А.А. Шкаликов - Конспект лекций (1135008), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Замечание: Ясно, что если была финитной, то и будет финитной, т.к.

1) если

2) если бесконечно дифференцируема по , значит бесконечно дифференцируема по будет бесконечно дифференцируема по

Таким образом, и , существует интеграл из определения. То есть корректно определено действие на . Значит так будем определять прямое произведение для всех обобщенных функций.

Определим теперь свертку двух обобщенных функций . Если - регулярны, то . Поясним, что , а понимается как функция , где . Теперь поскольку прямое произведение у нас было корректно определено , то и свертка также будет корректно определена .

Напоследок отметим, что мы здесь изначально доказывали все свойства преобразования Фурье для , но есть одна замечательная

ТЕОРЕМА. Пространство плотно в , где под понимается мера Лебега в , при , в и в . Пространство плотно в при и в .

Доказательство: см. А.А.Кириллов, А.Д.Гвишиани "Теоремы и задачи функционального анализа" стр. 97.

Также уместно вспомнить, что имеют место непрерывные вложения . Поэтому все доказанное будет справедливо и для других рассмотренных нами основных пространств, т.к. вес свойства могут быть продолжены по непрерывности.

Что же касается преобразования Фурье и свертки обобщенных функций для , здесь ситуация несколько проще. В самом деле, вложения в классах обобщенных функций обратные: . Поэтому выше указанные понятия мы ввели на самом широком из рассмотренных нами классов обобщенных функций.

В приложениях, например, в физике, в УРЧП, изначально не сильно заботятся о строгости переходов. Сразу полагается, что все функции "хорошие", поэтому все операции правомочны. Однако, это себя оправдывает.

На этом мы заканчиваем изложение основных глав курса функционального анализа в 6-м семестре. Закончим же мы наши лекции рассмотрением некоторых вопросов функционального исчисления самосопряженных операторов.

ГЛАВА 4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ЛЕММА(о монотонной последовательности операторов). Пусть . Тогда , причем ( - означает сильный предел).

Доказательство: , тогда по определению сравнения операторов форма задает почти скалярное произведение (свойств невырожденности: - необязательно). Но нам важно то, что сохраняется неравенство Шварца: . Тогда можно записать: при . Первый множитель, очевидно, стремится к нулю при (обозначив , получим ограниченную единицей возрастающую последовательность, значит, при ), а второй множитель, т.к. , оценивается . Таким образом, , т.е. существует сильный предел такой, что . ЧТД

ТЕОРЕМА(о квадратном корне). Пусть , ограниченный. Тогда такой, что . При этом оператор коммутирует с любым оператором, коммутирующим с ( ).

Сразу заметим, что . Значит, наш оператор самосопряжен.

Доказательство: не ограничивая общности, можем считать, что . Теперь сделаем замену: , . Тогда (*). Т.е. по оператору надо построить такой оператор , что . Будем делать это, методом последовательных приближений (название говорит само за себя!). Положим , . Докажем, что в некотором смысле из (*). В каком смысле? Оказывается, что в равномерной (что было бы просто замечательно) операторной топологии не удается построить приближение, поэтому строится сильный предел.

Заметим, что - многочлен от степени при . Очевидно, что и , как очевидно и то, что - многочлен с неотрицательными коэффициентами, а значит, . Покажем теперь, что - тоже многочлен с неотрицательными коэффициентами:

база: - с положительными коэффициентами шаг: пусть для верно, докажем для : , но в последнем произведении первый множитель – многочлен с положительными коэффициентами по предположению индукции, а второй – как сумма двух многочленов с вышеобозначенным свойством.

Итак, доказали. Теперь т.к. приращения неотрицательны (т.е. последовательность не убывает), а (т.к. ), то последовательность удовлетворяет условиям теоремы о монотонной последовательности. Следовательно, существует сильный предел . Теперь осталось перейти в (*) к пределу, получим, что , а значит, удовлетворяет . Итак, оператор нашли, осталось показать его единственность и свойство сформулированное в формулировке теоремы.

Докажем коммутативное свойство. Ясно, что коммутирует с любым многочленом от (а значит, и от ), следовательно, и (равно как и ) обладает тем же свойством. Пусть теперь и (т.к. ) . Значит, оператор коммутирует с любым многочленом от (а значит, и от ). Следовательно, коммутирует с сильным пределом многочленов от ( ). Но был получен как сильный предел многочленов от . Значит, .

Докажем теперь единственность. Пусть : . Положим . По доказанному и . Тогда и . Значит, . Теперь и все это чудо , значит . Единственность получена, что и завершает доказательство. ЧТД

СЛЕДСТВИЕ. Пусть , , и коммутируют. Тогда .

Доказательство: . Напомним, что как и и корни из них являются неотрицательными операторами, а значит самосопряженными. Тогда . Значит, . ЧТД

СЛЕДСТВИЕ. Пусть , коммутирует с и , . Тогда .

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Далее мы коснемся важного вопроса построения не только полиномов от ограниченных самосопряженных операторов, а более обширного класса функций. Жизнь заставляет уметь отыскивать синусы, косинусы, логарифмы, экспоненты и прочие функции от операторов. Рассмотрим, скажем уравнение:

, где - некоторый оператор, скажем, в - интегральный или какой-либо еще. Так вот если бы указанная задача решалась нами, то мы бы легко записали решение приведенного уравнения:

Приступим к построению должного фундамента под эти наши размышления. Введем на пространстве всех, скажем, гладких функций (т.е. бесконечно дифференцируемых) отображение в пространство всех ограниченных самосопряженных операторов. Для начала определим на полиномах:

пусть полином , тогда , где . Далее мы хотим по непрерывности продолжит отображение . Какими же свойствами оно будет обладать?

СВОЙСТВА:

1) Однородность:

2) Аддитивность:

3) Мультипликативность:

Определение: Отображение называется положительного типа, если из того, что , следует, что .

Напомним, что - это числовой образ оператора, вводился на одной из первых лекций. является выпуклым множеством, содержащим спектр оператора, а для самосопряженных операторов еще и подмножеством , причем приняты обозначения: и .

ЛЕММА. Отображение положительного типа.

Доказательство: пусть , где , , , , . Это представление берется прямо из определения положительности типа . Теперь запишем образ отображения на : , в качестве множителей выступают положительные операторы, значит, и весь результат – положительный. ЧТД

Утверждение о положительном типе отображения позволяет построить для функций, которые можно приблизить полиномами , монотонно возрастающими или убывающими.

Определение: Будем говорить, что , если неубывающая последовательность полиномов ( ) такая, что поточечно всюду на .

Замечание: функции, непрерывные слева .

УТВЕРЖДЕНИЕ. .

Доказательство: по теореме Вейерштрасса такой, что . Но тогда , что и означает существование последовательности полиномов из определения класса . ЧТД

ТЕОРЕМА. Монотонная функция порождает -аддитивную меру функция непрерывна слева.

Итак, такие, что , значит, , следовательно, . Очевидно, что при таком определении все свойства отображения : однородность, аддитивность, мультипликативность и положительность типа – сохраняются.

ТЕОРЕМА(спектральная теорема в терминах функционального исчисления). такой, что все четыре свойства сохраняются.

Доказательство: теорема следует из приведенных выше рассуждений. ЧТД

Рассмотрим . По предыдущей теореме , назовем такие операторы ортопроекторами, а множество - семейством ортопроекторов. Это семейство задает оператор-значную меру на , в этом смысле и понимается утверждение следующей теоремы:

ТЕОРЕМА. .

Здесь стилтьесовские суммы сходятся равномерно.

А вообще-то, Андрей Андреевич посоветовал найти в читальном зале книжку “Лекции по функциональному анализу” Рисс, Секефальви-Надь (стр. 280) и по ней прочитать последние два вопроса по теории.

Все. Свершилось. Всем спасибо и до свидания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа

2. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа

3. Рисс, Секефальви-Надь “Лекции по функциональному анализу”

4. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу

Ранеежпжжлдпа

27

Характеристики

Список файлов лекций