадо лишь воспользоваться разбиением единицы.2.5. Преобразование Фурье обобщённых функций2.5.1. Преобразование Фурье в SМы кое-что уже знаем про оператор Фурье F : S → S. Покажем, что он непрерывен. Пусть ϕ ∈ S. ИмеемZ Z X(k)(k) max λk ϕb(m) (λ) = max F [xm ϕ(x)](λ) 6 [xm ϕ(x)] dx 6cαβ xα ϕ(β) (x) dx =λλZZ α+2 (β) Z xα ϕ(β) (x)XXxϕ (x)1 + x2 α (β) · x ϕ (x) dx =cαβdx +dx .
(75)=cαβ1 + x21 + x21 + x2А числители оцениваются соответствующими полунормами в S, поэтому интегралы сходятся. Значит,Xkϕkb k,m 6Cαβ kϕkα,β .(76)У неё будет нуль в точке a, значит, по лемме имеем(Gψ)(a) = G ϕ(x) − ϕ(a) · Γa (x) (a) = (Gϕ)(a) − ϕ(a) · (GΓa )(a) = 0(78)Теорема 2.25. Оператор G : S → S, коммутирующий с M (умножением на x), есть оператор умноженияна некоторую функцию α(x) ∈ C∞ . А если он еще и коммутирует с D (дифференцированием), то α(x) ≡ const. Нам потребуется одна несложная лемма.Лемма 2.26.
Если ϕ(a) = 0, то (Gϕ(a)) = 0. Если у функции есть нуль в точке a, то она имеет вид ϕ(x) = (x − a)ψ(x), где ψ ∈ C∞ . Заметим, чтоψ ∈ S, так как ψ(x) = ϕ(x)x−a , а функция ϕ убывает быстрее любой обратной степени. Имеем ϕ = Mψ − aψ иGϕ = MGψ − aGψ. Но тогда (Gϕ)(a) = a(Gψ)(a) − a(Gψ)(a) = 0. Докажем утверждение теоремы. Рассмотрим «горб» — гладкую функцию Γa (x), которая равна 1 на отрезке[a − 1, a + 1], и нулю вне интервала (a − 2, a + 2). Положим α(a) := (GΓa )(a) — это будет некоторая функция.Рассмотрим функциюψ(x) := ϕ(x) − ϕ(a) · Γa (x).(77)⇒(Gϕ)(a) = ϕ(a)α(a).Но это верно для любого a, поэтому (Gϕ)(x) = ϕ(x)α(x).
Покажем теперь, что α(x) ∈ C∞ . При любом a ∈ Rимеем(GΓa )(x) = α(x)Γa (x).(79)Левая часть лежит в C∞ по определению оператора G, а правая часть совпадает с α(x) на интервале (a−1, a+1).В силу произвольности a это верно на всей прямой, значит, α(x) ∈ C∞ .Докажем второе утверждение. Имеем Γ′a (x) = 0 на интервале (a − 1, a + 1). Поэтому на этом интервале имеем′0 = (GDΓa )(x) = α(x)Γa (x) = α′ (x).(80)Снова в силу того, что a произвольно, имеем α′ (x) ≡ 0. Следствие 2.2.
F −1 F = id. Этот оператор коммутирует с M и с D. Значит, это скалярный оператор λI. У него есть собственнаяx2функция e− 2 с собственным значением 1. Значит, λ = 1. Тут на самом деле мухлёж: функция при двукратном применении оператора Фурье переворачивается.
Просто функция e−чётна, поэтому она переходит в себя. Впрочем, это не так важно.25x222.5.2. Преобразование Фурье в S ′ и в D ′26RУтверждение 2.27. Пусть h(x) — такая функция, что h(x)ea|x| ∈ L1 , и xn h(x) dx = 0 для всех n > 0.п.в.Тогда h = 0. Это очевидно: преобразование Фурье bh от такой функции аналитически продолжается в полосу | Im z| << a, а эти интегралы есть в точности производные от преобразования Фурье в нуле. Значит, по теореме единп.в.ственности bh = 0, а тогда h = 0. RУтверждение 2.28. В пространстве S существует функция ϕ, для которой xn ϕ(x) dx = 0 для всех n.
Пользуясь тем, что F (а значит, и F −1 ) — изоморфизм S, такую функцию мы легко получим, рассмотревобратное преобразование Фурье от функции ψ ∈ S, «плоской» в нуле, т. е. ϕ := F −1 ψ, а ψ ≡ 1 в U (0). Следствие 2.3. В пространстве S бывают такие функции ϕ, для которых ϕ(x)ea|x| ∈/ L1 ни при каком a.2.5.2. Преобразование Фурье в S ′ и в D′Преобразование Фурье обобщённых функций определяется по аналогии другим операциям с обобщённымифункциями.Определение. Пусть f ∈ S ′ , а ϕ ∈ S.
Положим fb, ϕ := hf, ϕi.bУтверждение 2.29. Оператор преобразования Фурье ∗-слабо непрерывен на S. Пусть fn → f на каждой тестовой функции ϕ ∈ S. ТогдаhFfn , ϕi = hfn , F ϕi → hf, F ϕi = hFf, ϕi ,(81)что и означает ∗-слабую непрерывность. А вот в пространстве D′ преобразование Фурье ведёт себя намного хуже. Прежде всего заметим такойприкольный факт: F (D) ∩ D = ∅. В самом деле, образ Фурье функции из D — это голоморфная функция,поэтому она не может быть нулём вне некоторого компакта, если она не нулевая.Утверждение 2.30. Не существует ∗-слабо непрерывного продолжения оператора Фурье до отображенияF : D′ → D′ .
Пусть существует оператор A : D′ → D′ с такими свойствами. Пусть f ∈ D′ , а ψ1 ∈ D. Тогда (Af )(ψ1 )как функция от f есть слабо непрерывный функционал на D′ . Но любой слабо непрерывный функционал на D′есть значение f на некоторой другой основной функции, то есть (Af )(ψ1 ) = f (ψ2 ). Теперь возьмём в качестве fфункцию ϕ ∈ D. ТогдаZZZ(82)ψ2 ϕ dx = ψ 1 F ϕ dx = F ψ 1 ϕ dx.Значит, ψ2 = F ψ 1 , чего не бывает, поскольку D ∩ F (D) = ∅. 26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
