А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу (1135013), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . , f (k) ∈ L1 ∩ AC, то(k) (λ) = (iλ)k fb(λ),fdfb(λ) = o1λk. Применяем индукцию, и всё получается. Покажем, что эти свойства обратимы:\Лемма 1.11. Если f ∈ L1 и xf (x) ∈ L1 , то (fb)′ = −ixf(x). Будем искать производную преобразования Фурье функции f :Zfb(λ + h) − fb(λ)1e−i(λ+h)x − e−iλx=√f (x)dx.hh2π(47)(48)1 Мы доказывали это для рядов Фурье. Но для преобразования Фурье это делается аналогично, нужно только заменить суммуSn на интеграл от e−iλx .9101.2.4. Равенство Парсеваля для преобразования Фурье. Теорема ПланшереляПоскольку дробь под интегралом ограничена, применима теорема Лебега о предельном переходе. Следовательно,Z1fb(λ + h) − fb(λ)\=√f (x)(−ix)e−iλx dx = −ixf(x),h→0h2πlim(49)что и требовалось доказать. k f (x).Следствие 1.4.
Если xm f (x) ∈ L1 при m = 0, . . . , k, то (fb)(k) = (−i)k x\ Снова применяем индукцию, и снова всё получается. Теорема 1.12. Если для некоторого δ > 0 функция f (x)eδ|x| интегрируема, то функция fb аналитична вполосе | Im ζ| < δ. Рассмотрим преобразование Фурье с комплексным параметром ζ = λ + iµ:Z1bf (ζ) = √f (x)e−iζx dx.(50)2πВидно, что при |µ| < δ интеграл существует. Поступая так же, как и при доказательстве предыдущей леммы,имеемZZfb(ζ + h) − fb(ζ)1e−i(ζ+h)x − e−iζx1= √dx → √f (x)f (x)(−ix)e−iζx dx, h → 0.(51)hh2π2πТем самым показано, что функция дифференцируема в указанной полосе.
Но, как мы знаем из комплексногоанализа, этого достаточно для аналитичности. Впрочем, и так очевидно, что полученная производная самаудовлетворяет условиям теоремы, откуда следует бесконечная дифференцируемость fb. Введём обозначения для операторов дифференцирования и умножения на независимую переменную. Полоdf, и Mf (x) := xf (x). Оператор преобразования Фурье обозначим через F . По доказанномужим Df (x) := i dxвыше, справедливы следующие коммутационные соотношения:F D = −MF,DF = F M.(52)1.2.4.
Равенство Парсеваля для преобразования Фурье. Теорема ПланшереляP2В дискретном случае имеет место равенство kf kL2 = |cn |2 . Имеется и непрерывный аналог этого равенства.Определение. Носителем непрерывной функции называется множество supp f := Cl {x : f (x) 6= 0}.Определение. Говорят, что функция f : Rn → Rm финитна, если найдётся шар B ⊂ Rn такой, что f ≡ 0вне B.Лемма 1.13 (Равенство Парсеваля). Преобразование Фурье сохраняет скалярное произведение в L2 . Пусть для простоты функции f, g ∈ C2 (R) и финитные.
Для таких функций работает формула обращения:(f, g) =Zf (x)g(x) dx =ZZZZ11iλx√ f (x)bf (x) √gb(λ)e dλ dx =g (λ)e−iλx dx dλ =2π2πZ ZZ1−iλx√=f (x)edx gb(λ) dλ = fb(λ)bg (λ) dλ = (fb, bg),2π(53)что и требовалось доказать. Теорема 1.14 (Планшереля). Пусть f ∈ L2 (R). Тогда функции1√2πZnf (x)e−iλx dx(54)−nпри n → ∞ сходятся по норме L2 (R) к некоторой функции U f , где U : L2 → L2 — унитарный оператор. Еслипри этом f ∈ L1 (R), то U f = fb. Проверим равенство Парсеваля для финитных функций. Пусть сначала функция f равна нулю вненекоторого отрезка [A, B]. Рассмотрим последовательность C2 -гладких финитных функций {ϕk } такую, чтоϕk → f в L2 . Для функции f определено обычное преобразование Фурье, так как она лежит в L1 (R).
Заметим,что ϕk → f в L1 , а потому ϕbk ⇒ fb на R. Кроме того, в силу уже доказанного для хороших функций равенстваПарсеваля, последовательность {ϕbk } фундаментальна в L2 (R), а потому имеет там некоторый предел. Но в силуравномерной сходимости ϕbk это может быть только функция fb. Таким образом, kfbk = kf k.10111.2.5. Система функций Чебышёва – ЭрмитаВ общем случае рассмотрим функции fn := f ·I[−n,n] .
Для них справедливо предыдущее рассуждение, значит,kfbn k = kfn k. В силу фундаментальности fn в L2 и уже доказанного для таких функций равенства Парсеваля,последовательность fbn фундаментальна в L2 , а потому сходится к некоторой функции U f . В силу непрерывностиL2 -нормы имеемkU f k = lim kfbn k = lim kfn k = kf k .(55)n→∞n→∞Таким образом, оператор U сохраняет норму (а значит, и скалярное произведение). Тем самым получено изометричное отображение U : L2 → L2 .Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть теперь f ∈ L1 ∩ L2 . Тогда fn → f в L1 и fn → f в L2 .
Значит,fbn ⇒ fb, а в силу равенства Парсеваля {fbn } фундаментальна в L2 и потому сходится к некоторой функции g.Отсюда fb = g почти всюду. 1.2.5. Система функций Чебышёва – ЭрмитаИзучим подробнее оператор U , полученный в теореме Планшереля. Ниже будет показано, что операторU 4 = id в L2 (R), поэтому в силу леммы об отображении спектра, Σ(U ) содержится среди корней четвёртойстепени из единицы.Рассмотрим систему функцийx2(56)pn (x) := xn e− 2 .Очевидно, что pn ∈ L2 (R). Их линейная независимость очевидна. Применяя к этой системе процесс ортогонализации, получаем ортонормированную систему, которая называется системой Чебышёва – Эрмита.Можно проверить, что функции 2 2 2 2xxxxexp −,(1 − 2x2 ) exp −,(−3x + 2x3 ) exp −,x exp −(57)2222являются собственными для оператора U с собственными значениями со значением 1, −1, i и −i соответственно.Таким образом, спектр оператора U является точечным и состоит в точности из чисел ik , k = 0, 1, 2, 3.Теорема 1.15.
Пусть f ∈ L2 (R) и не равна нулю почти всюду на R. Кроме того, пусть f (x)eδ|x| ∈ L2 (R)для некоторого δ > 0. Тогда система функций {gn (x) := xn f (x)} полна в L2 (R). Пусть нашлась функция h такая, что (h, gn ) = 0 при всех n. Покажем, что h = 0. ИмеемZxn f (x)h(x) dx = 0.(58)В частности, этот интеграл существует при n = 0, поэтому f (x)h(x) ∈ L1 . Значит, к этой функции можноприменить преобразование Фурье:Z1f (x)h(x)e−iλx dx.g(λ) := √(59)2πТак как f (x)eδ|x| ∈ L2 (R), то функция g(λ) будет аналитической в полосе ширины 2δ.
Заметим, что все еёпроизводные в нуле с точностью до коэффициента совпадают со скалярными произведениями (h, gn ), которыеравны нулю:Z1g (n) (0) = (−i)n · √xn f (x)h(x) dx.(60)2πЗначит, g ≡ 0, а потому f (x)h(x) = 0 почти всюду. Но так как f (x) 6= 0 почти всюду, то h(x) = 0 почти всюду. 1.2.6. Свёртка функций и её преобразование ФурьеОпределение. Пусть f, g ∈ L1 (R). Свёрткой функций f и g называется функцияZ(f ∗ g)(x) := f (x − y)g(y) dy.(61)Из теоремы Фубини следует, чтоRRсвёртка существует, так как существует кратный интеграл, который линейной заменой сводится к интегралуf (x)g(y) dx dy, в существовании которого сомнений не возникает.√Утверждение 1.16.
Имеет место равенство f[∗ g = 2π · fb · gb.11121.2.7. Решение уравнения теплопроводностиИмеемZ ZZ Z11−iλx−iλ(x−y) −iλy√f (x − y)g(y) dy edx = √f (x − y)eedx g(y) dy =2π2πZ ZZ√1=√f (ξ)e−iλξ dξ e−iλy g(y) dy = fb(λ) · e−iλy g(y) dy = 2π · fb(λ) · gb(λ),2π(62)что и требовалось доказать.2 1.2.7. Решение уравнения теплопроводностиПусть функция u(x, t) удовлетворяет уравнению теплопроводностиut = uxx ,x ∈ R,(63)t > 0,причём известно начальное распределение тепла u(x, 0) = ϕ(x).Наложим на функцию u(x, t) дополнительные условия:1. Пусть u, ux , uxx интегрируемы по всей оси x для любого фиксированного t > 0.2.
Существует интегрируемая функция f , для которой |ut (x, t)| 6 f (x).Возьмём преобразование Фурье от производной ut по переменной x:ZZ∂∂−iλxu(x, t)e−iλx dx = v(λ, t),гдеubt (λ) = ut edx =∂t∂tRv(λ, t) :=RZu(x, t)e−iλx dx.(64)RАналогично,2udb(λ) = −λ2 v(λ, t).xx (λ) = −λ u(65)Таким образом, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (λ считаем параметром):dv = −λ2 v.dt(66)2Решая его, получаем v(λ, t) = C(λ)e−λ t . Вычислим константу, исходя из начальных условий.ZC(λ) = v(λ, 0) = u(x, 0)e−iλx dx = ϕ(λ),b(67)Rто2−λ tv(λ, t) = ϕ(λ)eb.(68)Применяя формулу обращения к функции v, получаемZξ21u(x, t) = √e− 4t ϕ(x − ξ)dξ.2 πt(69)RЗдесь мы пользуемся тем, что обратное преобразование Фурье переводит произведение преобразований Фу2рье в свёртку исходных функций, и тем, что обратное преобразование Фурье функции e−λ t легко считается.Полученное выражение называется интегралом Пуассона.1.2.8.
Оператор Фурье в пространстве ШварцаОпределение. Пространство Шварца S состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций, длякоторых выполненоkf kp,q := maxxp f (q) < ∞ при всех p, q ∈ Z+ .(70)RВведённая система полунорм k·kp,q превращает S в метрическое пространство.Лемма 1.17. Пространство S плотно в L2 (R) по норме L2 .
Легко видеть, что функции Чебышёва – Эрмита, введённые нами ранее, являются функциями класса S.Осталось вспомнить, что они образуют полную ортонормированную систему. 2 Кстати,можно было бы избавиться от множителя√2π в этой формуле, если коэффициент12√12πдобавить в определение свёртки.131.2.9. Теорема Пэли – ВинераУтверждение 1.18. Оператор F : S → S корректно определён. Пусть f ∈ S. Покажем, что fb ∈ S.
Выкладки проведём с точностью до множителей:h(p) iλp (fb)(q) (λ) = Mp Dq F f = Mp F Mq f = F Dp Mq f = F xq f (x).(71)Расписывая p-ю производную по правилу Лейбница, получим линейную комбинацию произведений производныхфункции f и степеней x. Поскольку f ∈ S, функции вида xm f (k) заведомо лежат в L1 (R). А мы знаем, чтопреобразование Фурье функции из L1 (R) — это ограниченная функция. Значит, каждое слагаемое в нашей суммеравномерно ограничено, а потому и вся сумма равномерна ограничена. Итак, мы показали, что kfbkp,q < ∞ привсех p, q, но это и означает, что fb ∈ S.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
