А.А. Шкаликов - Конспект лекций (1135008), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Заметим, что одномерность использовалась здесь для пущей наглядности. Однако, в многомерном случае верны факты, аналогичные тем, которые мы использовали при доказательстве.

ПРИМЕР того, что не все функции являются регулярными . Пусть , определим функционал на следующим образом: . Ясно, что это ЛНФ. Обозначают его - . Итак, мы определили одну из самых известных () обобщенных функций – дельта-функцию Дирака.

УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что не является регулярной.

ДЕЙСТВИЯ С ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Заметим для начала, что оператор умножения на функцию непрерывен на . Действительно, по доказанному критерию сходимости в , если в , то как элементы и все имеют один и тот же компактный носитель . Но тогда , если , то и , при этом у всех один и тот же компактный носитель (он тот же, что и у ). По этому по все тому же критерию как элементы .

Не трудно понять также, что и оператор дифференцирования в непрерывен. Это видно, например, из определения топологии в .

Теперь определим аналогичные операторы в .

1. Пусть . Сперва рассмотрим случай когда - регулярная функция, т.е. . Тогда для . При этом, очевидно, что все осуществленные нами переходы справедливы. Первый интеграл определен, т.к. если , а , то ., т.е. является регулярным функционалом. Последнее равенство имеет место по определению регулярного функционала, т.к. .

Теперь вполне понятным становится следующее

Определение: Умножением функционала на называют функционал , определяемый соотношением: . Предшествовавшие рассуждения показывают, что определение корректно. Очевидно также, что .

Заметим лишь, что умножение на функцию не из можно определять по-разному, тогда и получать будем разные (возможно, более широкие) классы функций.

2. Пусть - регулярная функция. Определим оператор дифференцирования . Рассмотрим следующий интеграл: в случае . Здесь мы учли финитность функций . В случае это соотношение выглядит аналогично: , проверить это не составляет труда.

Аналогично пункту 1) получили

Определение: -производной, - набор индексов, функционала называется функционал , определяемый соотношением: . Определение корректно, т.к. непрерывен на , а значит есть ЛНФ, т.е. .

3. Применяя этот же подход, можно определить в операцию замены переменных. Итак, пусть - взаимно однозначное бесконечно дифференцируемое отображение на себя. Рассмотрим сначала замену переменных для регулярных функций: , где - это якобиан отображения .

Таким образом, мы получили правило замены переменных в обобщенных функциях из .

ПРОСТРАНСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Прежде всего напомним, что если в пространстве Фреше введена счетная система полунорм , то можно считать эту систему согласованной, т.е. что каждая последующая полунорма не слабее предыдущей. И действительно, если это не так, мы можем перейти к эквивалентной системе полунорм: . Она будет задавать в ту же топологию.

ТЕОРЕМА. Пусть - пространство Фреше, - ЛНФ на . Пусть также - система полунорм в . Тогда такие, что .

Доказательство: - непрерывное отображение. Значит, открыто и содержит , где . Тогда по определению открытого множества - окрестность нуля в такая, что . Но в пространстве Фреше любая окрестность нуля, если нормы согласованы, задается равенством: . Но как мы определяли, , тем более это выполнено для . Следовательно, имеем . При этом мы воспользовались линейностью и тем, что , , а значит, справедливо . Итак, получили оценку, которая требовалась, т.к. не зависит от , а зависит лишь от . ЧТД

Дадим теперь определение носителю обобщенной функции.

Пусть . Говорят, что равна нулю в открытом множестве , если таких, что .

Определение: Носителем функционала называется множество , где - это максимальное открытое множество где функционал равен нулю. (Можно сказать по-другому: Носителем функционала называется такое замкнутое множество , что на .)

ТЕОРЕМА. .

Можно сказать иначе: - множество таких функционалов из , для которых компакт такой, что в .

Доказательство: является пространством Фреше. Выберем в систему полунорм: , где - это элементы исчерпания , т.е. и . Тогда - согласованная система полунорм (с ростом полунормы все сильнее и сильнее), значит, можно применить предыдущую теорему. А именно, пусть , т.е. - это ЛНФ на . Тогда по теореме такое, что .

Теперь, если , то (по опред. ). Тогда , а значит, по определению .

Обратно, пусть , . Построим функционал такой, что . Ясно, что компакт такой, что (в литературе называется компактной окрестностью компакта ). Тогда рассмотрим функцию и на . Теперь положим . Итак,

1) покажем, что : , т.к. носитель содержится в , а равен нулю на всех таких функциях.

2) покажем, что это и в самом деле ЛНФ на . То, что линеен, - очевидно. непрерывен в , действительно, если в , тогда в , поэтому и . ЧТД

Замечание: по ходу доказательства мы воспользовались тем, что любой ЛНФ на пространстве Фреше является ЛНФ (т.е. непрерывным) относительно некоторой фиксированной полунормы.

ПРИМЕР: Пусть . Тогда, очевидно, функция - регулярная функция, принадлежащая . Но , т.к. носитель , как легко видеть, некомпактен (т.к. неограничен).

А сейчас мы докажем один из важнейших фактов этой части лекций. Структуру пространств обобщенных функций раскрывает следующая

ТЕОРЕМА. Пространства , , *-слабо полны (в лекциях – просто “полны”), т.е. если последовательность фундаментальна , то соответственно такая, что , .

Доказательство: что логично, определим функционал (т.е. значение функционала ) на каждой пробной функции: . Определение корректно, т.к. для каждой пробной функции последовательность фундаментальна, т.е. имеет предел, который и называем значением “предельного функционала” на этой функции. Линейность очевидна. Докажем непрерывность. Нам понадобится

ТЕОРЕМА(Банаха - Штейнгауза для пространств Фреше). Пусть - пространство Фреше и последовательность функционалов на такова, что (константа зависит от ). Тогда константа (ни от чего не зависящая!) такая, что .

Следовательно, для и (это пространства Фреше) по теореме получаем, что , поскольку не зависит от , то можно перейти к пределу. Следовательно, функционал ограничен на соответствующих пространствах пробных функций, а значит и непрерывен. Итак, для и доказали.

Для пространства доказывать надо по-другому, т.к. не является пространством Фреше.

Пусть произвольный компакт в ( ). Рассмотрим . - пространство бесконечно дифференцируемых функций, равных нулю вне . , наделенное топологией , уже является пространством Фреше. Пусть и последовательность фундаментальна . Тогда сужения на компакт - это линейные непрерывные функционалы на пространстве Фреше , поэтому предел такой, что , при этом - ЛНФ на , т.к. это пространство Фреше.

Далее рассмотрим исчерпание компактами ( ). Далее рассмотрим пределы на каждом из элементов исчерпания: - ЛНФ на такой, что . По построению , т.е. - это расширение . Тогда теперь такое, что (по определению пространства ). Для таких функций определим значение “предельного” функционала так: . Таким образом, функционал будет определен на всем , причем по построению. Отсюда видно, что так определенный нами функционал действительно будет предельным. Он, очевидно, линеен и непрерывен на . Осталось показать, почему будет непрерывен на всем . По одно из бывших у нас теорем, если в , то найдется такое, что . Тогда . Итак, непрерывность есть. ЧТД

Определение: Обобщенная функция называется регулярной, если соответственно , где .

ТЕОРЕМА. Пусть , тогда имеет конечный порядок сингулярности, т.е. такая, что .

Определение: Наименьшее число в представлении называется порядком сингулярности обобщенной функции.

ЛЕММА. В пространстве можно ввести эквивалентную систему полунорм:

.

Докажем для случая , при надо применять теорему Соболева, которую логичнее было бы рассказать в курсе УрсЧП. Введем скалярное произведение: . Если положить , то поимеем норму - . Получим линейное пространство функций (обозначаемое ), которое будет предгильбертовым по этой норме. Но любое нормированное пространство всегда можно пополнить , т.е. “превратить” в гильбертово. Пополнение пространства относительно этой нормы обозначим через . Это и есть соболевское пространство функций порядка на компакте . Отметим, что мы рассматриваем достаточно гладкие области, с гладкой границей.

ТЕОРЕМА(Соболева). Если , то все таковы, что , причем это вложение с сохранением норм: .

Суть теоремы в том, что при достаточно больших ( ) все функции из непрерывны (изначально они не обязаны быть непрерывными!) и указанная оценка для норм.

Характеристики

Список файлов лекций