А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1135013), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Система функций einx полна в пространстве C[−π, π]. Покажем, что если для непрерывной функции f выполнено условие f ⊥einx при всех n ∈ Z, то f ≡ 0.Допустим противное.Без ограничения общности f (0) =: C > 0. Построим тригонометрический многочлен Tm ,Rдля которого Tm (x) dx = 1 и |Tm (x)| < ε вне δ-окрестности нуля (здесь δ и ε — произвольные наперёд заданныеположительные числа). Рассмотрим многочленTm (x) := R(1 + cos x)m.(1 + cos x)m dx5(17)61.1.4.
Теорема ФейераВозьмём произвольную точку x0 6= 0 и обозначим g(x) := 1 + cos x. Тогда числитель у Tm (x0 ) равен g m (x0 ), аинтеграл в знаменателе, как хорошо видно из картинки−π − x0 02можно оценить снизу числом|x0 | |x0 |+22x02· gmπx 02,(18)выражающим площадь заштрихованной части под графиком функции g m (x). Так как g x20 > g(x0 ), основаниепоказательной функции в знаменателе больше, чем в числителе. Следовательно, знаменатель задавит числительс ростом m (коэффициент при знаменателе не зависит от m и потому не повредит). Далее, ясно, что если|x| > |x0 |, то оценка только улучшится. Таким образом, Tm (x) ⇒ 0 вне всякой окрестности нуля при m → ∞.В силу непрерывности, f (x) > C2 в некоторой δ-окрестности нуля.
ПоэтомуZC(19)f (x)Tm (x) dx > (1 − α) · − α · kf kC , α := 2ε(π − δ).2Осталось взять m столь большим, чтобы последнее слагаемое стало маленьким за счёт ε, а второе — близкимк C2 за счёт того же ε. Но это означает, что скалярное произведение (f, Tm ) > 0. Противоречие. Для обоснования корректности следующей теоремы нам потребуется сделать два замечания. Во-первых, еслифункция абсолютно непрерывна, то у неё почти всюду существует производная и для таких функций работаетинтегрирование по частям.Во-вторых, произведение абсолютно непрерывных функций снова является абсолютно непрерывной функцией (доказательство очень похоже на доказательство того, что произведение непрерывных функций непрерывно).Теорема 1.4.
Пусть функция f абсолютно непрерывна и f ′ ∈ L2 (−π, π). Тогда ряд Фурье сходится кфункции f равномерно. Коэффициенты Фурье для производной будем обозначать c′n . Оценим коэффициенты Фурье функции f ,интегрируя по частям: inπZZ11ee−inπ1 1c′cn =f (x)e−inx dx = −· f (π)−+·f ′ (x)e−inx dx = 0 + n .(20)2π2πininin 2πinПрименяя неравенство ab 6 12 (a2 + b2 ), получаем:1 11|cn | = c′n · 6|c′n |2 + 2 .(21)in2nP ′ 2Так Pкак f ′ ∈ L2 , ряд|cn | Pсходится в силу неравенства PБесселя. В силу приведённой оценки, сходится иряд|cn |, а поскольку рядcn einx мажорируется рядом|cn |, он сходится равномерно по признаку Вейерштрасса. Значит, он сходится к некоторой непрерывной функции ϕ. В силу этой равномерной сходимости,функция ϕ имеет те же коэффициенты Фурье, что и функция f .
Значит, непрерывная функция f − ϕ имеетнулевые коэффициенты Фурье и по предыдущему утверждению тождественно равна нулю. 1.1.4. Теорема ФейераУтверждение 1.5. Пусть f ∈ L1 [a, b], а {ϕk } — равномерно ограниченная константой M ортонормированная система на отрезке [a, b]. Тогда коэффициенты Фурье функции f по этой системе стремятся к нулю. Пусть fε ∈ L2 [a, b] и kf − fε kL1 < ε. ТогдаZZZf ϕk = (f − fε )ϕk + fε ϕk .(22)Первое слагаемое не превосходит M ε, а второе стремится к нулю при k → ∞, потому что fε ∈ L2 . 671.2.1.
Определение преобразования Фурье. Формула обращенияПусть Sn (x) — частные суммы ряда Фурье для функции f . Рассмотрим средние Фейера:Pn (x) :=S0 (x) + . . . + Sn1=n+12π(n + 1)Zf (x + t)nX(23)Dk (t) dt.k=0Домножим числитель и знаменатель ядра Дирихле на sin 2t . Тогда1Pn (x) =2π(n + 1)Zf (x + t)nXsin k +k=012 tsin2 2t· sin 2t(24)dt.Свернём сумму под интегралом и получим ядро Фейера: имеем1t1sin k +t · sin = cos kt − cos(k + 1)t ,222поэтому в сумме числителей почти всё сократится, и останется1−cos(n+1)t2= sin2(25)n+12 t.Итак,nsin2 n+11 X sin k + 12 t · sin 2t12 t·Fn (t) :==22tn+1n+1sin 2sin 2tk=0и1Pn (x) =2πZ(26)(27)f (x + t)Fn (t) dt.Отметим несколько необходимых нам свойств ядра Фейера.• Fn (t) > 0.R• Fn (t) dt = 2π, так как ядро Фейера — это усреднённая сумма (n + 1)-го ядра Дирихле.• При всяком фиксированном δ > 0 имеемZFn (t) dt → 0,(28)n → ∞.|t|>δВ самом деле, при |t| > δ знаменатель ядра подпирается снизу константой π 2sin2 n+1112 t6··→ 0,n+1n+1δsin2 2tδπ,поэтомуn → ∞.(29)Теорема 1.6 (Фейера).
Если функция f непрерывна, то средние Фейера сходятся к ней равномерно. В силу свойств ядра Фейера имеемZZZ1111f (x) − Pn (x) =f (x) − f (x + t) Fn (t) dt =+=:(I1 + I2 ).(30)2π2π2π2π|t|<δ|t|>δПоскольку функция f непрерывна, она ограничена: |f | 6 M . Кроме того, она равномерно непрерывна, то есть|f (x) − f (x + t)| < ε, как только |t| < δ.
ТогдаZZZ|I1 | 6 εFn (t) dt 6 ε Fn (t) dt = 2πε,|I2 | 6 2MFn (t) dt.(31)|t|<δ|t|>δСначала выберем маленькое ε, для него найдётся какое-то δ, но по одному из свойств ядра Фейера, последнийинтеграл стремится к нулю при любом фиксированном δ. Следовательно, Pn ⇒ f . 1.2.
Преобразование Фурье1.2.1. Определение преобразования Фурье. Формула обращенияВ этом разделе мы не будем писать пределы интегрирования, если мы интегрируем по всей прямой R. Подпространством L1 понимается пространство L1 (R).781.2.2. Свойства преобразования ФурьеОпределение. Преобразованием Фурье функции f ∈ L1 называется функцияZ1fb(λ) := √f (x)e−iλx dx.2π(32)Теорема 1.7 (Формула обращения). Если в точке x функция f удовлетворяет условию Дини и непрерывна в этой точке, то значение функции в точке x можно восстановить по формулеZ1√f (x) = v. p.fb(λ)eiλx dλ.(33)2πРассмотрим аналог частных сумм ряда Фурье:1fn (x) = √2πZn −n1√2πZf (ξ)e−iλξdξ eiλx dλ.(34)В силу интегрируемости f на всей прямой имеем Zn Z−iλ(ξ−x)f (ξ)edξ dλ 6 2n · kf kL1 ,(35)−nа потому применима теорема Фубини, и можно поменять порядок интегрирования.
Следовательно, имеем1fn (x) = √2πZZnZ111ein(x−ξ) − e−in(x−ξ)f (ξ) √e−iλ(ξ−x) dλ dξ = √f (ξ) √ ·dξ =i(x − ξ)2π2π2π−nZZ1sin n(x − ξ)1sin nt=f (ξ)dξ =f (x + t)dt.πx−ξπtКак мы уже знаем,ZПоэтомуfn (x) − f (x) =1πZsin ntdt = π.tf (x + t) − f (x)1sin nt dt =tπ(36)(37)Z+1π|t|<AZ=:1(I1 + I2 ).π(38)|t|>AС первым интегралом всё ясно: для него применима лемма Римана – Лебега, поэтому он стремится к нулю сростом n. Второй интеграл разбивается в сумму двух интегралов:ZZf (x + t)f (x)I2 =sin nt dt +sin nt dt.(39)tt|t|>A|t|>AКаждый из них может быть сделан маленьким за счёт выбора достаточно большого A. Контрольный вопрос: о каких интегралах в этом доказательстве идёт речь — о Римановских или о Лебеговских?1.2.2.
Свойства преобразования ФурьеНепосредственно из определения следует, что1|fb(λ)| 6 √ kf kL1 при всех λ ∈ R.2π(40)Отсюда следует, что если fn → f в L1 , то fbn ⇒ fb на R.Утверждение 1.8. Преобразование Фурье функции f ∈ L1 является непрерывной функцией. В случае, когда f = I[a,b] , доказательство тривиально:fb(λ) =Zbae−iλx dx = −8e−ibλ − e−iaλ,iλ(41)91.2.3.
Связь между гладкостью и убыванием для функции и её образа Фурьеи особенность в нуле, очевидно, устраняется. По линейности наше утверждение верно и для ступенчатых функций. В общем случае приблизим нашу функцию ступенчатыми функциями fn . Поскольку равномерный пределнепрерывных функций непрерывен, получаем, что функция fb тоже непрерывна. Следствие 1.1. Преобразование Фурье fb(λ) убывает к нулю при λ → ∞. Для индикаторов это следует из формулы (41). По линейности это верно и для ступенчатых функций.Общий случай — следствие равномерной сходимости. Теорема 1.9.
Если fb ≡ 0, то и f = 0 в L1 .ZZ110 ≡ fb(λ) = √f (x)e−iλx dx = √ e−iλt f (x + t)e−iλx dx.(42)2π2πСократим на ненулевой множитель перед интегралом и проинтегрируем наш тождественный нуль от 0 до T :0≡Функция F (x) :=RTZT Zf (x + t)e−iλxdx dt =0Z ZTf (x + t) dt e−iλx dx.0(43)f (x + t) dt абсолютно непрерывна по x, значит, почти всюду дифференцируема, а потому0удовлетворяет условию Дини почти всюду. Значит, её преобразование Фурье сходится к ней почти всюду.1x+TRЗначит, F (x) =f (ξ) dξ ≡ 0, так как по предыдущей формулеxZF (x)e−iλx dx ≡ 0,(44)а это и есть преобразование Фурье для F (x).
Но поскольку T произвольно, в силу абсолютной непрерывностиинтеграла Лебега отсюда следует, что f = 0 в L1 . 1.2.3. Связь между гладкостью и убыванием для функции и её образа ФурьеЛемма 1.10. Пусть f ∈ L1 ∩ AC и f ′ ∈ L1 . ТогдаИмеемZfb′ (λ) = iλfb(λ).′f (x)e−iλxdx = f (x)e+∞−iλx −∞+iλ(45)Zf (x)e−iλx dx.(46)RxПокажем, что внеинтегральные члены равны нулю.
Действительно, имеем f (x) = f (0) + f ′ (t) dt, но поскольку0f ′ ∈ L1 , существует предел интеграла от f ′ при x → ∞. Но этот предел может быть только нулём, так как иначеразойдётся интеграл от f . Таким образом, fb′ (λ) = iλfb(λ). Следствие 1.2. Если f, f ′ , f ′′ ∈ L1 ∩ AC, то fc′′ (λ) = −λ2 fb(λ) и fb суммируема.′′c, а так как fc′′ (λ) → 0 при λ → ∞, то Первое утверждение очевидно. Далее, имеем fb(λ) = − f λ(λ)2fb(λ) = o λ12 . Следствие 1.3. Если f, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
